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河南省安阳市飞翔中学2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷(含答案)
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这是一份河南省安阳市飞翔中学2022-2023学年上学期八年级期中数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了下列四个图形中是轴对称图形的是，下列运算正确的是，在平面直角坐标系中，点A，如图，直角坐标系中，点A个等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安阳市第八中学学区八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．8cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cm D．6cm，7cm，13cm
3．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5÷a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．3a2﹣2a＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
5．在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
6．如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
9．如图，①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OM、ON于A、C两点；②再分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点B；③作射线OB，则OB为∠MON的角平分线的依据为（ ）
A．SAS B．SSS C．HL D．ASA
10．如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：ab2﹣4a＝ ．
12．已知am＝4，an＝6，则am+n＝ ．
13．如图∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
14．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是 ．
15．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长最小值为:
三．解答题（共8小题）
16．化简：
（1）（m+2n）（3n﹣m）；
（2）（12m3﹣6m2+3m）÷3m．
17． 先化简，再求值：[（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2+3y（x﹣y）]÷（5y），其中x＝2，y＝4．
18．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
19．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、CA的延长线上的点，且CD＝AE，DA的延长线交BE于点F．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠BFD的度数．
ay8z1420．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1．（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（1）写出A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1的图形；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P是y轴上一动点，画出PA+PC最短时，点P的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
21．小轩计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于小轩将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为10x2﹣33x+20．
（1）求m的值；
（2）请计算出这道题的正确结果．
22．人教版八年级数学上册教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）填空：x2﹣6x+ 9 ＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣ 2 ；
（2）利用配方法分解因式：x2+4x﹣12；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值？并求出这个最大值．
23．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°，其中正确的有 ①②③ ．（将所有正确的序号填在横线上）
【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BED的数关系，并证明．
答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．8cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cm D．6cm，7cm，13cm
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2cm+3cm＝6cm，不能组成三角形，故本选项错误；
B、8cm+8cm＞15cm，能组成三角形，故本选项正确；
C、4cm+4cm＝8cm，不能组成三角形，故本选项错误；
D、6cm+7cm＝13cm，不能组成三角形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系．用两条较短的线段相加，如果不大于最长那条边就不能够组成三角形．
3．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5÷a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．3a2﹣2a＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A、a5÷a2＝a3，故本选项符合题意；
B、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C、3a2与﹣2a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】直接利用关于x轴对称的点，则其纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
6．如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．
【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
8．如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
【分析】因为∠ABC＝∠DCB，BC共边，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、补充∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故A正确；
B、补充AC＝DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故B错误；
C、补充AB＝DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故C正确；
D、补充∠ABD＝∠DCA，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．如图，①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OM、ON于A、C两点；②再分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点B；③作射线OB，则OB为∠MON的角平分线的依据为（ ）
A．SAS B．SSS C．HL D．ASA
【分析】根据SSS证明三角形全等即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AB，BC．
在△BOA和△BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（SSS），
∴∠AOB＝∠COB，
∴OB平分∠MON，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由AB＝AP，可得以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0）；
由BP＝AB，可得以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP，
由AP＝BP，可得AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA＝PB）．
【解答】解：如图，点A（﹣2，2）、B（0，1），
①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0），此时（AP＝AB）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP＝AB）；
③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA＝PB），此时（AP＝BP）；
设此时P4（x，0），
则（x+2）2+4＝x2+1，
解得：x＝﹣，
∴P4（﹣，0）．
∴符合条件的点有4个．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题那难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：ab2﹣4a＝ a（b+2）（b﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2），
故答案为：a（b+2）（b﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．已知am＝4，an＝6，则am+n＝ 24 ．
【分析】先根据同底数幂的乘法，再代入求出即可．
【解答】解：∵am＝4，an＝6，
∴am+n＝am•an＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能灵活根据am+n＝am•an变形是解此题的关键．
13．如图∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 300° ．
【分析】根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．
【解答】解：如图，
由题意得，∠5＝180°﹣∠EAB＝60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠5＝300°．
故答案为：300°．
【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．
14．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是 15° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD＝BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD＝∠A，然后求∠DBC的度数即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．
