精品解析：江苏省连云港市2022-2023学年高一上学期期中数学试题

2022—2023学年度第一学期期中学业水平质量监测

高一年级数学试题

（本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，，若，则集合P的子集的个数为（    ）

A 2 B. 3 C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合P的元素，列出其子集.

【详解】,集合P的子集有共四个.

故选：C

2. “”是“”的（    ）

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件及必要条件成立的条件判断即可．

【详解】解：充分性：当时，但，故充分性不成立；

必要性：当时，显然成立．

故“”是“”的必要条件．

故选：B．

3. 命题“，，使得”的否定形式是（    ）

A. ，，使得 B. ，，使得

C. ，，使得 D. ，，使得

【答案】D

【解析】

【分析】全称（特称）命题的否定是特称（全称）命题，把任意（存在）改为存在（任意），把结论否定.

【详解】命题“，，使得”的否定形式是“，，使得”

故选：D

4. 若函数，，则函数的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将二次函数写成顶点式，结合二次函数的开口方向和对称轴即可求解.

【详解】因为函数，开口向上，对称轴为，

又因为，所以当时函数小值，当时函数取最大值，

所以函数的值域为，

故选：A.

5. 已知函数为上的减函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数单调性的性质化简不等式，解不等式可得a的取值范围.

【详解】因为函数为上的减函数，且，

所以，化简可得，，

所以，即a的取值范围是，

故选：A.

6. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是，则这条鱼的耗氧量是（    ）个单位.

A. 2400 B. 2700 C. 6400 D. 8100

【答案】B

【解析】

【分析】将代入函数解析式，利用指数式与对数式的互化即可求解.

【详解】由，当时，

则，即，解得，

所以.

故选：B.

7. 关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】B

【解析】

【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案.

【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意；

假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题；

综上，只有命题乙为假命题，符合题意.

故选：B.

8. 已知，不等式恒成立，则实数m取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据的正负情况分类讨论求解即可．注意交并集思想的正确运用．

【详解】解：当时，即，

，

∴，

即，

令，

对称轴为，

当，即时，在上单调递增，

，

∴只要即可，

解得，

．

当时，，

∴ 只要即可，

解得，

，

∴当时，．

当时，，

，

解得，

∴ 只要即可，

解得．

综上：．

故选：D．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的有（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】利用不等式的性质判断B，C，举反例判断A，D.

【详解】A选项时不成立，A错误；

B选项，因为，又在分母上，所以，所以，B正确；

C选项，因为，，所以，C正确；

D选项，时不成立，D错误；

故选：BC.

10. 若某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人数可能有（    ）

A. 22 B. 21 C. 5 D. 4

【答案】ABC

【解析】

【分析】由已知确定围棋爱好者的集合与足球爱好者的集合的并集中的元素的个数范围，列不等式求出同时爱好这两项的人数的范围可得正确选项.

【详解】由已知可得围棋与足球至少爱好一项的学生数的最小值为28，最大值为45，设同时爱好这两项的人数为，则只爱好围棋的学生数为，故围棋爱好者的集合与足球爱好者的集合的并集中的元素的个数为，所以，所以，

故选：ABC.

11. 已知函数，则（    ）

A. 是上的偶函数 B. 是上的偶函数

C. 在区间上单调递减 D. 当时，最大值是4

【答案】BCD

【解析】

【分析】由条件求出函数的解析式，根据偶函数的定义判断A，根据二次函数的性质判断函数的单调性，判断C，求函数在上的值域，判断D，根据偶函数的定义判断函数的奇偶性.

【详解】因为，将变换为可得，

因为，，，所以函数不是上的偶函数，A错误；

因为，由二次函数性质可得函数在区间上单调递减，C正确；

由，可得，所以，所以当时，，所以函数在上的最大值是4，D正确，

设，则，所以，所以函数是上的偶函数，B正确；

故选：BCD

12. 设m为非零常数，函数的定义域为对于任意的实数x，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则函数的图象关于直线对称

B. 若，则函数的图象关于直线对称

C. 若，则函数的图象关于点对称

D. 若，则函数的图象关于点对称

【答案】AC

【解析】

【分析】由选项A，B的条件判断函数的奇偶性，由选项C的条件判断函数的奇偶性，结合奇函数和偶函数的图象性质及图象变换结论判断各选项即可.

