2022北京八中初三（上）期中数学

这是一份2022北京八中初三（上）期中数学，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京八中初三（上）期中
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A B. C. D.
3. 已知点A(-1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值是（ ）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
5. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A. y=（x+1）2+4 B. y=（x﹣1）2+4
C y=（x+1）2+2 D. y=（x﹣1）2+2
6. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 四位同学在研究二次函数时，甲同学发现函数的最小值为；乙同学发现当时，；丙同学发现是一元二次方程的一个根；丁同学发现函数图象的对称轴是直线；已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________．
10. 写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点(0，−2)，这个二次函数的解析式可以是________．
11. 若关于x的一元二次方程有一个根是4，则方程的另一个根为______________．
12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则______．

13. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线的解析式是______________．
14. 一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为______________．
15. 如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O旋转得到，则点A的对应点的坐标为______________．

16. 如图，在中，轴，已知点C的纵坐标是3，将绕点A旋转得到，使点C恰好落在y轴负半轴点E处，若点C和点D关于原点O成中心对称，则点A的坐标______________．

三、解答题（本题共68分，17题6分，18-23题每题5分，24-26题每题6分，27、28题每题7分）
17 解下列方程：
（1）
（2）
18. 已知：如图是抛物线的图像的一部分，图像经过点，且对称轴是直线，

（1）由图像可知，a______________0（用“>”或“<”填空），抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______________，当x______________时，y随x的增大而减小；
（2）若点在该抛物线的图像上，且，则______________，______________0（用“>”或“<”填空）．
19. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．在中，，点A，B，C均在格点上．

（1）把绕点A顺时针方向旋转，画出旋转后；
（2）若点B的坐标为，在图中建立平面直角坐标系，画出与关于点对称的，并写出点的坐标．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有两个实数根且都是整数，求整数m的值．
21. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且A、C、E三点共线，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长．

22. 下表是二次函数图象上部分点的自变量x和函数值y．
x
…

0
1
2
3
4
5
…
y
…
8
3
0

0
m
8
…

（1）观察表格，______________；
（2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象；
（3）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围．
23. 某宾馆有若干间标准房，经市场调查表明，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）之间满足一次函数关系．当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间；当标准房的价格为210元时，每天入住的房间数为55间．该馆规定每间标准房的价格不低于170元，且不高于240元．
（1）求房间数y（间）与标准房的价格x（元）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
24. 将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．

（1）如图1，连接，当点E在上时，求证：；
（2）当时，______________．
25. 材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合地物线．
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为．


（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的解析式；
（2）若距离点P水平距离为处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
26. 如图，已知点在二次函数的图像上，且．

（1）若二次函数的图像经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②若，求顶点到的距离；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
27. 已知，正方形，等腰，其中．连接，点G为的中点，连接．

（1）如图1，若，当E，F，D三点共线时，，则______________；
（2）如图2，若点E在的延长线上，
①补全图形；
②判断与的数量和位置关系，并证明；
（3）将图2中的绕点B逆时针旋转至图3所示位置，在（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
28. 定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．
例如：图1是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图2所示，且它的“派生函数”的解析式为．

