【五年高考真题】最新五年数学高考真题分项汇编——专题03《导数及其应用（选填题）》（理科专用）（2023全国卷地区通用）

专题03 导数及其应用（选填题）（理科专用）

1．【2022年全国甲卷】已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.

【详解】

因为,因为当

所以,即,所以；

设，

，所以在单调递增，

则,所以，

所以,所以，

故选：A
2．【2022年新高考1卷】设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.

【详解】

设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.
3．【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】

在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

【点睛】

解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
4．【2020年新课标1卷理科】函数的图像在点处的切线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】

，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
5．【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】

设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
6．【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】

详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】

本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
7．【2018年新课标1卷理科】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.

详解：因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简可得，故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
8．【2022年新高考1卷】已知函数，则（       ）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】

由题，，令得或，

令得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，

故D错误.

故选：AC.
9．【2022年全国乙卷】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】

由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】

解：，

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

所以当时，，当时，，

若时，当时，，则此时，与前面矛盾，

故不符合题意，

若时，则方程的两个根为，

即方程的两个根为，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，

又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，

则切线的斜率为，

故切线方程为，

则有，解得，

则切线的斜率为，

因为函数与函数的图象有两个不同的交点，

所以，解得，

又，所以，

综上所述，的范围为.

【点睛】

本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
10．【2022年新高考1卷】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【解析】

【分析】

设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】

∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：
11．【2022年新高考2卷】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

【答案】         

【解析】

【分析】

分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；

【详解】

解： 因为，

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，

又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；

故答案为：；
12．【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】

由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．
13．【2021年新高考2卷】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.

【详解】

由题意，，则，

所以点和点，,

所以，

所以，

所以，

同理,

所以.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
14．【2019年新课标1卷理科】曲线在点处的切线方程为___________．

【答案】.

【解析】

【分析】

本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】

详解：

所以，

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

【点睛】

准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
15．【2018年新课标1卷理科】已知函数，则的最小值是_____________．

【答案】

【解析】

【详解】

分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.

详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.

点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
16．【2018年新课标2卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.

【详解】

【点睛】

求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
17．【2018年新课标3卷理科】曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

求导，利用导数的几何意义计算即可．

【详解】

解：

则

所以

故答案为-3.

【点睛】

本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．