福建省龙岩市第二中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份福建省龙岩市第二中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省龙岩二中八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若∠A+∠B﹣∠C＝0，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（　　）

A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形内角和180°
4．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（　　）
A．50° B．80° C．65° D．50°或80°
5．如图，∠A＝∠C＝90°，AD、BC交于点E，∠2＝25°，则∠1的值为（　　）

A．55° B．35° C．45° D．25°
6．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（　　）

A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
7．下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝6cm，△ADC的周长为18cm，则△ABC的周长是（　　）

A．20cm B．24cm C．30cm D．34cm
9．如图，在△ABC中，已知S△ABD：S△ACD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为9cm2，则△AED的面积为（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
10．如图在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，若BD＝3，CE＝4，S△ADE＝15，则△ABD与△AEC的面积之和为（　　）

A．36 B．21 C．30 D．22
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若一个多边形的每一个外角都是45°，则它是　 　边形．
12．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AC＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多1cm，则AB＝　 　cm．

13．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．

14．如图、在△ABC中，AC＝4，BC＝5，△ABC的高AD与高BE之比是：　 　．

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC．若AD＝6，则点D到直线AB的距离为　 　．

16．如图，等边△ABC中，AB＝2，高线AH＝，D是AH上一动点，以BD为边向下作等边△BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长为　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？（要求：列方程解，要有解题过程）
18．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：∠C＝∠D．

19．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）写出A、B、C的对应点A'、B'、C′的坐标；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAC的周长最小．

20．已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|．
21．如图在△ABC中，解决以下问题．
（1）尺规作图，做出角A平分线AD，AD与边BC交于点D；
（2）在（1）的条件下用三角板画出△ABD和△ACD的高DE和DF，再连接EF，证明：AD线段EF的垂直平分线．

22．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．

23．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即等角对等边）．（要求：画出图形，写出已知，求证并证明）
24．如图，D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，以AD为一边作等腰直角△ADE，DE为斜边，连接CE．

（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）以CE所在的直线为对称轴，画出△ACE的对称图形△FCE；
（3）当D、E、F三点共线时，求∠BAD度数．

25．已知△ABC中，AC＝BC，点D是线段AB上一动点（不与点A和AB中点重合），连接CD，作点A关于直线CD的对称点E，连接AE，BE，CE．
（1）如图1，若∠ACB＝50°．
①当AD＜BD时，求∠AEB的度数；
②当AD＞BD时，画出图形，并求∠AEB的度数；
（2）若∠ACB＝α，请探究∠ACD与∠ABE的数量关系．（直接写出结论）



参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．在△ABC中，若∠A+∠B﹣∠C＝0，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，即可判断．
解：∴∠A+∠B﹣∠C＝0，
∴∠C＝∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：A．
3．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（　　）

A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形内角和180°
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．根据三角形的稳定性，可直接选择．
解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
4．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（　　）
A．50° B．80° C．65° D．50°或80°
【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
解：（1）当50°角为顶角，顶角度数为50°；

（2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：D．
5．如图，∠A＝∠C＝90°，AD、BC交于点E，∠2＝25°，则∠1的值为（　　）

A．55° B．35° C．45° D．25°
【分析】根据等角的余角相等得到∠1与∠2的关系，从而得到∠1的度数．
解：∵∠2＝90°﹣∠AEB，
∠1＝90°﹣∠CED，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴∠1＝∠2＝25°．
故选：D．
6．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（　　）

A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABO＝∠OCD＝90°，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
则证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，
故选：B．
7．下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．
解：①全等三角形的对应边相等，正确；
②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形．故该选项错误；
④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故正确；故正确的是①④．故选D．
8．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝6cm，△ADC的周长为18cm，则△ABC的周长是（　　）

A．20cm B．24cm C．30cm D．34cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DA，AB＝2AE＝12cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，AB＝2AE＝12（cm），
∵△ADC的周长为18cm，
∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝18（cm），
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝30（cm），
故选：C．
9．如图，在△ABC中，已知S△ABD：S△ACD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为9cm2，则△AED的面积为（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．
解：∵点E是AB的中点，
∴△AED的面积＝△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD＝2：1，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积×，
∴△AED的面积＝△ABC的面积××＝9×＝3（cm2），
故选：C．
10．如图在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，若BD＝3，CE＝4，S△ADE＝15，则△ABD与△AEC的面积之和为（　　）