（1）在图3中画出函数关于点“派生函数”的图象；
（2）点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数H关于点M的“派生函数”．
①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.【答案】D
【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义判断即可；
【详解】解：A、是二元二次方程；不符合题意；
B、是分式方程；不符合题意；
C、是一元二次方程；符合题意；
D、是一元一次方程；不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义；能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：∵点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出a，b的值是解题关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据判别式的值确定根的情况即可．
【详解】解：，
∴有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．
5.【答案】D
【解析】【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数不为零，一元二次方程有实数根根的判别式大于等于零，建立不等式组求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解①得，，
解②得，
∴且．
故选：C．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程的根确定字母系数的取值，熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的根与根的判别式的关系，解不等式组，是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
【详解】解：把，，分别代入得，
；；；
则，，的大小关系是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立．
【详解】解：函数的最小值为时，①，
当时，时，②，
是一元二次方程的一个根时，③，
对称轴是直线时，④，
当甲不对时，由②和③联立，得不满足④，故不成立．
当乙不对时，由③和④联立，得满足①，故成立．
当丙不对时，由①和④联立，得不满足②，故不成立．
当丁不对时，由②和③联立，得不满足①，故不成立．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象及性质，能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解此题的关键．
二、 填空题
9.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如，a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程．
10.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-2，取a=-1，b=0即可得出结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），
∴c=-2．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c=-2是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】设方程的另一个根为m，根据一元二次方程根与系数的关系得到，据此求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵关于x的一元二次方程有一个根是4，另一个根为m，
∴，
∴，
∴方程的另一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两实数根，则．
12.【答案】50
【解析】【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．
【详解】解：绕点逆时针旋转到△的位置，
，，
，
//，
，
，
，
，
故答案为50．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
13.【答案】
【解析】【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，把向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的点坐标为，然后利用顶点式写出所得新抛物线的解析式即可．
【详解】解：由题意得抛物线的顶点坐标为，先把向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的点坐标为，
∴所得新抛物线的解析式为： ．
故答案：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与几何变换，掌握抛物线平移后的形状不变，会利用顶点平移求解析式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】设个位数字为x，则十位数字为，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可．
【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为，
由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】【分析】分类讨论：①当三角板绕原点O旋转逆时针旋转时，过点作轴于点C．根据旋转的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标；②当三角板绕原点O旋转顺时针旋转时，根据旋转的性质可证明此时点在y轴上，即得出点的坐标．
【详解】解：①当三角板绕原点O旋转逆时针旋转时，如图，过点作轴于点C，

由旋转可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当三角板绕原点O旋转顺时针旋转时，如图．

由旋转可知，，
∵，
∴，
∴点在y轴上，
∴．
综上可知点A的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，含角的直角三角形的性质和勾股定理．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．
16.【答案】
【解析】【分析】根据旋转可得，设C点坐标为，根据点C和点D关于原点成中心对称，可得D点坐标为，得，所以B点坐标为，A点坐标为，根据列出方程即可求出a的值，进而可得结果．
【详解】解：∵绕点A旋转，
∴，
∴，
∵轴，
∴轴，
设C点坐标为，
∵点C和点D关于原点成中心对称，
∴D点坐标为，
∴，
∴B点坐标为，
A点坐标为，
∴，
∴ ，
解得 ，
∴点A的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
三、 解答题
17.【答案】（1），；（2），
【解析】【分析】（1）运用配方法，即通过配成完全平方形式来解一元二次方程，进行解答即可得；
（2）将系数化为1，再用配方法进行解答即可得．
【详解】解：（1）




，；
（2）




，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题的关键是掌握配方法．
18.【答案】（1） ； ；
（2）；
【解析】【分析】（1）根据二次函数图像的性质求解即可；
（2）根据抛物线的对称性和增减性求解即可.
【小问1详解】
解：∵抛物线开口向下
∴
∵点 关于直线的对称点为
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是
由图像可知：当时，y随x的增大而减小；
【小问2详解】
解：设点与点关于直线对称；
则点在抛物线的图像上；
由 可得：
∴
∵当时，y随x的增大而减小；
∴
∵抛物线与x轴的另一个交点的坐标是
∴当时，
∴
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
19.【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析，
【解析】【分析】（1）分别找到B、C的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据点B的坐标，向下数5格即为x轴所在直线，向右数3格即为y轴所在的直线，由此建立坐标系，再由对称性可知点是的中点，据此求出的坐标，同理求出的坐标，再顺次连接即可；
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；

