南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题解析版

这是一份南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题解析版，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南京一中2022～2023学年度第一学期期中考试试卷高一数学命题人：王印、孙学志   校对人：王印、孙学志  审核人：王伟一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1. 函数定义域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为.故选：C2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）A. 与 B. 与C. 与 D. 与【答案】B【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可.【详解】对于的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；对于的定义域、值域都是，，其定义域、值域都是，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于，对应法则不同，不是同一函数；对于的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故选：．3. 函数的图象是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再根据特殊值判断即可；【详解】解：因为，所以，即，解得，故函数的定义域为，故排除A、B，又，故排除D；故选：C4. 若函数，则（    ）A.  B. 4 C. 6 D. 【答案】D【解析】【分析】根据分段函数分段处理即可求值.【详解】解：因为所以.故选：D.5. 计算的值为（    ）A.  B.  C.  D. 0【答案】A【解析】【分析】利用指数幂的运算性质化简即可求解.【详解】故选：.6. 定义在上的奇函数，对任意且，都有，，则不等式的解集是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断函数的函数值的正负情况，即可得答案.【详解】由题意定义在上的奇函数，，则，对任意且，都有，则在时单调递减，则当时，，此时；当时，，此时；根据奇函数的对称性可知，当时，，此时；当时，，此时；故不等式的解集是，故选：C.7. 已知，，若，则的最小值为（    ）A.  B. 9 C. 7 D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质可得，然后利用基本不等式即得.【详解】因为，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9.故选：B.8. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为对任意实数恒成立，由对勾函数的性质分析，可得的取值范围．【详解】解：函数的定义域为， 且，所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则，即对任意实数恒成立，所以对于任意实数恒成立，即任意实数恒成立，因为函数在上单调递增，所以，则有最小值，若对任意实数恒成立，所以．即的取值范围为．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）9. 下列命题是真命题的是（    ）A. 命题“，使得”的否定是“，都有”B. 函数最小值为2C. 是的充分不必要条件D. 若，则，【答案】AC【解析】【分析】根据存在量词命题的否定即可判断A；根据基本不等式即可判断B；根据一元二次不等式的解法和充分条件、必要条件的定义即可判断C；根据换元法即可求出函数解析式，进而判断D.【详解】A：命题“，使得”的否定为“都有”，故A正确；B：由，得，当且仅当即时取到等号，不成立，所以，故B错误；C：由，得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；D：令，则且，所以，即，故D错误.故选：AC10. 已知定义在上的函数，下列说法正确的有（    ）A. 若，则在上不是减函数B. 若是偶函数，则图象关于对称C. 若，则是偶函数D. 若为奇函数且满足任意，都有，则在上是增函数【答案】ABD【解析】【分析】根据函数单调性的性质，结合函数奇偶性的性质、函数图象变换的性质逐一判断即可.【详解】A：若在上是减函数，显然由，不可能有成立，所以在上不是减函数，因此本选项说法正确；B：因为是偶函数，所以函数的图象关于纵轴对称，因为函数的图象向右平移2个单位得到图象，所以图象关于对称，因此本选项说法正确；C：若，显然成立，但是，函数是奇函数，不是偶函数，所以本选项说法不正确；D：因为，所以不妨设，由，因为为奇函数，所以，于是由，因为是任意两个不等实数，且，所以在上是增函数，因此本选项说法正确，故选：ABD11. 已知函数，下列结论正确的有（    ）A. 在为单调增函数B. 图象关于轴对称C. 在定义域内只有1个零点D. 的值域为【答案】BCD【解析】【分析】根据单调性的定义通过举反例判断A，根据奇偶性的定义判断B，根据函数的零点的定义判断C，结合基本不等式求函数的值域判断D.【详解】因为，所以，，所以，所以在不是单调递增函数，A错误；由有意义可得，所以函数的定义域为，又，所以函数为偶函数，所以函数图象关于轴对称，B正确；令可得，所以，所以函数的零点为0，所以在定义域内只有1个零点，C正确；当时，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，所以当时，，又，函数为偶函数，所以的值域为，所以D正确；故选：BCD.12. 已知函数，若恰有3个零点，则的可能值为（    ）A. 0 B.  C. 1 D. 2【答案】AD【解析】【分析】画出函数的图象，通过的取值，结合的范围，判断函数的零点个数，然后推出实数的取值范围．【详解】分别作出函数与的图象，由图知，时，函数与无交点，时，函数与有三个交点，故．当，时，函数与有一个交点，当，时，函数与有两个交点，当时，若与，相切，则由得：或（舍，切点在x轴下方，因此当，时，函数与有两个交点，当，时，函数与有三个交点，当，时，函数与有四个交点，所以当时，函数与恰有3个交点．综上，恰有3个零点，的取值范围是或．故选：AD．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 若幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是________【答案】【解析】【分析】设出幂函数的解析式,代入点坐标,即可求得解析式.