15．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长最小值为:8
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
△CDM周长的最小值为8
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．化简：
（1）（m+2n）（3n﹣m）；
（2）（12m3﹣6m2+3m）÷3m．
【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
【解答】解：（1）（m+2n）（3n﹣m）
＝3mn﹣m2+6n2﹣2mn
＝mn﹣m2+6n2；.......................................5分
（2）（12m3﹣6m2+3m）÷3m
＝12m3÷3m﹣6m2÷3m+3m÷3m
＝4m2﹣2m+1．.......................................5分
【点评】本题考查了多项式乘多项式和整式的除法，能正确根据运算法则进行计算是解此题的关键．
17．先化简，再求值：[（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2+3y（x﹣y）]÷（5y），其中x＝2，y＝4．
【分析】先根据整式的乘法法则和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝（x2+xy﹣xy﹣y2﹣x2+2xy﹣y2+3xy﹣3y2）÷5y
＝（5xy﹣5y2）÷5y
＝x﹣y，.......................................4分
当x＝2，y＝4时，原式＝2﹣4＝﹣2．.......................................6分
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝33°，根据三角形的外角性质求出∠AEC，根据直角三角形的性质求出∠DAE．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝42°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝33°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，.......................................5分
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝15°．.......................................10分
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
19．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、CA的延长线上的点，且CD＝AE，DA的延长线交BE于点F．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠BFD的度数．
【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAE＝∠ACD，从而证得△BAE≌△ACD，即可得到AD＝BE；
（2）由△BAE≌△ACD可得∠DAC＝∠EBA，又由∠DAC＝∠EAF，可得∠EAF＝∠EBA，再由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，可得∠BAE＝∠EAF+∠BAF＝120°，再利用三角形的内角和即可得到∠BFD的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB，
∵∠BAE+∠BAC＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°
∴∠BAE＝∠ACD，
在△BAE与△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE；.......................................6分
（2）∵△BAE≌△ACD，
∴∠DAC＝∠EBA，
∵∠DAC＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠EBA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝120°，
即∠EAF+∠BAF＝120°，
∴∠EBA+∠BAF＝120°
∴∠BFD＝60°．.......................................10分
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，等边三角形的性质，邻补角的定义，三角形的内角和，掌握这些知识是解决本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/10/31 19:32:50；用户：高 强；邮箱：ay8z143@qq.com；学号：21009526
20．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1．（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（1）写出A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1的图形；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P是y轴上一动点，画出PA+PC最短时，点P的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（3）连接A1C，与y轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，1），B1（2，﹣1），C1（1，3）．.......................................5分
（2）△A1B1C1的面积为3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；.......................................3分
（3）如图所示，点P即为所求．.......................................2分
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
21．小轩计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于小轩将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为10x2﹣33x+20．
（1）求m的值；
（2）请计算出这道题的正确结果．
【分析】（1）根据错误的符号进行计算，即可得出m的值；
（2）将m的值代入正确的式子进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知：（2x﹣m）（5x﹣4）
＝10x2﹣8x﹣5mx+4m
＝10x2﹣（8+5m）x+4m
＝10x2﹣33x+20，
所以8+5m＝33或4m＝20，
解得：m＝5．
故m的值为5；.......................................5分
（2）（2x+5）（5x﹣4）
＝10x2﹣8x+25x﹣20
＝10x2+17x﹣20．.......................................3分
【点评】本题是多项式乘多项式，熟练掌握法则是关键，同时本题要注意理解题意，根据错误的符号进行计算，得出相应结论．
22．人教版八年级数学上册教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）填空：x2﹣6x+ 9 ＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣ 2 ；
（2）利用配方法分解因式：x2+4x﹣12；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值？并求出这个最大值．
【分析】（1）两式利用完全平方公式判断即可得到结果；
（2）原式变形后，利用完全平方公式配方得到结果，分解即可；
（3）原式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得出有最大值，并求出最大值即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣2；
故答案为：9，2；.......................................2分
（2）原式＝x2+4x+4﹣16
＝（x+2）2﹣16
＝（x+2+4）（x+2﹣4）
＝（x+6）（x﹣2）；.......................................6分
（3）原式＝﹣2（x2+2x）+8
＝﹣2（x2+2x+1）+10
＝﹣2（x+1）2+10，
∵（x+1）2≥0，
∴﹣（x+1）2≤0，即﹣2（x+1）2+10≤10，
则当x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值，最大值为10．...................................10分
【点评】此题考查了因式分解的应用，以及完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°，其中正确的有 ①②③ ．（将所有正确的序号填在横线上）
【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BED的数关系，并证明．
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，进而得出∠AOE＝60°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDC是等边三角形，得出BD＝BC，∠DBC＝60°，进而判断出△ABD≌△EBC（SAS），由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；.......................................4分
（2）解：如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE＝∠DGO，
∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，
∴∠DOE＝∠DAE＝60°，
∴∠BOC＝60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACO，
∵AB＝AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；.......................................3分
（3）∠A+∠BED＝180°．
如图3，
证明：∵∠BDC＝60°，BD＝CD，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝BC，∠DBC＝60°，
∵∠ABC＝60°＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BE，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠BEC＝∠A，
∵∠BED+∠BEC＝180°，
∴∠A+∠BED＝180°．.......................................4分
