2022-2023学年九年级数学上学期期中模拟预测卷03

这是一份2022-2023学年九年级数学上学期期中模拟预测卷03，共23页。试卷主要包含了抛物线y＝，已知点P1等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年九年级数学上学期期中模拟预测卷03
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1． 本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
2．抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
3．数据﹣2、﹣1、0、1、3的极差是（　　）
A．5 B．4 C．﹣5． D．﹣4
4．关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是3，则另一个根是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
5．⊙O的直径为4，点A到圆心O距离为3．则（　　）
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内
D．点A与⊙O的位置关系不能确定
6．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d的取值范围为（　　）
A．d＜5 B．d＝5 C．d＞5 D．0≤d＜5
7．用配方法解方程x2+4x﹣12＝0．下列配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝14 B．（x﹣2）2＝14 C．（x+2）2＝16 D．（x﹣2）2＝16
8．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　）
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m为全体实数

9．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（　　）

A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
10．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且与x轴的交点为A（1，0）和B（5，0）．当y1＞y2时，则x1，x2应满足的关系式是（　　）
A．x1﹣3＜x2﹣3 B．x1﹣3＞x2﹣3 C．|x1﹣3|＜|x2﹣3| D．|x1﹣3|＞|x2﹣3|
二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m＝0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　 　．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是　 　．

13．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为　 　．

14．如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 　 　．

15．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m　 　．
16．已知（a，0）（b，0）是抛物线y＝x2﹣3x﹣7与x轴的两个交点，则ab＝　 　．

17．已知点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2﹣2x+b的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　 　（用“＜”连接）．
18．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是 　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解下列方程：
（1）x（x+4）＝﹣3（x+4）； （2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．


20．如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．



21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．


22．如图，C是⊙O的直径BA延长线上一点，点D在⊙O上，∠CDA＝∠B．
（1）求证：直线CD与⊙O相切．
（2）若AC＝AO＝1，求图中阴影部分的面积．


23．如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点B坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线相应的函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．


24．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1x2+x1+x2﹣1＝0，求k的值．


25．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D的坐标为（0，﹣1），且与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，E为抛物线上任一点，直线EO交抛物线于点F．
（1）求这个抛物线相应的函数表达式；
（2）如图1，当E点的横坐标为2时，点P是直线EF下方抛物线上的一点，过点P作x轴的平行线交直线EF于点Q，求PQ的最大值；
（3）如图2，过点（0，﹣2）作直线l平行于x轴，过点E作EH⊥l于点H，试说明F、D、H三点在同一条直线上．




26．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是　 　cm，⊙M与直线CD的位置关系是　 　；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是　 　cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．



答案与解析
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．
【解答】解：一元二次方程x2﹣4x+3＝0中，
Δ＝16﹣4×1×3＝4＞0，
则原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根
2．抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣1是抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．
3．数据﹣2、﹣1、0、1、3的极差是（　　）
A．5 B．4 C．﹣5． D．﹣4
【分析】计算出最大值3和最小值﹣2的差就是极差．
【解答】解：3﹣（﹣2）＝5，
故选：A．
【点评】考查极差的意义，最大值与最小值的差就是极差．
4．关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是3，则另一个根是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】设该一元二次方程的另一根为t，则根据根与系数的关系得到3t＝﹣6，由此易求t的值．
【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的另一个根为t，则3t＝﹣6，
解得t＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
5．⊙O的直径为4，点A到圆心O距离为3．则（　　）
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内
D．点A与⊙O的位置关系不能确定
【分析】根据题意得⊙O的半径为2cm，则点A到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O外．
【解答】解：∵⊙O的直径为4cm，
∴⊙O的半径为2cm，
而点A到圆心O的距离为3cm，
∴点A在⊙O外．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
6．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d的取值范围为（　　）
A．d＜5 B．d＝5 C．d＞5 D．0≤d＜5
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解答】解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为5，
∴0≤d＜5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d＝r，③点P在圆内⇔d＜r．
7．用配方法解方程x2+4x﹣12＝0．下列配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝14 B．（x﹣2）2＝14 C．（x+2）2＝16 D．（x﹣2）2＝16
【分析】先移项，再配方，即可得出选项．
【解答】解：x2+4x﹣12＝0，
移项，得x2+4x＝12，
配方，得x2+4x+4＝12+4，
即（x+2）2＝16，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
8．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（　　）
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m为全体实数
【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：m﹣2≠0，m2﹣2＝2，
解得m≠2，且m＝±2，
∴m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏．
9．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（　　）

