2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（5）（范围：九年级上册）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（5）（范围：九年级上册），共22页。试卷主要包含了方程等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（5）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1． 本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．关于x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　）
A．a＞0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
2．下列四个函数中，图象的顶点在y轴上的函数是（　　）
A．y＝x2﹣3x+2 B．y＝x2﹣4x+4 C．y＝﹣x2+2x D．y＝5﹣x2
3．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
4．方程（x+1）2＝4的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
5．若关于x的一元二次方程x2﹣mx+3n＝0有一根是3，则m﹣n的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
6．三（1）班有男生30名，女生20名，从该班随机找一名学生是女生的概率为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
7．已知一组数据5，5，6，3，7，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
8．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝66°，则∠C的度数为（　　）

A．76° B．38° C．24° D．33°


9．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　　）

A．2π B．π C． D．
10．如图，由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD，则长方形ABCD的周长为（　　）

A．5m B．5.2m C．6m D．6.2m
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．一组数据﹣1、2、3、4的极差是 　 　．
12．一组数据2，3，3，1，5，3，2的众数是 　 　．
13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝　 　．
14．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则圆心O到AB的距离为 　 　cm．

15．甲、乙两同学5次数学考试的平均成绩都是132分，方差分别为S甲2＝38，S乙2＝10，则　 　同学的数学成绩更稳定．
16．用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 　 　．
17．已知点O到直线l的距离为6，以O为圆心，r为半径作⊙O，若⊙O上只有3个点到直线l的距离为2，则r的值为　 　．
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是 　 　．

三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）（2x﹣1）2＝9．


20．射击爱好者甲、乙的近8次比赛的分析如下表（成绩单位：环）：
次序
一
二
三
四
五
六
七
八
平均数
方差
甲
9
6
6
8
7
6
6
8
a
1.25
乙
7
7
4
5
8
7
10
8
7
b
（1）求a、b的值；
（2）从两个不同角度评价两人的射击水平．



21．如图，在△ABC中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．



22．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x1x2+x1+x2﹣2＝0，求m的值．


23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OB为半径作圆；
（2）在你所作的图中，判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（3）若AB＝6，BC＝8，求⊙O的半径．



24．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　 　．


25．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积为 　 　．

26．如图1，⊙O的直径AB＝10，M是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠AMD＝∠BMC，则称∠CMD为直径AB的回旋角．
（1）若∠DMC为直径AB的回旋角，且∠DMC＝80°，求∠AMD的大小；
（2）如图2，点C、D在⊙O上，若CF⊥AB于点E，交⊙O于点F连接DF交AB于点M．
①判断∠CMD是直径AB的回旋角吗？请说明理由；
②猜想回旋角∠CMD的度数与弧CD的度数的大小关系，请给出证明；
（3）若直径AB的回旋角∠CMD＝90°，且△MCD的周长为12，请直接写出AM的长度．



答案与解析
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．关于x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　）
A．a＞0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可求出a的值．
【解答】解：由关于x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，得到a≠0．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．下列四个函数中，图象的顶点在y轴上的函数是（　　）
A．y＝x2﹣3x+2 B．y＝x2﹣4x+4 C．y＝﹣x2+2x D．y＝5﹣x2
【分析】根据二次函数的性质，图象的顶点在y轴上，则顶点的横坐标x＝0，根据题意，计算出即可解答．
【解答】解：A、二次函数y＝x2﹣3x+2，顶点的横坐标x＝﹣＝≠0，故本项错误；
B、二次函数y＝x2﹣4x+4，顶点的横坐标x＝﹣＝2≠0，故本项错误；
C、二次函数y＝﹣x2+2x，顶点的横坐标x＝﹣＝1≠0，故本项错误；
D、二次函数y＝5﹣x2，顶点的横坐标x＝﹣＝0，故本项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，应熟记二次函数的顶点坐标公式，本题读懂题意是关键．
3．已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
4．方程（x+1）2＝4的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
【分析】首先直接开平方可得一元一次方程x+1＝±2，再解即可．
【解答】解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
则x+1＝2，x+1＝﹣2，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣mx+3n＝0有一根是3，则m﹣n的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】把x＝3代入方程x2﹣mx+3n＝0得9﹣3m+3n＝0，然后利用代数式变形得到m﹣n的值．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣mx+3n＝0得9﹣3m+3n＝0，
所以m﹣n＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．三（1）班有男生30名，女生20名，从该班随机找一名学生是女生的概率为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【分析】用男生的人数除以所有学生的人数的和即可求得答案．
【解答】解：∵共50名学生，其中男生30名，女生20人，
∴从中随机抽一名学生，恰好抽到男生的概率是＝0.4，
故选：C．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
7．已知一组数据5，5，6，3，7，则这组数据的中位数是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为3、5、5、6、7，
所以这组数据的中位数是5，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝66°，则∠C的度数为（　　）

