2023长沙长郡中学高二上学期期中考试数学试卷含答案

长郡中学2022年下学期高二期中考试

数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．在数列中,且,则（    ）

A． B． C． D．

2．在棱长为1的正方体中,（    ）

A．1     B．     C．     D．2

3．在平面直角坐标系中,以点(0,1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（    ）

A．  B．  C． D．

4．在等比数列中,,若成等差数列,则的公比为（    ）

A．5     B．4     C．3     D．2

5．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与圆锥底面所成角的正弦值为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦中点坐标为(2,-1)，则椭圆的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．如图，在棱长为 2 的正四面体中，点分别为和的重心,为线段上一点，则（    ）

A．的最小值为2

B．若平面，则

C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为

D．若为线段的中点，且，则

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．已知直线，则（    ）

A．直线过定点(-2,-1)

B．当时,

C．当时,

D．当时,两直线之间的距离为1

10．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（    ）

A．

B．

C．(为常数)

D．

11.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑.”一个长方体沿对角面斜解(图1),得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).

若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是（    ）

A．        B．

C．          D．

12．已知是抛物线的焦点,是抛物线上的两点,为坐标原点，则（    ）

A．若，则的面积为

B．若，则

C．抛物线的准线方程为

D．若的中点在抛物线的准线上的投影为，则

第Ⅱ卷

三、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13．椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_____.

14．已知，若三向量共面，则实数_____.

15．在平面直角坐标系中,，若动点在直线上，圆过三点,则圆的面积最小值为_____.

16．已知数列满足,则数列的通项公式为_____,若数列 的前项和为，则满足不等式的的最小值为_____.

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

如图，在棱长是2的正方体中,分别为的中点.

(1)求异面直线与所成角的大小;

(2)证明:平面.

18．(本小题满分 12 分)

已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.

(1)求曲线的方程;

(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.

19．(本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为.

(1)求边上的中线所在直线的方程;

(2)求的外接圆被直线截得的弦长.

20．(本小题满分 12 分)

已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足.

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列满足的前项和为，证明: .

21．(本小题满分 12 分)

如图，在四棱锥中，四边形是矩形,是正三角形，且平面平面为棱的中点,四棱锥的体积为.

(1)若为棱的中点,求证:平面;

(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在,指出点的位置并给以证明; 若不存在，请说明理由.

22．(本小题满分 12 分)

已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，直线过与双曲线的右支交于两点，且当垂直于轴时,.

(1) 求双曲线的方程;

(2)过点且垂直于的直线与双曲线交于两点，求的取值范围.

长郡中学2022年下学期高二期中考试

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

8．D  【解析】  如图，易得，，又，则平面CDE，又平面CDE，则，同理可得，

，则平面ABD，又，平面ABD，所以，．则当点与点重合时，取得最小值，

又，则最小值为，A错误．

在正四面体ABCD中，因为平面ABC，易得在DN上，所以，

又点N，M也是和的内心，则点为正四面体ABCD内切球的球心．

，．

设正四面体ABCD内切球的半径为，

因为，

所以，

解得，即，故，B错误．

设三棱锥外接球的球心为，半径为，易得球心在直线DN上，且，如图．

则，解得，

故三棱锥外接球的表面积为，C错误．

若为线段EN的中点，则，

．

设，则．

因为，

所以设，则解得故，D正确．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

12．ABD  【解析】  因为拋物线，故，焦点，准线为，

设，，

对于A，如图1，由抛物线的定义可知，即，故，

代入，解得，

所以，故A正确；

对于B，由得，故，即，

又，，故，

得或（舍去），则，

，

故，故B正确；

对于C，易知准线为，故C错误；

对于D，如图2，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，连接MN，

，

在中，，

，

所以，即，故D正确．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．24

14．1

15．  【解析】  如图，要使圆的面积尽可能小，则，点位于第一象限，设，

又，，

所以线段AB的中垂线方程为，则圆心在直线上，

不妨设圆心坐标为，圆的半径为，所以，

即，

则，

所以，

所以，当且仅当即时取等号，

所以，所以圆面积的最小值为，此时．

16．；6（第一空2分，第二空3分）

【解析】  在数列中，，由得，而，

于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，

所以数列的通项公式为；

显然，，

则，

由得，即，令，则，即数列是递增数列，

由，得，而，因此，，从而得，，

所以满足不等式的的最小值为6．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解析】  根据题意，建立如图所示空间直角坐标系．

则，，，，，

∴，，，．

（1），

∴，

∴异面直线EF和所成的角为60°．

（2），

∴，即，，

∴，即．

又∵，平面，且，

∴平面．

18．【解析】  （1）设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为．

（2）当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，

此时直线的方程为；

当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；

当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，

联立整理可得，

则，即，解得，

此时直线的方程为，

综上所述，满足条件的直线的方程为或或．

19．【解析】  （1）∵，，

∴边的中点的坐标为，

∴中线AD的斜率为，

∴中线AD的直线方程为，即．

（2）设的外接圆的方程为，

∵，，三点在圆上，

∴解得

∴外接圆的方程为，即，

其中圆心为，半径，

又圆心到直线的距离为，

∴被截得的弦长的一半为，

∴被截得的弦长为．

20．【解析】  （1），，当时，，两式相减得，

由得，即，满足上式，

因此，，

于是得数列是首项为4，公比为4的等比数列，，

所以数列的通项公式是．

（2）由（1）知，，而，则，即，

则，

，

两式相减得，

所以．

21．【解析】  （1）如图，取SC中点，连接EF，FD，

∵E，F分别为SB，SC的中点，

∴，，

∵底面四边形ABCD是矩形，为棱AD的中点，

∴，，

∴，，

故四边形PEFD是平行四边形，

∴．

又∵平面，平面SCD，

∴平面SCD．

（2）假设在棱SA上存在点满足题意，

在等边中，为AD的中点，∴，

又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，

∴平面ABCD，则SP是四棱锥的高．

设，则，，

∴，解得．

以点为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

故，，．

设，

∴．

设平面PMB的一个法向量为，

则取．

易知平面SAD的一个法向量为，

∴，

∵，∴，

故存在点，位于AS靠近点的三等分点处满足题意．

22．【解析】  （1）依题意，，当垂直于轴时，，

即，即，

解得，，

因此双曲线的方程为．

（2）设，联立双曲线方程，

得，

当时，，，，，；

当时，设，，，

因为直线PQ与双曲线右支相交，

因此，即，同理可得，

依题意，

同理可得，，

而，

代入，，

，

分离参数得，，

因为，

当时，由，

，

所以，

综上可知，的取值范围为．