北京交大附中2022-2023期中练习高二数学

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北京交大附中2022－2023学年第一学期期中练习 高 二  数 学命题人：李运秋     审题人：陈蕾                             2022.11说明：本试卷共8页，共120分。考试时长90分钟。1.设，则在复平面内对应的点位于 (　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵，∴，对应坐标，是第三象限．2．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)A．1　　 B．4  C．1或3　　 D．1或4答案　A解析　由题意得＝1，解得m＝1.3．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)A．(4，－6)，16   B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4   D．(2，－3)，16答案　C解析　将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.4.已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)  A. B.   C.     D.答案　D解析　因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，所以cos〈a，b〉＝＝＝，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(　　)A.－ B.   C.   D. －答案　B解析　建立如图空间直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，则＝(－1，1，0)，＝，设异面直线DE与AC所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝.6. 已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)A．k≥　　 B．k≤－2C．k≥或k≤－2　　 D．－2≤k≤答案　D解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤.7.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　当l1∥l2时，解得a＝－1或a＝2.而由ea＝，解得a＝－1，所以“ea＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件8. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（   ）.A. 2                 B.             C.6             D.答案C 解析  易知圆的标准方程，圆心为. 又因为直线是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知，．又因为直线与圆相切，则为直角三角形,,,． 9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)A．x－2y－4＝0   B．2x＋y－4＝0C．4x＋2y＋1＝0   D．2x－4y＋1＝0答案　D解析　由题设，可得kAB＝＝－2，且AB的中点为，∴AB垂直平分线的斜率k＝－＝，故AB的垂直平分线方程为y＝＋1＝＋，∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.即4x＋3y－6＝0. 10.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则　　A．             B．与平面所成的角为 C．                 D．与平面所成的角为【解答】解：如图所示，连接，，不妨令，在长方体中，面，面，所以和分别为与平面和平面所成的角，即，所以在中，，，在中，，，所以，，，故选项，错误，由图易知，在平面上的射影在上，所以为与平面所成的角，在中，，故选项错误，如图，连接，则在平面上的射影为，所以为与平面所成的角，在△中，，所以，所以选项正确，故选：． 11. 已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)答案　x＋2y＋1＝0   解析　∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，∵直线l经过点(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.直线l的方程为x＋2y＋1＝0.12. 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为     4      ．13.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为________.答案　解析　如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，E(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0).则＝(1，1，－1)，＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1).设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则取a＝2，得n＝(2，1，2)，∴点E到平面ACD1的距离h＝＝＝.14.已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是______．答案　　　　解析　圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝，若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为d＝|CP|＝.15. 已知实数、、、满足：，，，设，，则             ，   的最大值为__________.解析 ，由得，.设，，则.令，显然表示点，到直线的距离之和，如图所示，当点，所在直线与直线平行时，取最大值，此时为等边三角形.且点，到直线的距离为点到直线和直线的距离之和，所以. 16.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值. 解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.因为，，所以，.所以.所以，所以.又因为，，所以平面. ………………5分（Ⅱ）因为平面，平面，平面，所以，.又因为是矩形，，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面的一个法向量为，则    即 令，则，.于是.因为平面，取平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是. ………………13分17.已知圆E经过点A(0,0)，B(1,1)，从下列3个条件选取一个：①过点C(2,0)；②圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切．(1)求圆E的方程；(2)过点P(2，3)的直线l与圆E相切，求直线l方程．解　(1)选①，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意可得解得则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.选②，直线mx－y－m＝0恒过(1,0)，而圆E恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，所以mx－y－m＝0恒过圆心，所以圆心为(1,0)，可设圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝r2，由圆E经过点A(0,0)，得r2＝1，则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.选③，设圆E的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意可得解得则圆E的方程为(x－1)2＋y2＝1.(2) 18.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD1上的一点.(1)若点E为OD1的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值.(2)是否存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O？若存在，请指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 解　(1)不妨设正方体的棱长为2.以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，O(1，1，0).因为E为OD1的中点，所以E.则＝(－1，－1，2)，＝，＝(0，2，0).设p＝(x0，y0，z0)是平面CDE的法向量，则即取x0＝2，则y0＝0，z0＝－1，所以p＝(2，0，－1)为平面CDE的一个法向量.设直线OD1与平面CDE所成角为θ，所以sin θ＝|cos〈，p〉|＝＝＝，即直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为.(2)存在，且点E为线段OD1上靠近点O的三等分点.理由如下.假设存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O.同第(1)问建立空间直角坐标系，易知点E不与点O重合，设＝λ，λ∈[0，＋∞)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，2).设m＝(x1，y1，z1)是平面CD1O的法向量，则即取x1＝1，则y1＝1，z1＝1，所以m＝(1，1，1)为平面CD1O的一个法向量.因为＝λ，所以点E的坐标为，所以＝.设n＝(x2，y2，z2)是平面CDE的法向量，则即取x2＝1，则y2＝0，z2＝－，所以n＝为平面CDE的一个法向量.因为平面CDE⊥平面CD1O，所以m⊥n.则m·n＝0，所以1－＝0，解得λ＝2.所以当＝2，即点E为线段OD1上靠近点O的三等分点时，平面CDE⊥平面CD1O. 19.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点. （1）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（2）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．      .解析  （1）因为在直线上，设，因为与轴相切，则圆为，.又圆与圆外切，圆，则，解得，即圆的标准方程为.（2）由题意得，，设，则圆心到直线的距离，则，解得或，即或.（3）解法一：不妨设，，又因为，，由，所以，因为点在圆上，因此满足，故有，又点在圆上，故点既在圆上，也在圆上，所以只需两圆有公共点即可，所以，解得．所以实数的取值范围为．评注  对于第（3）问，尝试将向量进行组合运算可以得到．解法二：，即.则有必要条件.因为，又，即，解得.下论证充分性，即存在两点可使.对于任意，欲使，此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于两点，此时，且有，因此对于任意，均满足题意，综上实数的取值范围为.20．已知，记，用表示有限集合X的元素个数。（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）若，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由；（Ⅲ）若，对于任意的A，都存在T，使得，求的最小值。 解：记，则，. （I）因为，，所以，，，，又因为，即.所以或..                           ……5分 （II）不是都存在.                                         ……6分因为，，令，则，，，，，，.所以对于任意的，都有所以当时，不存在T，使得.           ……10分 （Ⅲ）显然.不妨设，记因为，，所以.因为.所以.依题意，对于任意的，都存在，使得.又因为，的取值范围是，所对于任意的A，都存在，，即对于任意的A，均为的真子集.（1）当时，存在，使得，含.当时，存在，使得，含.当时，存在，使得，含.当时，存在，使得，含.当时，存在，使得，含.当时，存在，使得，含.（2）当时，假设存在A，使得不是的真子集，则.另一方面，因为，所以至多有个元素.设，其中.则. 所以恰有10个元素，这些元素之和为1＋2＋...＋10＝55，也等于.由于55是奇数，是偶数，矛盾.所以假设不成立.所以对于任意的A，均为的真子集.即对于任意的A，都存在，使得.即对于任意的A，都存在T，使得.综上所述，的最小值为11.                         ……15分