A．76° B．38° C．24° D．33°
【分析】直接由圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠AOB＝66°，
∴∠C＝×66°＝33°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　　）

A．2π B．π C． D．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
【解答】解：
连接AC，
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝2m，AB＝BC（扇形的半径相等），
∵AB2+BC2＝22，
∴AB＝BC＝m，
∴阴影部分的面积是（m2），
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
10．如图，由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD，则长方形ABCD的周长为（　　）

A．5m B．5.2m C．6m D．6.2m
【分析】每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，利用矩形的面积等于10块小矩形的面积列出方程求解即可．
【解答】解：设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，
根据题意，得4x2＝1.6×，
解得x＝±0.2，
2×（4x+x+2×4x）＝26 x＝5.2（m）．
即：矩形ABCD的周长为5.2m．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系并列出一元二次方程求解．


二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．一组数据﹣1、2、3、4的极差是 　5　．
【分析】极差是一组数中最大值与最小值的差．
【解答】解：极差为：4﹣（﹣1）＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】考查了极差的概念．极差就是这组数中最大值与最小值的差．
12．一组数据2，3，3，1，5，3，2的众数是 　3　．
【分析】众数是这组数据中出现次数最多的数．
【解答】解：数据3出现了3次，最多，故众数为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了众数的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数．
13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝　2021　．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0得：a+b﹣2021＝0，
即a+b＝2021．
故答案是：2021．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
14．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则圆心O到AB的距离为 　2　cm．

【分析】过点O作OD⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝5（cm），则DP＝1cm，设OA＝OC＝rcm，再在Rt△AOD和Rt△OPD中，由勾股定理得r2﹣52＝（r﹣2）2﹣12，解得r＝7，即可解决问题．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OA，如图所示：
则AD＝BD＝AB＝5（cm），
∴DP＝BD﹣PB＝1（cm），
设OA＝OC＝rcm，
在Rt△AOD和Rt△OPD中，由勾股定理得：OD2＝OA2﹣AD2＝OP2﹣DP2，
即r2﹣52＝（r﹣2）2﹣12，
解得：r＝7，
即OA＝7cm，
∴OD＝＝2（cm），
即圆心O到AB的距离为2cm，
故答案为：2．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15．甲、乙两同学5次数学考试的平均成绩都是132分，方差分别为S甲2＝38，S乙2＝10，则　乙　同学的数学成绩更稳定．
【分析】根据平均数相同时，方差越小越稳定可以解答本题．
【解答】解：∵甲、乙两同学5次数学考试的平均成绩都是132分，方差分别为S甲2＝38，S乙2＝10，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙同学的数学成绩更稳定，
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差，解题的关键是明确方差越小越稳定．
16．用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是 　10　．
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，
则2πr＝，
解得：r＝10，
故圆锥的底面半径为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大．
17．已知点O到直线l的距离为6，以O为圆心，r为半径作⊙O，若⊙O上只有3个点到直线l的距离为2，则r的值为　8　．
【分析】根据点O到直线l的距离为6，要使⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于2，据此画出图形，此时圆的半径是6+2＝8．
【解答】解：由图可知，r＝6+2＝8，