A．36 B．21 C．30 D．22
【分析】将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB，过点A作AH⊥BC于H，得出∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，由“SAS”可证△DAE≌△DAF，由全等三角形的判定与性质得出DE＝DF，由勾股定理求出DE的长，根据三角形的面积可求出答案．
解：将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB，过点A作AH⊥BC于H，

根据旋转的性质可得△AEC≌△ABF，
∴∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，
∴∠FBE＝45°+45°＝90°，BF＝CE，
∴BD2+BF2＝DF2，
∵∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠BAD+∠BAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
又∵AD＝AD，
∴△DAE≌△DAF（SAS），
∴DE＝DF，
∴BD2+BF2＝DE2，
∵BD＝3，CE＝4，
∴DE＝5，
∴BC＝BD+DE+CE＝12，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH⊥BC，
∴AH＝BH＝CH＝BC＝6，
∴△ABD与△AEC的面积之和＝×BD×AH+×CE×AH＝×（3+4）×6＝21，
方法二、四边形ADBF的面积＝S△ABF+S△ABD＝S△ADF+S△BDF＝15+6＝21，即可得到S△AEC+S△ABD＝21，
故选：B．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若一个多边形的每一个外角都是45°，则它是　八　边形．
【分析】任意多边形的外角和为360°，用360°除以45°即为多边形的边数．
解：360°÷45°＝8．
故答案为：八．
12．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AC＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多1cm，则AB＝　7　cm．

【分析】根据三角形中线的概念得到CE＝BE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
∵△ACE的周长比△AEB的周长多1cm，
∴（AC+AE+CE）﹣（AB+BE+AE）＝1cm，即AC﹣AB＝1cm，
∵AC＝8cm，
∴AB＝7cm，
故答案为：7．
13．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　∠B＝∠C或AE＝AD　（添加一个条件即可）．

【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，∠A＝∠A，则可以添加AE＝AD从而利用SAS来判定其全等，或添加∠B＝∠C从而利用AAS来判定其全等．
解：添加∠B＝∠C或AE＝AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．
故答案为：∠B＝∠C或AE＝AD．
14．如图、在△ABC中，AC＝4，BC＝5，△ABC的高AD与高BE之比是：　　．

【分析】根据三角形面积公式列式可得结论．
解：∵AD和BE是△ABC的两条高，
∴S△ABC＝，
∵AC＝4，BC＝5，
∴5AD＝4BE，
∴＝．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC．若AD＝6，则点D到直线AB的距离为　3　．

【分析】根据直角三角形两锐角互余和角平分线的定义可得∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，过点D作DE⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质可得DE垂直平分AB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE＝AD．
解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，
过点D作DE⊥AB，则DE垂直平分AB，
∴DE＝AD＝×6＝3，
∴点D到直线AB的距离为3，
故答案为：3．

16．如图，等边△ABC中，AB＝2，高线AH＝，D是AH上一动点，以BD为边向下作等边△BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长为　　．

【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD＝EC，可得结论．
解：如图，连接EC．

∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝EC，
∵点D从点A运动到点H，
∴点E的运动路径的长为AH＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？（要求：列方程解，要有解题过程）
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设这个多边形是n边形，则根据题意，得：
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
答：这个多边形是八边形；
18．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：∠C＝∠D．

【分析】利用SSS证明△ABD≌△BAC可得结论．
【解答】证明：在△ABD和△BAC中，
∵AD＝BC，BD＝AC，AB＝BA，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠C＝∠D．
19．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）写出A、B、C的对应点A'、B'、C′的坐标；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAC的周长最小．

【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）依据△A'B'C′各顶点的位置，即可得出点A'、B'、C′的坐标；
（3）连接AC'（或CA'）与y轴的交点即为Q．
解：（1）如图所示，△A'B'C′即为所求；

（2）由图可得，A'（4，1）、B'（3，3）、C′（1，2）；
（3）如图所示，点Q即为所求．
20．已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|．
【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c＝4a﹣2c．
21．如图在△ABC中，解决以下问题．
（1）尺规作图，做出角A平分线AD，AD与边BC交于点D；
（2）在（1）的条件下用三角板画出△ABD和△ACD的高DE和DF，再连接EF，证明：AD线段EF的垂直平分线．

【分析】（1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可；
（2）先根据角平分线的性质得到DE＝DF，再证明Rt△ADE≌Rt△ADF，ADF得到AE＝AF．然后根据线段垂直平分线的性质定理得逆定理可判断AD线段EF的垂直平分线．
【解答】（1）解：如图，AD为所作；

