2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（11）

这是一份2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（11），共21页。试卷主要包含了方程x2＝﹣x的根是，已知抛物线y＝ax2﹣2ax，已知函数y＝ax2﹣4ax﹣3等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年第一学期九年级数学期中模拟试卷（11）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1．方程x2＝﹣x的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝0或x＝﹣1
2．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
4．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）＝256 D．256（1﹣2x）＝289
5．如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝30°，且D、B、C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，则无人机的飞行高度AD＝（　　）
A．15米 B．15米 C．（15﹣15）米 D．（15+15）米
6．已知函数y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0），当x＝m和x＝n时函数值相等，则当x＝m+n时的函数值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①2a+b＞0，②2a+c＜0，③方程ax2+bx+c＝﹣m有两个不相等的实数根，④不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜m，其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

第5题图 第7题图 第8题图
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再将△ADC沿AD翻折，得到△ADE，连接BE，则tan∠EBC的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　 　．
10．已知关于x的方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0的一个根是﹣1，则m的值为 　 　．
11．已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
12．这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段图文，则被墨迹污染的二次函数的二次项系数为 　 　．

第9题图 第12题图
13．将抛物线y＝﹣（x+1）2+2先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为 　 　．
14．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 　 　．

第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，抛物线y1＝a（x﹣2）2+c分别与x轴、y轴交于A、C两点，点B在抛物线上，且BC平行于x轴，直线y2＝x﹣1经过A、B两点，则关于x的不等式a（x﹣2）2+c+1＞x的解集是 　 　．
16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4．设AD＝x，AB＝y，则y2﹣2x的最大值为　 　．
三、解答题（共52分）
17．（本题满分4分）计算：sin60°﹣3tan30°+cos245°．



18．（本题满分4分）解方程：2x2﹣5x+2＝0．



19．（本题满分6分）已知二次函数y＝mx2﹣（m+2）x+的图象与x轴有两个不同的交点（x1，0）、（x2，0）
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．



20．（本题满分6分）如图，二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接AC，BC，判定△ABC的形状，并说明理由．



21．（本题满分6分）某公司电商平台．在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数．已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140．
（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价为30（元/件）．当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润．






22．（本题满分6分）火灾是现实生活中最常见、最突出、危害最大的一种灾难，消防车是消防救援的主要装备，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．
（1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF；
（2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）








23．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

24．（本题满分10分）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示
（1）直接写出动点M的运动速度为 　 　cm/s，BC的长度为 　 　cm；
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动．同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）
①求动点N运动速度为v（cm/s）的取值范围
②试探究S1，S2是否存在最大值，若存在，求出S1，S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由

【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2＝256．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第二次售价为289（1﹣x）2，由题意得：
289（1﹣x）2＝256．
故选：A．
5．如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝30°，且D、B、C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，则无人机的飞行高度AD＝（　　）

A．15米 B．15米 C．（15﹣15）米 D．（15+15）米
【分析】由∠EAB＝60°、∠EAC＝30°可得出∠CAD＝60°、∠BAD＝30°，进而可得出CD＝AD、BD＝AD，再结合BC＝30即可求出AD的长度．
【解答】解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，
∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，
∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•tan∠BAD＝AD，
∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，
∴AD＝15（米）．
答：无人机的飞行高度AD为15米．
故选：B．
6．已知函数y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0），当x＝m和x＝n时函数值相等，则当x＝m+n时的函数值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据题意可得出m+n＝4，再把x＝m+n代入即可得出答案．
【解答】解：∵当x＝m和x＝n时，y的值相等，
∴am2﹣4am﹣3＝an2﹣4an﹣3，
解得：a（m﹣n）（m+n﹣4）＝0
∵a≠0，m≠n，
∴m+n﹣4＝0，
即m+n＝4，
∴把x＝m+n代入y＝ax2﹣4ax﹣3，得y＝a（m+n）2﹣4a（m+n）﹣3＝16a﹣16a﹣3＝﹣3，
故选：D．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①2a+b＞0，②2a+c＜0，③方程ax2+bx+c＝﹣m有两个不相等的实数根，④不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜m，其中正确结论的个数为（　　）
二次
∵将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再将△ADC沿AD翻折，
∴BC＝CD＝DE＝3，AC＝AE＝4，∠ACD＝∠AED＝90°，
∴∠DEG＝90°﹣∠AEF＝∠EAF，
又∠G＝∠F＝90°，
∴△EDG∽△AEF，
∴＝＝＝，
设AF＝4m，EF＝4n，则EG＝3m，DG＝3n，
∵∠ACD＝90°＝∠G＝∠F，
∴四边形ACGF是矩形，
∴AF＝CD，AC＝FG，
即4m＝3+3n，4＝4n+3m，
解得m＝，n＝，
∴EG＝3m＝，DG＝3n＝，
∴BG＝BC+CD+DG＝，
在Rt△BEG中，
tan∠EBC＝＝＝，
故选：A．
9．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　　．