故答案为：8．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，能够根据特殊情况分析得到圆上的点到直线的距离等于2的点的个数所示图形是解题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是 　2　．

【分析】连接OE，利用SAS证明△ADF≌△ODE（SAS），得OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，则点E在射线OE上运动，且OE＝AF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，故点E的运动路程是AO，利用勾股定理求出AO的长即可．
【解答】解：连接OE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝DO，∠DAB＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴△DAO是等边三角形，
∴DA＝DO，∠ADO＝60°，
∵△DFE是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠ADF＝∠ODE，
又AD＝DO，DF＝DE，
∴△ADF≌△ODE（SAS），
∴OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，
∴点E在射线OE上运动，且OE＝AF，
当点F在线段AO上从点A至点O运动时，
∴点E的运动路程是AO，
在Rt△ADB中，设AD＝x，则BD＝2x，
∴（2x）2﹣x2＝62，
解得x＝2（负值舍去），
∴AD＝AO＝2，
即点E的运动路程为2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点E的运动路径是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）（2x﹣1）2＝9．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣2；
（2）2x﹣1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
20．射击爱好者甲、乙的近8次比赛的分析如下表（成绩单位：环）：
次序
一
二
三
四
五
六
七
八
平均数
方差
甲
9
6
6
8
7
6
6
8
a
1.25
乙
7
7
4
5
8
7
10
8
7
b
（1）求a、b的值；
（2）从两个不同角度评价两人的射击水平．
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式分别求出a和b即可；
（2）从平均数上来看，甲和乙的发挥水平相当，再从方差上进行分析，甲的方差小，发挥稳定，从而得出答案．
【解答】解：（1）甲的平均数是：a＝×（9+6+6+8+7+6+6+8）＝7（环），
乙的方差b＝[3（7﹣7）2+（4﹣7）2+（5﹣7）2+2（8﹣7）2+（10﹣7）2]＝3（环）；

（2）甲和乙的平均数一样，射击水平相当；甲的方差比乙的方差小，则甲发挥稳定．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
21．如图，在△ABC中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．

【分析】（1）连接OC，证明OC∥AE，则∠OCD＝∠CDE＝90°，由切线的判定定理即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AC的长，再由等腰三角形的性质得EC＝BC＝6，再用面积法列方程求出CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵AB＝AE，
∴∠E＝∠B，
∴∠OCB＝∠E，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE于点D，
∴∠CDE＝90°，
∴∠OCD＝∠CDE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BE，
∵AB＝AE，
∴EC＝BC＝6，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵∠ACE＝90°，CD⊥AE，AE＝AB＝10，
∴AE•CD＝AC×EC＝S△ACE，
∴×10CD＝×8×6，
∴CD＝，
∴CD的长为．

【点评】此题重点考查切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、用面积法求值等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．
22．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x1x2+x1+x2﹣2＝0，求m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，再利用x1x2+x1+x2﹣2＝0得到m2+m﹣2m﹣2＝0，接着解关于m的方程，然后利用m的范围确定满足条件的m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，
∵x1x2+x1+x2﹣2＝0，
∴m2+m﹣2m﹣2＝0，
∴m1＝2，m2＝﹣1，
∵m≤0，
∴m＝﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式．
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OB为半径作圆；
（2）在你所作的图中，判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（3）若AB＝6，BC＝8，求⊙O的半径．

【分析】（1）先利用基本作图∠BAC的平分线得到点O，然后作⊙O即可；
（2）过O点作OE⊥AC于D，如图，利用角平分线的性质得到OD＝OB，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断AC与⊙O相切；
（3）线缆用勾股定理计算出AC＝10，然后利用面积法得到×10×r+×6×r＝×6×8，再解方程即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）AC与⊙O相切．
理由如下：过O点作OE⊥AC于D，如图，
∵AO平分∠BAC，OB⊥AB，OD⊥AC，
∴OD＝OB，
而OB为⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（3）设⊙O的半径为r，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵S△AOC+S△ABO＝S△ABC，
∴×10×r+×6×r＝×6×8，解得r＝3，
即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查角平分线的性质和直线与圆的位置关系．
24．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　　．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案为：．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
25．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积为 　﹣　．