A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm
【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长．
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故选：B．

【点评】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大．
10．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且与x轴的交点为A（1，0）和B（5，0）．当y1＞y2时，则x1，x2应满足的关系式是（　　）
A．x1﹣3＜x2﹣3 B．x1﹣3＞x2﹣3 C．|x1﹣3|＜|x2﹣3| D．|x1﹣3|＞|x2﹣3|
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口向上，由点A，B坐标可得抛物线对称轴，由y1＞y2可得点P1到对称轴的距离大于点P2到对称轴的距离．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过A（1，0）和B（5，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
∵y1＞y2，
∴|x1﹣3|＞|x2﹣3|，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．

二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）
11．若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m＝0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　16　．
【分析】设矩形的长和宽分别为x、y，由矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m＝0（0＜m≤32）的两个根，根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系得到x+y＝8，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．
【解答】解：设矩形的长和宽分别为x、y，
根据题意得x+y＝8；
所以矩形的周长＝2（x+y）＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了矩形的性质．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是　﹣1≤y≤3　．

【分析】根据图象中的数据可以得到当0≤x≤3时，函数值y的取值范围．
【解答】解：由图象可知，
当0≤x≤3时，函数值y的取值范围﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为　2　．

【分析】首先连接OC，由弦CD⊥AB于P，OP＝，利用勾股定理即可求得CP的长，然后由垂径定理求得弦CD的长．
【解答】解：连接OC，
∵在⊙O中，直径AB＝4，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴弦CD⊥AB于P，OP＝，
∴CP＝＝1，
∴CD＝2CP＝2．
故答案为：2．

【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
14．如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是 　3　．

【分析】根据切线长定理得到AC＝AP，BP＝BD＝2，然后求出AP即可．
【解答】解：∵AB、AC、BD是圆O的切线，
∴AC＝AP，BP＝BD＝2，
∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，
∴AC＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
15．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m　＞﹣1　．
【分析】根据题意，顶点的纵坐标大于0列出不等式解则可．
【解答】解：根据题意有＝﹣1，且＞0，
即＞0，
解得m＞﹣1．
【点评】本题考查用公式法写出抛物线顶点的纵坐标和解不等式．
16．已知（a，0）（b，0）是抛物线y＝x2﹣3x﹣7与x轴的两个交点，则ab＝　﹣7　．
【分析】令y＝0，则x2﹣3x﹣7＝0，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与x2﹣3x﹣7＝0的关系，利用韦达定理即可求得结论．
【解答】解：令y＝0，则x2﹣3x﹣7＝0，
∵（a，0）（b，0）是抛物线y＝x2﹣3x﹣7与x轴的两个交点，
∴a，b是方程x2﹣3x﹣7＝0的两个根，
∴ab＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标是方程x2﹣3x﹣7＝0的两根，用韦达定理得出结论是解题的关键．
17．已知点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2﹣2x+b的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　y3＜y1＜y2　（用“＜”连接）．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，然后利用抛物线的对称性和增减性即可得出答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+b，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴B（﹣2，y2）关于直线x＝1的对称点是（4，y2），
∵1＜2＜3＜4，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：y3＜y1＜y2．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
18．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是 　﹣12＜t≤4　．
【分析】利用抛物线的对称轴的公式可求b值，将x＝﹣2和x＝3代入一元二次方程，求出对应的t值，根据题意即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1．
∴b＝﹣2．
∴关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0为：
﹣x2﹣2x+3﹣t＝0．
当x＝﹣2时，
﹣4+4+3﹣t＝0，
解得：t＝3．
当x＝3时，
﹣9﹣6+3﹣t＝0，
解得：t＝﹣12．
∵关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
∴﹣12＜t＜3．
关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+3﹣t＝0（t为实数）有实数根，可以看作是抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与直线y＝t有交点，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4，
∴t的取值范围是：﹣12＜t≤4
故答案为：﹣12＜t≤4．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二方程的根的情况，利用方程根的情况得到Δ的不等式是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．解下列方程：
（1）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．
【分析】（1）移项后，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）首先把括号去掉得到2x2﹣5x+3＝0，然后分解因式得到（x﹣1）（2x﹣3）＝0，再解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
x（x+4）+3（x+4）＝0
（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0，x+3＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；