【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
由题意得

【点睛】本题主要考查了旋转作图，作关于非原点对称的对称图形，坐标与图形等，熟知相关知识是解题的关键．
20.【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】【分析】（1）分和两种情况进行判断即可；
（2）先利用求根公式得到，然后利用有理数的整除性确定整数m的值．
【小问1详解】
证明：当时，关于x的方程为，
此时，方程有一个实数根；
当时，方程为一元二次方程，
∴ ，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
综上，关于x的方程总有实数根；
【小问2详解】
∵方程有两个实数根
∴方程为一元二次方程，
∴
∴，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，
∴或．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
21.【答案】∠BAD=60°，AD的长为5．
【解析】【分析】由旋转的性质可得出∠ADE=60°、DA=DE，进而可得出△ADE为等边三角形以及∠DAE=60°，由点A、C、E在一条直线上可得出∠BAD=∠BAC-∠DAE=60°；由点A、C、E在一条直线上可得出AE=AC+CE，根据旋转的性质可得出CE=AB，结合AB=3、AC=2可得出AE的长度，再根据等边三角形的性质即可得出AD的长度．
【详解】解：∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠DAE=60°．
∵点A、C、E在一条直线上，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°．
∵点A、C、E在一条直线上，
∴AE=AC+CE．
∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴CE=AB，
∴AE=AC+AB=2+3=5．
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE=5．
【点睛】本题考查了旋转性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE为等边三角形是解题的关键．
22.【答案】（1）3 （2），图象见解析
（3）
【解析】【分析】（1）由表格可求出该抛物线的对称轴，从而即可求出m的值；
（2）根据表格结合（1）可知其顶点坐标为，故可设该抛物线解析式为．再将，代入，即可求出a的值，即得出其解析式，最后描点画图即可；
（3）根据该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，结合图象可知．再根据抛物线的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等．最后根据，得出点B到直线的距离，即时，满足，结合表格即可知．
【小问1详解】
由表格可知当时，；当时，，
∴该抛物线的对称轴为直线．
∴当时的函数值与时的函数值相等．
∵当时，，
∴当时，，即．
故答案为：3；
【小问2详解】
由（1）知该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
∴可设该抛物线解析式为．
∵当时，，
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式为．
该二次函数的图象如图，
【小问3详解】
∵该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，
∴．
由二次函数的对称性可知点A和点B关于直线对称，即点A到直线的距离和点B到直线的距离相等．
∵，
∴点B到直线的距离．
∴当，即时，满足．
∴．　
综上可知．

【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
23.【答案】（1），
（2）当宾馆标准房的价格定为170元时，客房的日营业额最大，最大为12750元
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据营业额单价数量，建立w与x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设房间数y（间）与标准房的价格x（元）的函数关系式为，
由题意得，
∴，
∴房间数y（间）与标准房的价格x（元）的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意得，
∵，
∴当时，随x增大而减小，
∴当时，w最大，最大为，
∴当宾馆标准房的价格定为170元时，客房的日营业额最大，最大为12750元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意，正确列出对应的关系式是解题的关键．
24.【答案】（1）证明见解析
（2）当时，或
【解析】【分析】（1）只需要利用证明，即可证明；
（2）当时，点G在的垂直平分线上，据此分两种情形：①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，证明是等边三角形，得到，则旋转角；当点G在左侧时，同理可得是等边三角形，可得．
【小问1详解】
解：∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，点G在的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，

∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴旋转角；
②当点G在左侧时，同理可得是等边三角形，

∴，
∴旋转角．
综上所述，当时，或
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质的运用，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质的运用．
25.【答案】（1）（答案不唯一）
（2）这两条吊索的总长度为．
【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，直线为x轴，为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知点P为该抛物线顶点，且其坐标为，，即可设该抛物线解析式为，再将代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式．（建立不同的坐标系所求解析式不同，故答案不唯一）；
（2）根据求出的抛物线解析式，将和代入解析式中，即可求得两根吊索的长度，从而可以求得两根吊索总长度．
【小问1详解】
如图，以点A为坐标原点，直线为x轴，为y轴建立平面直角坐标系．

