【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题01《集合与常用逻辑用语》讲义（新高考专用）

这是一份【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题01《集合与常用逻辑用语》讲义（新高考专用）
专题01 集合与常用逻辑用语 知识回顾1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（2）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．4、集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．【温馨提示】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,． 5.充分条件、必要条件与充要条件的概念6.全称量词命题和存在量词命题【温馨提示】1．从集合与集合之间的关系上看设.（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件.2.常见的一些词语和它的否定词如下表(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 常考题型1.集合的含义与表示：【例题1】已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3,2－x)∈Z))))，则集合A中的元素个数为(　　)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】　C【解析】　因为eq \f(3,2－x)∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.【自我提升】已知集合，集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.【详解】，，,故选：C2.集合的特征：【例题2】若，则实数a的取值集合为______．【答案】【解析】【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.【详解】因为，故或或，当时，，与元素的互异性矛盾，舍；当时，，符合；当时，或，根据元素的互异性，符合，故a的取值集合为.故答案为：【自我提升】知集合，则A中元素的个数为（       ）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根据x，y满足的关系式求得x，y的可能值，从而求得集合元素个数.【详解】由，得，，又，，所以，，易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为.故选：A.3.集合的关系：【例题3】集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)＋1，n∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝m＋\f(1,2)，m∈Z))))，则两集合M，N的关系为(　　)A．M∩N＝∅ B．M＝N C．M⊆N D．N⊆M【答案】　D【解析】　由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)，当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋eq \f(1,2)(k∈Z)，∴N⊆M，故选D.【自我提升】已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________．【答案】　(－∞，－2)∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))【解析】　A＝{x|－1≤x≤6}．∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m0，所以函数g（x）的值域是[2－a，2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即．故a的取值范围是．【点睛】1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.1. 已知集合，，则集合中元素个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可判断；【详解】因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C2. 已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【答案】B【详解】集合有两个元素：和，故选：B3. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出集合B，再由求出实数a的范围.【详解】或.因为集合，，所以.故选：D4. 设函数的定义域为，函数的定义域为，则=（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】本题考查的是求两集合的交集，但两集合都是与函数的定义域有关的问题，在这里还考查了两类函数的定义域的求解过程.设函数的定义域为=，函数的定义域为=.再求两集合的交集即可.5. 设集合，则的子集个数为（       ）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】A【解析】【分析】根据组合数的求解，先求得集合中的元素个数，再求其子集个数即可.【详解】因为，由，，，故集合有3个元素，故其子集个数为个.故选：A.6. 已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得.【详解】因为是的充分不必要条件，所以，即.故选：D.7. 已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】取特值可判断和，由辅助角公式化简可判断.【详解】当时，显然成立；当时，可知不成立；由辅助角得，所以所以的最大值为5，所以为假.故选：B8. 若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数的取值范围.【详解】∵命题“存在，使” 是假命题， 则其否定“任意， ” 为真命题,∴ ，所以 .故选： C.9.下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）（1），使，只需；（2），恒成立，只需；（3），，成立，只需；（4），，，只需．【答案】（2）（3）【解析】【分析】根据不等式恒成立问题和有解问题逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于（1），，使，只需，故（1）错误；对于（2），，恒成立，即恒成立，应需，故（2）正确；对于（3），，，成立，即需，故（3）正确；对于（4），，，，，应需，故（4）错误．综上，正确的命题是（2）（3）．故答案为：（2）（3）．【点睛】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.10.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．【解析】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，　∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒ pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有q(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，q(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，非q(x)∀x∈M，非p(x)原词语等于大于小于是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有