（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6，
∴x2﹣5x﹣3+6＝0，
∴x2﹣5x+3＝0，
∴x﹣1）（2x﹣3）＝0，
∴x1＝1，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．

【分析】连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD＝CE．
【解答】证明：连接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m+1）2，由偶次方的非负性可得出（m+1）2≥0，即Δ≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出x1＝1，x2＝m+2，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出m的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2．
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2）＝m2+2m+1＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0，即（x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣（m+2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝m+2．
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m≥﹣1，且m为整数，
∴m的最小值为﹣1．
当m＝﹣1时，此方程的根为x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
22．如图，C是⊙O的直径BA延长线上一点，点D在⊙O上，∠CDA＝∠B．
（1）求证：直线CD与⊙O相切．
（2）若AC＝AO＝1，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD，证明∠ADO＝90°，再根据切线的判定定理证明直线CD与⊙O相切；
（2）先证明△AOD是等边三角形，求得∠AOD＝60°，由勾股定理求出CD的长，由S阴影＝S△COD﹣S扇形AOD求出阴影部分图形的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵∠CDA＝∠B，
∴∠ODB＝∠CDA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODC＝∠CDA+∠ODA＝∠ODB+∠ODA＝∠ADB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）解：∵AC＝AO＝CO＝1，
∴CO＝2AO＝2，
∵∠CDO＝90°，
∴AD＝CO＝1，
∴AD＝AO＝DO＝1，
∴⊙O的半径为1，
∵△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵CD＝＝，
∴S阴影＝S△COD﹣S扇形AOD＝××1﹣＝，
∴图中阴影部分的面积为．

【点评】此题重点考查切线的判定、扇形的面积计算等知识与方法，解题的关键是连接OD并证明CD⊥OD．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点B坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线相应的函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式求解．
（2）由二次函数解析式求出点A，C坐标，通过AC，BC，AC的长度关系求解．
【解答】解：（1）将（4，0）代入y＝ax2﹣x﹣2得0＝16a﹣6﹣2，
解得a＝，
∴y＝x2﹣x﹣2．
（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣2得y＝﹣2，
∴点C坐标为（0，﹣2），OC＝2
令x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A坐标为（﹣1，0），OA＝1，
∴AC＝＝，BC＝＝2，
∵AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握勾股定理．
24．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1x2+x1+x2﹣1＝0，求k的值．
【分析】（1）由方程有两个实数根，根据判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，代入已知条件可得到关于k的方程，可求得k的值．
【解答】解：
（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即4（k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，
∵x1x2+x1+x2﹣1＝0，
∴k2+2（k﹣1）﹣1＝0，解得k＝﹣3或k＝1，
∵k≤，
∴k＝﹣3．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D的坐标为（0，﹣1），且与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，E为抛物线上任一点，直线EO交抛物线于点F．
（1）求这个抛物线相应的函数表达式；
（2）如图1，当E点的横坐标为2时，点P是直线EF下方抛物线上的一点，过点P作x轴的平行线交直线EF于点Q，求PQ的最大值；
（3）如图2，过点（0，﹣2）作直线l平行于x轴，过点E作EH⊥l于点H，试说明F、D、H三点在同一条直线上．