【详解】对于A：因为，所以，所以函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，所以函数的图象关于直线对称，A正确；

对于B： 假设函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，则，当不恒为0时，与矛盾，B错误；

对于C，因为，将x变换为可得，所以，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点对称，C正确；

对于D，由选项C的推导可得若，则函数的图象关于点对称，因为，所以D错误；

故选：AC.

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 已知集合，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】由补集及交集运算即可得解.

【详解】，故.

故答案为：

14. 已知函数若，则实数______．

【答案】或4

【解析】

【分析】根据a的范围分情况求解即可．

【详解】解：当时，由题意知，

解得或（舍去）；

当时，，

解得．

综上：或．

故答案为：或．

15. 已知是上的奇函数，当时，，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据奇偶性作出图像求解即可．

【详解】解：当时，，

∵为奇函数，

∴当时，

，

由，

解得，

，

解得，

据此结合奇函数画出的部分图像如下：

结合图像知．

故答案为：．

16. 已知函数在区间上的最大值是10，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】先求出x∈[6，10]，再分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值，即可求出a的范围．

【详解】当x∈[1，9]，x∈[6，10]，

①当a≥10时，f（x）＝2a﹣x，f（x）max＝2a﹣6＝10，∴a＝8，舍去

②当a≤1时，f（x）＝x10，此时命题成立；

③当1＜a＜10时，f（x）max＝max{|6﹣a|+a，|10﹣a|+a}，

则或，

解得a＝8或a＜8，

综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，8]．

【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够利用最值构造出与函数值域有关的不等式，通过求解函数的值域求得结果.

四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （1）已知，，求的值；

（2）已知，，试用a，b表示.

【答案】（1）1；（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数运算性质将用与表示即可；

（2）根据对数运算性质将用与表示即可；

【详解】（1）     

（2）

.

18. 已知定义在R上的函数为偶函数.

（1）求a的值；

（2）判断在上的单调性，并用定义法证明.

【答案】（1）；   

（2）在上单调递减，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由偶函数的概念即可求解；（2）根据函数单调性的定义，利用定义法证明即可.

【小问1详解】

由题意可得，则，解得.

【小问2详解】

在上单调递减.

证明如下：由（1）可得，令，则，

又，

即，故在上单调递减.

19. 设m为实数，集合，.

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的充分条件，求m的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）m的取值范围为.

【解析】

【分析】(1)化简集合，根据交集的定义求；(2)由条件可得，结合包含关系列不等式求m的取值范围.

【小问1详解】

当时，不等式可化为，所以，故，所以，又，所以

【小问2详解】

不等式可化为，

又，所以

故，所以        

因为“”是“”的充分条件，

所以，                             

所以，解得或，所以m的取值范围为.

20. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比,每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库,则和分别为4万元和9万元,为了能使两项费用之和最小,这家公司应该把仓库建在距离车站________千米处.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意分别求出占地费和库存货物费与距离之间的函数关系式,求总费用的方程,用基本不等式即可.

【详解】解:由题知,设,,

由已知得,即,

即

两项费用之和为,

即,       

当且仅当,

即时取等号,

所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处,才能使两项费用之和最小.

故答案为:

21. 已知函数（其中a∈R）.

（1）当a＝－1时，解关于x的不等式；

（2）若的解集为R，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）当时，解一元二次不等式求得不等式的解集.

（2）化简不等式，对分成和两种情况进行分类讨论，结合一元二次不等式恒成立，求得实数的取值范围.

详解】（1）当时，由得，，

所以，所以不等式的解集为；

（2）因为解集为，所以在恒成立，

当时，得，不合题意；

当时，由在恒成立，

得，

所以.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.

22. 已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.

（1）已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，值域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，则，可得出，利用对勾函数的单调性结合复合函数的单调性可得出函数的增区间和减区间，再结合函数的单调性可求出函数的值域；

（2）求出当时，，分析可知是函数在上值域的子集，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合题意可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：设，则，且，

所以，其中，

由已知得在上单调递减，在上单调递增，

又因为在上单调递增，函数在上为减函数，

由可得，由可得，

所以，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为，单调减区间为，

所以，，

又因为，，故，

所以，函数的单调增区间为，减区间为，值域为.

【小问2详解】

解：因为，当时，，所以，

由（1）知

由题意，得是的值域的子集，                  

因为函数的图象开口向上，对称轴为.

①当时，则，函数在上单调递增，

则当时，，，

故，解得；                     

②当时，则，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，，不满足，舍去；

③当时，则，函数在上单调递减，

故当时，，，

故，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，.

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则值域是的值域的子集.