（2）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∴D点在线段EF的垂直平分线上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE＝AF．
∴A点在线段EF的垂直平分线上，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
22．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．

【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是△ABC的角平分线即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
23．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即等角对等边）．（要求：画出图形，写出已知，求证并证明）
【分析】根据题意画出图形，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据∠B＝∠C证明△ABC为等腰三角形，从而得出结论．
【解答】已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，
求证：AB＝AC．
证明：过点A作AD平分∠ABC，交BC于点D，如图所示．
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC．

24．如图，D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，以AD为一边作等腰直角△ADE，DE为斜边，连接CE．

（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）以CE所在的直线为对称轴，画出△ACE的对称图形△FCE；
（3）当D、E、F三点共线时，求∠BAD度数．

【分析】（1）根据SAS证明△ACE和△ABD全等即可；
（2）根据轴对称的性质画出图形即可；
（3）根据轴对称的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵BC、DE分别是两个等腰直角△ADE、△ABC的斜边，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
（2）解：如图所示为所求：

（3）解：若点D、E、F三点共线，则∠DEF＝180°，

∴∠DEF+∠AED＝180°+45°，
根据对称性可知∠FEC＝∠AEC＝225°÷2＝112.5°，
∴∠EFC＝180°﹣45°﹣112.5°＝22.5°，
∵∠DCF＝90°+45°＝135°，
∴∠FDC＝180°﹣135°﹣22.5°＝22.5°，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠ABC，
又∵∠ABC＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝22.5°．
25．已知△ABC中，AC＝BC，点D是线段AB上一动点（不与点A和AB中点重合），连接CD，作点A关于直线CD的对称点E，连接AE，BE，CE．
（1）如图1，若∠ACB＝50°．
①当AD＜BD时，求∠AEB的度数；
②当AD＞BD时，画出图形，并求∠AEB的度数；
（2）若∠ACB＝α，请探究∠ACD与∠ABE的数量关系．（直接写出结论）

【分析】（1）①由轴对称的性质得出CA＝CE，由等腰三角形的性质得出∠CAE＝∠CEA，由三角形内角和定理可得出答案；
②由题意画出图形，方法同①，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论；
（2）分两种情况，当AD＜BD时，如图1中，设∠ACD＝x，∠ABE＝y，由等腰三角形的性质得出∠CEB＝∠CBE，由三角形内角和定理可证出x＝y，则可得结论；当AD＞BD时，设∠ACD＝x，如图2，∠BCD＝α﹣x，由轴对称的性质可得出∠ACD＝∠ECD，则∠ECB＝2x﹣α，根据∠ABE＝∠ABC+∠CBE可得出结论．
解：（1）①如图1，

∵点A关于直线CD的对称点E，
∴CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝90°﹣∠ACE，
∵AC＝BC，
∴BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝90°﹣∠CBE，
∴∠AEB＝∠AEC+∠BEC＝90°﹣∠ACE+90°﹣∠BCE
＝180°﹣∠ACB
＝180°﹣25°＝155°；
②如图2，

同理可得，AC＝BC＝CE，
∴∠CEA＝90°﹣∠ACE，∠CEB＝90°﹣∠ECB，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CEA
＝（90°﹣∠ECB）﹣（90°﹣∠ACE）
＝（∠ACE﹣∠ECB）
＝∠ACB＝25°．
（2）①当AD＜BD时，如图1中，设∠ACD＝x，∠ABE＝y，
由轴对称的性质可得出∠ECD＝x，
∴∠BCE＝α﹣2x，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵CE＝CB，
∴∠CEB＝∠CBE，
在△BCE中，∠BCE+2∠CBE＝180°，
∴α﹣2x+2（90°﹣α+y）＝180°，
∴x＝y，
即∠ACD＝∠ABE；
②当AD＞BD时，设∠ACD＝x，如图2，∠BCD＝α﹣x，
由轴对称的性质可得出∠ACD＝∠ECD，
∴∠ECB＝2x﹣α，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠CBE＝（180°﹣2x+α）＝90°﹣x+α，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°﹣α+（90°﹣x+α）＝180°﹣x，
即∠ABE+∠ACD＝180°．
综上所述，∠ACD与∠ABE的数量关系为∠ACD＝∠ABE或∠ABE+∠ACD＝180°．