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△ADC中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

【分析】根据抛物线的对称性求得B的横坐标，由直线的解析式求得A的坐标，然后根据图象写出抛物线在直线上方时的x的取值即可．
【解答】解：∵抛物线y1＝a（x﹣2）2+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴B点的横坐标为4，
∵直线y2＝x﹣1与x轴交于A点，
∴A（1，0），
由图象可知，关于x的不等式a（x﹣2）2+c+1＞x的解集是x＜1或x＞4，
故答案为：x＜1或x＞4．
16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4．设AD＝x，AB＝y，则y2﹣2x的最大值为　9　．

【分析】因为BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，可得BE＝8，证明△BDC∽△DEC，可得，即y2＝x（8﹣x），代入y2﹣2x，即可得出y2﹣2x的最大值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝x，AB＝y，
∴BC＝AD＝x，CD＝AB＝y，∠BCD＝90°，
又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，
∴BE＝2DF＝8，
∴CE＝8﹣x，
∵∠BDC＝90°﹣∠DBC＝∠E，∠DCB＝∠ECD，
∴△BDC∽△DEC，
∴，
∴y2＝x（8﹣x），
∴y2﹣2x＝x（8﹣x）﹣2x＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
当x＝3时，y2﹣2x的最大值为9．
故答案为：9．
17．计算：sin60°﹣3tan30°+cos245°．
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算即可．
【解答】解：sin60°﹣3tan30°+cos245°
＝×﹣3×+
＝﹣+
＝2﹣．
18． 或
19．（1）且 （2）略
20．如图，二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣）．
辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．
（1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF；
（2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）

【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F，根据题意可得四边形AEFG是矩形，从而得∠CAG＝30°，AE＝FG＝3.5米，然后在Rt△AGC中求出CG，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：当∠CAE＝150°，AC＝20cm时，点C到地面的高度最大，过点A作AH⊥CF，垂足为H，按照（1）的思路进行计算求出CF的长度，最后进行比较即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F，

∴∠AGF＝∠AGC＝90°
由题意得：
∠AEF＝∠EFC＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
∴AE＝FG＝3.5米，∠EAG＝90°，
∵∠CAE＝120°，
∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝30°，
∴CG＝ACsin30°＝12×＝6（米），
∴CF＝CG+GF＝9.5（米），
∴云梯消防车最高点C距离地面的高度CF为9.5米；
（2）由题意得：
当∠CAE＝150°，AC＝20cm时，点C到地面的高度最大，
过点A作AH⊥CF，垂足为H，

∴∠AHF＝∠AHC＝90°
由题意得：
∠AEF＝∠EFC＝90°，
∴四边形AEFH是矩形，
∴AE＝FH＝3.5米，∠EAH＝90°，
∵∠CAE＝150°，
∴∠CAH＝∠CAE﹣∠EAH＝60°，
∴CH＝ACsin60°＝20×＝10（米），
∴CF＝CH+HF＝10+3.5≈20.82（米），
∵20.82＞18，
∴该消防车能实施有效救援．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+2m，求出函数解析式即可求解；
（2）连接PB，过P点作PG∥y轴交CB于点G，设P（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），由S△BCP＝×4×PG＝BC×PF，求出PF＝﹣t2+t，再由PF∥CD，可得＝，则＝﹣（t﹣2）2+，当t＝2时，有最大值，同时可求P点坐标．
【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+2m，
∴﹣8+4（m﹣1）+2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣x2+x+4，

24．已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示

（1）直接写出动点M的运动速度为 　2　cm/s，BC的长度为 　10　cm；
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动．同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）
①求动点N运动速度为v（cm/s）的取值范围
②试探究S1，S2是否存在最大值，若存在，求出S1，S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由

【分析】（1）由题意得t＝2.5s时，函数图象发生改变，得出t＝2.5s时，M运动到点B处，得出动点M的运动速度，由t＝7.5s时，S＝0，得出t＝7.5s时，M运动到点C处，得出BC＝10（cm）；
（2）①由题意得出当在点C相遇时，v＝cm/s，当在点B相遇时，v＝6cm/s，即可得出答案；
②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，则EF∥BC，由平行线得出，得出AF＝2，DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，由勾股定理得出PF＝4，得出EP＝6，求出S1＝S△APM＝S△APF+S梯形PFBM﹣S△ABM＝﹣2x+15，S2