2023玉溪一中高二上学期期中考试数学试题含答案

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玉溪一中2022—2023学年上学期高二年级期中考 数学学科试卷总分：150分  考试时间：120分钟   命题人：试题研究中心  审题人： 试题研究中心 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,,则(    ) A.        B.       C.          D.2.若经过,两点的直线的倾斜角是,则(    )   A.          B.            C.              D.3.若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是(    )A.,,  B.,,  C.,,  D.,, 4.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是,,求密码被成功破译的概率(    )   A.           B.            C.             D.      5.已知,若,,,则(    )A.      B.       C.        D.      6.已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥底面的面积为(    )    A.             B.             C.             D.7.已知圆,直线经过点,则直线被圆截得的最短弦长为(    )A.              B.               C.               D.  8.如图,平行六面体的底面是菱形,,且,则异面直线与所成角的余弦值为（      ）A.            B.         C.          D.  二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,漏选得3分,错选不得分。9.某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法,讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况,对本校2000名学生的得分情况进行了统计,按照[50,60）、[60,70）、…、[90,100]分成5组,并绘制了如图所示的频率分布直方图,下列说法正确的是 （      ）A．图中的值为0.020B．由直方图中的数据,可估计75%分位数是82C．由直方图中的数据,可估计这组数据的平均数为77D．90分以上将获得金牌小卫士称号,则该校有20人获得该称号10.已知为任意实数,当变化时,关于方程的说法正确的是（      ）A.该方程表示的直线恒过点 B.当且仅当时,该方程表示的直线垂直于轴C.若直线与平行,则D.若直线与直线垂直,则         11.已知函数,则（       ）A.函数的最大值为     B.当时,的最小正周期为C.若是的一条对称轴,则D.若在区间内有三个零点,则12.有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24,棱长为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点（包含端点）,则下列说法正确的是（   ）A.该半正多面体的体积为B.当点运动到点时, C.当点在线段上运动时（包含端点）,始终与垂直D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为    三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。13.复数的共轭复数是             .14.若向量,满足,,则的最大值为            .15.设空间两个单位向量,与向量的夹角的余弦值都等于,则              .16.已知实数满足,则的最大值为             . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题10分）已知直线（1）已知直线经过点,且与垂直,求的方程;（2）在上任取一点,在上任取一点,连接,取靠三等分点,过点作的平行线,求与之间的距离.   18.（本小题12分）在长方体中,,为上的动点,（1）求证：∥平面;（2）求与平面所成角的正弦值.    19.（本小题12分）在中,角的对边分别为,已知（1）求角;（2）当求的周长.  20.（本小题12分）已知圆内有一点,为过点且倾斜角为的弦.（1）当时,求的长;（2）若为的中点,求所在直线的方程.21.（本小题12分）如图,在直三棱柱中,,,,分别是棱,上的动点;（1）当时,求证：;（2）已知为中点时,线段上是否存在点,使得平面与平面夹角的余弦值为,若存在,请确定点的位置,若不存在,请说明理由.         22.（本小题12分）环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源,目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车,纯电动汽车.为了提高生产质量,有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试,国道限速,经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择：（且）(1)当时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（说明理由,并求所选函数模型的函数解析式;(2)根据（1）中所得函数解析式,求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地,前一段是的国道（汽车匀速行驶）,后一段是的高速路（汽车行驶速度不低于,匀速行驶）,若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足,则如何行使才能使得总耗电量最少,最少为多少？玉溪一中2022—2023学年上学期高二年级期中考 数学学科 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。题号123456789101112答案DBDBCACDACABDACDBCD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。  题号13141516答案 三、解答题：本大题共6小题，共70分。 （本小题10分）（1）设直线的方程为：,代入点,则有，,;···················································· 5分 （2）,直线与直线之间的距离,点是线段靠近点的三等分点,与之间的距离.······································ 10分  18.（本小题12分）（1）证：如图,连接、,在长方体中,∥且,四边形为平行四边形,∥,又平面,平面,∥平面,同理∥平面,又,平面∥平面,又平面,∥平面;······························· 6分 （2）如图，过点作垂足为,平面,平面,,又,平面,平面,平面,为直线与平面所成角,,,又,.····················· 12分  19.（本小题12分）（1）解：由已知得角化边得,,,,,·································· 5分 （2）解：由（1）得,,,又由余弦定理得,,,,所以周长为.············································ 12分  20.（本小题12分）（1）由题得圆的标准方程为,所以圆心的坐标为,半径,当时，直线的斜率.所以直线的方程为,即.圆心到直线的距离.所以.········································ 6分（2）由（1）知圆心的坐标为,为中点时,,,直线的斜率不存在,直线的方程为.················································· 12分 21.（本小题12分）（1）证：如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设则················ 5分（2）设,其中,则,故,设平面的法向量为,则,令，得,平面为平面，所以平面的法向量可为,假设存在点满足条件,设平面与平面的夹角为,则,即,,符合题意,所以线段上存在点,满足使得平面与平面夹角的余弦值为. ·····································································12分 22.（本小题12分）（1）若选,则当时,该函数无意义,不合题意.若选,显然该函数是减函数,这与矛盾,不合题意.故选择,有表中数据得,解得,所以当时,.················ 5分（2）由题可知该汽车在国道路段所用时间为,所耗电量所以当时,.该汽车在高速路段所用时间为所耗电量已知在上单调递增,所以故当该汽车在国道上行驶速度为,在高速路上的行驶速度为时,总耗电量最少,最少为.··································· 12分