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
2022-2023学年安阳市第八中学学区八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．8cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cm D．6cm，7cm，13cm
3．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5÷a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．3a2﹣2a＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
5．在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
6．如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
9．如图，①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OM、ON于A、C两点；②再分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点B；③作射线OB，则OB为∠MON的角平分线的依据为（ ）
A．SAS B．SSS C．HL D．ASA
10．如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：ab2﹣4a＝ ．
12．已知am＝4，an＝6，则am+n＝ ．
13．如图∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
14．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是 ．
15．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长最小值为:
三．解答题（共8小题）
16．化简：
（1）（m+2n）（3n﹣m）；
（2）（12m3﹣6m2+3m）÷3m．
17． 先化简，再求值：[（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2+3y（x﹣y）]÷（5y），其中x＝2，y＝4．
18．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
19．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、CA的延长线上的点，且CD＝AE，DA的延长线交BE于点F．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠BFD的度数．
ay8z1420．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1．（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（1）写出A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1的图形；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P是y轴上一动点，画出PA+PC最短时，点P的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
21．小轩计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于小轩将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为10x2﹣33x+20．
（1）求m的值；
（2）请计算出这道题的正确结果．
22．人教版八年级数学上册教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）填空：x2﹣6x+ 9 ＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣ 2 ；
（2）利用配方法分解因式：x2+4x﹣12；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值？并求出这个最大值．
23．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°，其中正确的有 ①②③ ．（将所有正确的序号填在横线上）
【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BED的数关系，并证明．
答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．8cm，8cm，15cm
C．8cm，4cm，4cm D．6cm，7cm，13cm
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2cm+3cm＝6cm，不能组成三角形，故本选项错误；
B、8cm+8cm＞15cm，能组成三角形，故本选项正确；
C、4cm+4cm＝8cm，不能组成三角形，故本选项错误；
D、6cm+7cm＝13cm，不能组成三角形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系．用两条较短的线段相加，如果不大于最长那条边就不能够组成三角形．
3．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5÷a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．3a2﹣2a＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A、a5÷a2＝a3，故本选项符合题意；
B、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C、3a2与﹣2a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】直接利用关于x轴对称的点，则其纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：点A（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
6．如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．
【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
8．如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
【分析】因为∠ABC＝∠DCB，BC共边，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、补充∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故A正确；
B、补充AC＝DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故B错误；
C、补充AB＝DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故C正确；
D、补充∠ABD＝∠DCA，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．如图，①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OM、ON于A、C两点；②再分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点B；③作射线OB，则OB为∠MON的角平分线的依据为（ ）
A．SAS B．SSS C．HL D．ASA
【分析】根据SSS证明三角形全等即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AB，BC．
在△BOA和△BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（SSS），
∴∠AOB＝∠COB，
∴OB平分∠MON，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由AB＝AP，可得以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0）；
由BP＝AB，可得以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP，
由AP＝BP，可得AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA＝PB）．
【解答】解：如图，点A（﹣2，2）、B（0，1），
①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0），此时（AP＝AB）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP＝AB）；
③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA＝PB），此时（AP＝BP）；
设此时P4（x，0），
则（x+2）2+4＝x2+1，
解得：x＝﹣，
∴P4（﹣，0）．
∴符合条件的点有4个．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题那难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：ab2﹣4a＝ a（b+2）（b﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2），
故答案为：a（b+2）（b﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．已知am＝4，an＝6，则am+n＝ 24 ．
【分析】先根据同底数幂的乘法，再代入求出即可．
【解答】解：∵am＝4，an＝6，
∴am+n＝am•an＝4×6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能灵活根据am+n＝am•an变形是解此题的关键．
13．如图∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 300° ．
【分析】根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．
【解答】解：如图，
由题意得，∠5＝180°﹣∠EAB＝60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠5＝300°．
故答案为：300°．
【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．
14．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是 15° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD＝BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD＝∠A，然后求∠DBC的度数即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣50°）＝65°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．
15．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长最小值为:8
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
△CDM周长的最小值为8
