专题1.1集合的四种解题方法与真题训练2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（原卷及解析版）

2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）

专题1.1集合的四种解题方法与真题训练

方法一：venn图法解决集合运算问题

一、单选题

1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答.

【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是，而全集，，，

所以.

故选：D

2．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（            ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，分析可知阴影部分所表示的集合为，利用交集的定义可求得结果.

【详解】因为或，则，

由题意可知，阴影部分所表示的集合为.

故选：B.

3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知全集，集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.

【详解】解：因为全集，集合，，

所以，所以.

故选：A

二、填空题

4．（2019·江苏南京·三模）已知全集，，则________.

【答案】

【分析】利用集合的补集运算即可求解.

【详解】由全集，，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.

5．（2020·江苏南通·三模）已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，则集合AB＝ _______ .

【答案】{﹣1，0，2}

【解析】直接根据并集运算的定义求解即可．

【详解】解：∵A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，

∴AB＝{﹣1，0，2}，

故答案为：{﹣1，0，2}．

【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．

方法二：分类讨论方法解决元素与集合关系问题

一、单选题

1．（2013·全国·高考真题（理））设集合，，，则M中元素的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】由题意知，，

则x的可能取值为5,6,7,8.

因此集合M共有4个元素，故选B.

【考点定位】集合的概念

二、填空题

2．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A，B满足：，，函数对于下列结论：

①不存在非空集合对，使得为偶函数；

②存在唯一非空集合对，使得为奇函数；

③存在无穷多非空集合对，使得方程无解．

其中正确结论的序号为_________．

【答案】①③

【分析】通过求解可以得到在集合A，B含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当与都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程判断③是否正确

【详解】①若，，则，，

若，，则，，

若，，则，，

若，，则，，

综上不存在非空集合对，使得为偶函数

②若，则或，当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数

当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数

所以存在非空集合对，使得为奇函数，且不唯一

③解的，解的，当非空集合对满足且，则方程无解，又因为，，所以存在无穷多非空集合对，使得方程无解

故答案为：①③

【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理

①通过对所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对使得函数为偶函数

②观察可以发现为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式归并到当中，使得成为奇函数

③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案

三、解答题

3．（2020·北京·模拟预测）对给定的正整数，令，，，，，，2，3，，．对任意的，，，，，，，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合，，中的最小值称为的特征，记作（A）．

（Ⅰ）当时，直接写出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，．

（Ⅱ）当时，设且（A），求中元素个数的最大值；

（Ⅲ）当时，设且（A），求证：中的元素个数小于．

【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明详见解析.

【解析】（Ⅰ）根据与的距离的定义，直接求出的最小值即可；

（Ⅱ）一方面先证明中元素个数至多有2 个元素，另一方面证明存在集合中元素个数为2 个满足题意，进而得出中元素个数的最大值；

（Ⅲ）设，，，定义的邻域，先证明对任意的， 中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明，于是得到中共有 个元素，但中共有 个元素，所以，进而证明结论．

【详解】

（Ⅰ）（A），（B），（C）；

（Ⅱ）（a） 一方面：对任意的，，，，，，

令（a），，，，，，

则，（a），故（a），

令集合（a），则，

且 和 的元素个数相同，

但 中共有 个元素，其中至多一半属于，

故中至多有2 个元素．

（b）另一方面：设，，， 是偶数，

则 中的元素个数为 对任意的

，，，，，，，，，

易得与

奇偶性相同，

故 为偶数，由，得，故，

注意到，0，0，0，，0，，，1，0，0，， 且它们的距离为2，

故此时满足题意，

综上，中元素个数的最大值为2．

（Ⅲ）当 时，设 且（A），

设，，，

任意的，定义的邻域，

（a） 对任意的， 中恰有 2021 个元素，事实上

①若，则，恰有一种可能；，

②若，则 与，恰有一个分量不同，共2020种可能；

综上， 中恰有2021个元素，

（b） 对任意的，，

事实上，若，

不妨设，，，，，

则

，

这与（A），矛盾，由 （a） 和 （b），

中共有 个元素，

但中共有 个元素，

所以，

注意到是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到，

所以，集合 中的元素个数小于．

【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．

方法三：根据集合包含关系求参数值或范围

一、单选题

1．（2021·全国·模拟预测）已知集合，．若，则实数k的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出集合，再根据，知，列出不等式，解之即可得出答案.

【详解】解：解不等式，得，即，

或，

由，知，

所以或，解得或.

故选：D．

2．（2021·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合，然后由题意得，从而建立不等式组求得的范围.

【详解】解不等式，得，所以.

由，得，

∴，解得﹒

故选：B

方法四：数轴法解决集合运算问题

一、单选题

1．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集，已知集合，，则 =（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简集合，先求出，再求出其补集即可得解.

【详解】或，，

所以，

所以 ，即.

故选：D

2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知集合，，则（       ）

A．R B． C． D．

【答案】D

【分析】求函数定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.

【详解】由得，则，由解得，即，

所以.

故选：D

3．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出集合M，N，然后进行并集的运算即可.

【详解】∵，，

∴.

故选：C.

二、填空题

4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）设集合，则________.

【答案】

【分析】根据交集的定义求解即可.

【详解】解不等式 ，得 ，解得 ，

即 ， ；

故答案为： .

5．（2020·上海·模拟预测）已知集合，，则______．

【答案】

【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.

6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合，，则______.

【答案】

【分析】利用集合的交运算即可求解.

【详解】由集合，，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.

7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合，集合，则________．

【答案】

【详解】，，

所以．

【点睛】本题考查了交集运算，此题属于简单题.

8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U＝R，A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则＝_____．

【答案】或

【分析】先化简集合,再求，最后求得解.

【详解】解：A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，

B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，

则＝{x|x≥3或x≤﹣1}，

则＝或，

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

【真题训练】

一、单选题

1．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可得，由此可得出结论.

【详解】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

3．（2021·全国·高考真题（理））设集合，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为，所以,

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

4．（2021·全国·高考真题）设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集、补集的定义可求.

【详解】由题设可得，故，

故选：B.

5．（2021·天津·高考真题）设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集并集的定义即可求出.

【详解】，

，.

故选：C.

6．（2021·江苏·高考真题）已知集合，，若，则的值是（       ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】B

【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.

【详解】因为，若，经验证不满足题意；

若，经验证满足题意.

所以.

故选：B.

7．（2021·湖南·高考真题）已知集合，，且（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直接进行交集运算即可求解.

【详解】因为集合，

所以，

故选：A.

8．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，

若，则或，不满足必要性，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

9．（2021·湖南·高考真题）“x=1”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】将代入可判断充分性,求解方程可判断必要性,即可得到结果.

【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件；

由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件,

故选:A

【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.

10．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

11．（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：.

故选：D.

12．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】由题意可得：.

故选：B.

13．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

14．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.

【详解】由题意，若，则，故充分性成立；

若，则或，推不出，故必要性不成立；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

15．（2021·山东·高考真题）假设集合，，那么等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据交集的定义求解即可.

【详解】，，

.

故选：B.

16．（2020·山东·高考真题）已知全集，集合，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用补集概念求解即可.

【详解】.

故选：C

二、填空题

17．（2020·江苏·高考真题）已知集合，则_____.

【答案】

【分析】根据集合的交集即可计算.

【详解】∵,

∴

故答案为：.

【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．

18．（2021·山东·高考真题）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算____________________________________．

【答案】或

【分析】由题设条件求，，，，，的大小关系，再根据集合运算新定义求即可.

【详解】，得；，得；

∴，；同理，

∴．由(1)(3)可得．

∴，，．

或．

故答案为：或