【详解】设幂函数的解析式为 因为幂函数图像过点所以,解得所以故答案为: 【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式求法,属于基础题.14. 已知,,用,表示_________.（结果用,表示）【答案】【解析】【分析】根据换底公式找到和之间的等式关系,将用换底公式换为的形式,代换成即可.【详解】解:由题知,,,,,,故答案为:.15. 若任意，不等式恒成立，则实数的范围为_________.【答案】【解析】【分析】任意，不等式恒成立等价于在上恒成立，参变分离求最值即可.【详解】任意，不等式恒成立等价于在上恒成立，又，当且仅当时，取等号，∴，即实数的范围为.故答案为：16. 已知函数 ，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是_________.【答案】.【解析】【分析】根据函数解析式，作出其图象，解不等式可得，讨论m和1的大小关系，确定不等式解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围.【详解】由于函数,作出其图象如图：由得： ，当 时，，不等式无解；当时，由得∶ ，若不等式恰有两个整数解，由于,，则整数解为0和1，又 ，∴ ；当时，由得：，若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和 ，又 ，∴，综上所述：实数m的取值范围为 ,故答案为∶.【点睛】本题考查了分段函数性质的应用，考查了根据一元二次型不等式的解的情况求参数范围问题，综合性较强，解答时要注意数形结合以及分类讨论的思想方法，解答的关键是确定不等式解集中的整数解，从而确定参数范围.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 设全集，，集合，.（1）当时，求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）首先解分式不等式求出集合，再根据并集、补集、交集的定义计算可得；（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】解：由，等价于，解得，所以，当时，所以，或，所以；【小问2详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件，所以，显然，故，所以，解得，即实数的取值范围为.18. 已知不等式解集为或，其中．（1）求实数，的值；（2）当时，解关于的不等式（用表示）．【答案】（1）、    （2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意、为方程的两根，代入方程得到关于、的方程组，解得即可；（2）由（1）可得不等式即，即，分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.小问1详解】解：依题意、为方程的两根，所以，解得或，因为，所以、；【小问2详解】解：由（1）可得不等式，即，即，当时原不等式即，解得，所以不等式的解集为；当时解得，即不等式的解集为；当时解得，即不等式的解集为；综上可得：当时不等式的解集为，当时不等式的解集为，当时不等式的解集为.19. 已知二次函数满足，满足，且．（1）求的解析式；（2）当时，求函数的最小值（用表示）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由题意可得，再代入到，化简可求出，从而可求出的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分和三种情况求解函数的最小值.【小问1详解】因为二次函数，且满足，，所以，，所以 ，得.所以.【小问2详解】是图象的对称轴为直线，且开口向上的二次函数.当时，在上单调递增，则； 当即时，在上单调递减，则；当，即时，；综上所述.20. 我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）    （2）产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额－固定成本－可变成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【小问1详解】解：当时，，当时，，故．【小问2详解】解：若时，，当时，万元，当时，，当且仅当，即时，万元，故年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．21. 已知函数，.从下面三个条件中任选一个条件，求出，的值，并在此基础上解答后面的问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①已知函数，在定义域上为偶函数；②在上的值域为；③已知函数，满足.（1）选择_________，求，的值；（2）判断并用定义证明在上的单调性；（3）解不等式.【答案】（1）答案见解析；    （2）答案见解析；    （3）【解析】【分析】选①利用二次函数的性质及偶函数的定义即得，选②利用函数的单调性即求；选③知关于对称，即可求出，的值；（2）利用单调性的定义即证；（3）利用奇函数的定义可得为奇函数，进而利用函数的单调性及奇偶性解不等式.小问1详解】选①：因为在上是偶函数，则，且，所以，；选②：当时，在上单调递增，则有，得，；选③：函数，满足，所以关于对称，所以函数.【小问2详解】由（1）得，，任取，且，则∵，则，，∴，即则在上单调递增.【小问3详解】∵，，又，∴为奇函数，由，得，又因在上单调递增，则，解得，所以.22. 已知函数，.（1）若，求的值；（2）当时，求该函数在闭区间上的值域；（3），，若，求的值.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别求出参数的值，即可得解；（2）将函数的解析式写成分段函数的形式，画出函数图象，结合图象即可得到函数的值域；（3）先由的单调性和题设求得集合，再对分类讨论，由求得即可．【小问1详解】解：因为，且，所以，当时，解得（舍去），当时，解得（舍去）或，综上可得.【小问2详解】解：当时，又，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数图像如下所示：又，，，结合函数图象可得在上的值域为；【小问3详解】解：，又，所以，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，，故，当时，由，，，，当，即时，；当，即时，，综上，．