【分析】（1）由抛物线的顶点D的坐标为（0，﹣1），设抛物线的函数表达式为y＝ax2﹣1，将A（﹣1，0）代入即可得这个抛物线相应的函数表达式；
（2）当E点的横坐标为2时，E（2，3），设点P（p，p2﹣1），求出直线EF的函数解析式为y＝x，可得Q（p2﹣，p2﹣1），则PQ＝p﹣（p2﹣）＝﹣p2+p+＝﹣（p﹣）2+，（＜p＜2），根据二次函数的性质即可得PQ的最大值；
（3）设E（m，m2﹣1），则H（m，﹣2），分别求出直线EF的函数解析式为y＝x，直线DH的函数解析式为y＝﹣x﹣1，由直线EO交抛物线于点F可得，代入直线DH的函数解析式y＝﹣x﹣1，可得点F在直线DH上，即可说明F、D、H三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（0，﹣1），
设抛物线的函数表达式为y＝ax2﹣1，
将A（﹣1，0）代入得：a﹣1＝0，
∴a＝1，
∴这个抛物线相应的函数表达式为y＝x2﹣1；

（2）E点的横坐标为2时，E（2，3），
∴直线EF的函数解析式为y＝x，
∴F，
设点P（p，p2﹣1），则Q（x，m2﹣1），
∵点Q在EF：上，
∴Q（p2﹣，p2﹣1），
∴PQ＝p﹣（p2﹣）＝﹣p2+p+＝﹣（p﹣）2+，（＜p＜2），
∴当p＝时，PQ的最大值；

（3）设E（m，m2﹣1），则H（m，﹣2），
设直线EF的函数解析式为y＝kx，
∴mx＝m2﹣1，解得k＝，
∴直线EF的函数解析式为y＝x，
∵抛物线的顶点D的坐标为（0，﹣1），
设直线DH的函数解析式为y＝nx﹣1，
∴mn﹣1＝﹣2，解得n＝﹣
直线DH的函数解析式为y＝﹣x﹣1，
∵直线EO交抛物线于点F，
∴，解得或，
∴，
当x＝﹣时，代入直线DH的函数解析式y＝x﹣1得，y＝﹣1，
∴点F在直线DH上，
∴F、D、H三点在同一条直线上．
【点评】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的解析式的求法，一次函数与二次函数的交点．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题等知识点．
26．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是　　cm，⊙M与直线CD的位置关系是　相离　；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是　5　cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．

【分析】（1）先求出PB，BQ的长，根据勾股定理可得PQ的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解；
（2）①根据边界点确定：故M运动路径为OB，根据勾股定理即可求解；
②如图3，根据切线的性质作辅助线EF，则EF⊥AD，EF⊥BC，由EF＝FM+ME列方程即可求解；
（3）如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明AP＝PQ，AD＝DQ，最后根据勾股定理列方程即可求解．
【解答】解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AB∥CD，
∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，
当t＝1时，AP＝3，CQ＝4，
∵AB＝6，BC＝8，
∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，
∴PQ＝＝5，
∴⊙M的半径为cm，
∵MN∥BQ，M是PQ的中点，
∴PN＝BN，
∴MN是△PQB的中位线，
∴MN＝BQ＝×4＝2，
∴MK＝8﹣2＝6＞，
∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；
故答案为：，相离；
（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，

∴圆心M在对角线BD上，
由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，
当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，
故M运动路径为OB＝BD，
由勾股定理得：BD＝＝10，
则圆心M的运动路径长是5cm；
故答案为：5；
②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，

则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝FM＝5﹣t，
△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，
∵EF＝FM+ME，
∴5﹣t+3﹣t＝6，
解得：t＝；
（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，

∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，
∴∠APD＝∠NPQ，
∵∠A＝90°，DG⊥PG，
∴AD＝DG＝8，
∵PD＝PD，
∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），
∴PG＝AP＝3t，
∵PQ＝10﹣5t，
∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，
∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，
∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，
∴3t2﹣10t+8＝0，
（t﹣2）（3t﹣4）＝0，
解得：t1＝2（舍），t2＝．
【点评】本题四边形和圆的综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，添加恰当辅助线是本题的关键．