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．化简：
（1）（m+2n）（3n﹣m）；
（2）（12m3﹣6m2+3m）÷3m．
【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
【解答】解：（1）（m+2n）（3n﹣m）
＝3mn﹣m2+6n2﹣2mn
＝mn﹣m2+6n2；.......................................5分
（2）（12m3﹣6m2+3m）÷3m
＝12m3÷3m﹣6m2÷3m+3m÷3m
＝4m2﹣2m+1．.......................................5分
【点评】本题考查了多项式乘多项式和整式的除法，能正确根据运算法则进行计算是解此题的关键．
17．先化简，再求值：[（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2+3y（x﹣y）]÷（5y），其中x＝2，y＝4．
【分析】先根据整式的乘法法则和完全平方公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝（x2+xy﹣xy﹣y2﹣x2+2xy﹣y2+3xy﹣3y2）÷5y
＝（5xy﹣5y2）÷5y
＝x﹣y，.......................................4分
当x＝2，y＝4时，原式＝2﹣4＝﹣2．.......................................6分
【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝33°，根据三角形的外角性质求出∠AEC，根据直角三角形的性质求出∠DAE．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝42°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝33°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，.......................................5分
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝15°．.......................................10分
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
19．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、CA的延长线上的点，且CD＝AE，DA的延长线交BE于点F．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠BFD的度数．
【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAE＝∠ACD，从而证得△BAE≌△ACD，即可得到AD＝BE；
（2）由△BAE≌△ACD可得∠DAC＝∠EBA，又由∠DAC＝∠EAF，可得∠EAF＝∠EBA，再由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，可得∠BAE＝∠EAF+∠BAF＝120°，再利用三角形的内角和即可得到∠BFD的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB，
∵∠BAE+∠BAC＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°
∴∠BAE＝∠ACD，
在△BAE与△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE；.......................................6分
（2）∵△BAE≌△ACD，
∴∠DAC＝∠EBA，
∵∠DAC＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠EBA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝120°，
即∠EAF+∠BAF＝120°，
∴∠EBA+∠BAF＝120°
∴∠BFD＝60°．.......................................10分
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，等边三角形的性质，邻补角的定义，三角形的内角和，掌握这些知识是解决本题的关键．
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20．在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1．（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（1）写出A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1的图形；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P是y轴上一动点，画出PA+PC最短时，点P的位置．（保留作图痕迹，不写画法）
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（3）连接A1C，与y轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，1），B1（2，﹣1），C1（1，3）．.......................................5分
（2）△A1B1C1的面积为3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；.......................................3分
（3）如图所示，点P即为所求．.......................................2分
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
21．小轩计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于小轩将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为10x2﹣33x+20．
（1）求m的值；
（2）请计算出这道题的正确结果．
【分析】（1）根据错误的符号进行计算，即可得出m的值；
（2）将m的值代入正确的式子进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知：（2x﹣m）（5x﹣4）
＝10x2﹣8x﹣5mx+4m
＝10x2﹣（8+5m）x+4m
＝10x2﹣33x+20，
所以8+5m＝33或4m＝20，
解得：m＝5．
故m的值为5；.......................................5分
（2）（2x+5）（5x﹣4）
＝10x2﹣8x+25x﹣20
＝10x2+17x﹣20．.......................................3分
【点评】本题是多项式乘多项式，熟练掌握法则是关键，同时本题要注意理解题意，根据错误的符号进行计算，得出相应结论．
22．人教版八年级数学上册教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）填空：x2﹣6x+ 9 ＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣ 2 ；
（2）利用配方法分解因式：x2+4x﹣12；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值？并求出这个最大值．
【分析】（1）两式利用完全平方公式判断即可得到结果；
（2）原式变形后，利用完全平方公式配方得到结果，分解即可；
（3）原式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得出有最大值，并求出最大值即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣2；
故答案为：9，2；.......................................2分
（2）原式＝x2+4x+4﹣16
＝（x+2）2﹣16
＝（x+2+4）（x+2﹣4）
＝（x+6）（x﹣2）；.......................................6分
（3）原式＝﹣2（x2+2x）+8
＝﹣2（x2+2x+1）+10
＝﹣2（x+1）2+10，
∵（x+1）2≥0，
∴﹣（x+1）2≤0，即﹣2（x+1）2+10≤10，
则当x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值，最大值为10．...................................10分
【点评】此题考查了因式分解的应用，以及完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．
【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．
【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°，其中正确的有 ①②③ ．（将所有正确的序号填在横线上）
【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD＝CD，AB＝BE，∠ABE＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BED的数关系，并证明．
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，进而得出∠AOE＝60°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDC是等边三角形，得出BD＝BC，∠DBC＝60°，进而判断出△ABD≌△EBC（SAS），由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；.......................................4分
（2）解：如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE＝∠DGO，
∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，
∴∠DOE＝∠DAE＝60°，
∴∠BOC＝60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACO，
∵AB＝AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；.......................................3分
（3）∠A+∠BED＝180°．
如图3，
证明：∵∠BDC＝60°，BD＝CD，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝BC，∠DBC＝60°，
∵∠ABC＝60°＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BE，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠BEC＝∠A，
∵∠BED+∠BEC＝180°，
∴∠A+∠BED＝180°．.......................................4分
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
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