∵两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，
∴点P为该抛物线顶点，且其坐标为，
∴可设该抛物线解析式为．
将代入，得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
【小问2详解】
距离点P水平距离为处有两条吊索需要更换，
∴所需更换的点的横坐标为或．
将代入，得．
代入，得．
∴这两条吊索的总长度为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的建立平面直角坐标系并利用待定系数法求出函数解析式是解题关键
26.【答案】（1）①；②
（2）
【解析】【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；
②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可．
【小问1详解】
解：①将点代入中，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为：；
②当时，此时为平行x轴的直线，
将代入二次函数中得到：，
将代入二次函数中得到：，
∵，
∴=，
整理得到：，
又∵，代入上式得到：，解出，
∴，即直线为：，
又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，
∴顶点(2,-1)到的距离为；
【小问2详解】
解：若M，N在对称轴的异侧，，
∴x1+3>2，
∴x1>-1，
∵
∴，
∴-1<，
∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=，
∴，
∴；
若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，
∵，
∴，
∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，
∴y-（-1）=1，
∴a=，
∴，
∴，
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．
27.【答案】（1）
（2）①见解析②，；证明见解析
（3）成立；证明见解析
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得的长度，然后证明是等腰直角三角形即可得出结果；
（2）①根据题意画图即可；②延长，相交于点；证明 是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）延长至点，使，连接；作交于点；通过证明，得出 是等腰直角三角形，即可得出结论；
【小问1详解】
解：如图，连接；

在正方形中，
在中，

∵
∴
∵点G为的中点
∴
∴
在中，

∴
∴
【小问2详解】
解：①图形如下：

② 且
证明：如图，延长，相交于点；

∵
∴
∴
∵点G为的中点
∴
在和中

∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
【小问3详解】
解：成立；理由如下：
如图，延长至点，使，连接；作交于点；

∵点G为的中点
∴
在和中

∴
∴ ，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
即：
在四边形中，
∴
∵
∴
∴
在和中

∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴ ，
【点睛】本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质；根据中点构造全等三角形是解题的关键．
28.【答案】（1）见解析 （2）①；②或．
【解析】【分析】（1）根据“派生函数”的定义在的部分任取一点关于直线x=1的对称点为，再运用待定系数法求出对称部分的函数解析式，即可画出其图象；
（2）①根据“派生函数”定义求出函数的解析式为，画出其图象即得出答案；②根据“派生函数”的定义求出函数的解析式为，即函数中的部分只是由左右平移而来．画出图象，再分类讨论即可得出结果．
【小问1详解】
函数在的部分任取一点，其关于直线的对称点为，
设函数图象关于对称的部分的图象解析式为，
将代入解析式，得：，
解得：，
∴“派生函数”的解析式为，
∴其图象如图所示，
【小问2详解】
①∵函数，
∴其顶点坐标为．
∵点关于直线的对称点坐标为，
∴函数关于直线对称的图象的解析式为：，
∴的解析式为，
∴其图象如图．

令，则，
解得：．
∵，
∴结合图象可知此时；
②函数的顶点坐标为，
点关于对称的点的坐标为，
∴函数关于对称的函数解析式为，
∴的解析式为，
∴函数中的部分只是由左右平移而来．
分类讨论：当函数中经过点D时，如图，此时正方形与函数的图象有1个公共点，即再往左移动即有2个公共点．

将代入，得，
解得：，
∵此时，
∴，
∴；
当函数中的图象移动到如图所示的位置时，恰有3个交点，即到达此位置之前都为2个交点，此时．

将代入，即
解得：（舍），
∴，
再将代入，得：
解得：．
∵此时，
∴，
∴，
∴当时，正方形与函数的图象有2个公共点；
当函数中的图象继续移动到经过C点时，此时有3个交点，再继续运动有2个交点．

∴将代入，得，
解得：，．
∵此时，
∴，
∴，
∴当时，正方形与函数的图象有2个公共点；
综上可知正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，为压轴题．理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，再借助图象解题是关键.