【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC＝∠ACO，加上∠ACO＝∠CAO，从而得到∠DAC＝∠CAO；
（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27＝（r+3）2，解得r＝3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点C，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，
∵OC2+EC2＝OE2，
∴r2+27＝（r+3）2，
解得r＝3，
∴OC＝3，OE＝6，
∴cos∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB＝3×3﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了锐角三角函数和扇形的面积公式．
26．如图1，⊙O的直径AB＝10，M是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠AMD＝∠BMC，则称∠CMD为直径AB的回旋角．
（1）若∠DMC为直径AB的回旋角，且∠DMC＝80°，求∠AMD的大小；
（2）如图2，点C、D在⊙O上，若CF⊥AB于点E，交⊙O于点F连接DF交AB于点M．
①判断∠CMD是直径AB的回旋角吗？请说明理由；
②猜想回旋角∠CMD的度数与弧CD的度数的大小关系，请给出证明；
（3）若直径AB的回旋角∠CMD＝90°，且△MCD的周长为12，请直接写出AM的长度．


【分析】（1）根据∠DMC为直径AB的回旋角，得∠AMD＝∠BMC，即可得出答案；
（2）①根据垂径定理可知CE＝EF，从而MC＝MF，再利用等腰三角形的性质可证；
②根据三角形外角的性质可证∠CMD＝∠COD，而弧CD的度数等于∠COD的度数，即可证明结论；
（3）过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CG⊥AB于点G，连接OD，OC，由②得回旋角∠CMD的度数与弧CD的度数相等，可知∠COD＝90°，从而求出CD的长，则DM+MC＝7，DM2+MC2＝50，联立可得DM，MC的长度，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵∠DMC为直径AB的回旋角，
∴∠AMD＝∠BMC，
又∵∠DMC＝80°，
∴∠AMD＝＝50°；
（2）①∠CMD是直径AB的回旋角，理由如下：
∵CF⊥AB，AB过圆心O，
∴CE＝EF，
即AB垂直平分CF，
∴MC＝MF，
又∵ME⊥CF，
∴∠CME＝∠FME，
又∵∠FME＝∠DMA，
∴∠CME＝∠DMA，
∴∠CMD是直径AB的回旋角；
②回旋角∠CMD的度数与弧CD的度数相等，理由如下：连接DO，CO，

由①知，∠CME＝∠FME＝∠DMA，
∴∠CMD＝180°﹣∠CME﹣∠FME＝180°﹣2∠FME，
∵∠F＝90°﹣∠FME，
∴∠CMD＝2∠F，
又∵∠COD＝2∠F，
∴∠CMD＝∠COD，
又∵弧CD的度数等于∠COD的度数，
∴回旋角∠CMD的度数与弧CD的度数相等；
（3）如图，过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CG⊥AB于点G，连接OD，OC，

由②得回旋角∠CMD的度数与弧CD的度数相等，
∴∠COD＝90°，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴∠ODC＝45°，
∴sin∠ODC＝，
∴CD＝5，
∵△MCD的周长为12，
∴DM+MC＝7，
在Rt△DMC中，由勾股定理得DM2+MC2＝50，
∴，
解得或，
∵∠AMD＝∠BMC，
∴∠AMD＝∠BMC＝45°，
∴△DMH和△MCG都是等腰直角三角形，
当DM＝3，MC＝4时，点M在AO上，
∴DH＝HM＝3，MG＝CG＝4，
在Rt△DHO中，HO＝，
∴AH＝AO﹣HO＝1，
∴AM＝AH+HM＝4，
当DM＝4，MC＝3时，点M在BO上，
同理可得BM＝4，
∴AM＝AB﹣BM＝6，
综上：AM＝4或6．
【点评】本题是圆的综合题，考查了对新定义的理解与应用，三角形内角和定理，圆的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，综合性较强，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键，属于中考压轴题．