【高考大一轮单元复习】高考数学单元复习讲义与检测-专题08《立体几何》测试（新高考专用）

专题08 立体几何

1. 一个菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（       ）.

A． B． C． D．

2. 如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是（     ）

A． 四点不共面 B． 四点共面

C． 三点共线 D． 三点共线

3. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（       ）

A．90° B．45° C．60° D．30°

4. 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（       ）

A．a B． C． D．

5. 直四棱柱的底面是菱形，其侧面积是，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6.如图在正方体中，点为的中点，点为的中点，点在底面内，且平面，与底面所成的角为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7. 在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8.正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.

9.如图，在直三棱柱中，，，则当四棱锥的体积最大时，三棱柱外接球的体积为___________.

10.如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.

求证：（1）底面；

（2）平面；

（3）平面平面.

一．   单选题：

1. A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（       ）

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β＝直线AB

C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合

D．lα，nα，l∩n＝A⇒l与n不能确定唯一平面

2. 已知圆锥的顶点为，母线，，两两垂直且长为3，则该圆锥的体积为（    ）．

A． B． C． D．

3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列命题正确的为（    ）

①若，，则；

②若，，则；

③若，则，；

④若，则，.

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

4. 如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

5. 正方体中，、分别为、上的点，且满足，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）.

A． B． C． D．

6. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．不确定

7. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、多选题：

1. 如图，四棱锥底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（       ）

A．

B．平面

C．与平面所成的角是

D．与所成的角等于与所成的角

2. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（       ）

A．，，三点共线 B．，，，四点共面

C．，，，四点共面 D．，，，四点共面

3. 正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（       ）

A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为

C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为

4. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是（       ）

A．BM∥平面ADE B．CN∥平面BAF

C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF

5. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（       ）

A． B．截面PQMN

C． D．异面直线与所成的角为

三、填空题：

1. 周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径R的球O（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面与正方体底面所成二面角为，则_________．

2.在三棱锥中，平面平面ABC，，为等边三角形，若，则三棱锥外接球的体积为______．

3. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________.

4. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为______．

5. 已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，，AB与平面ACD所成角的正切值为，则点B到平面ACD的距离为______．

四、解答题：

1. 如图，正方体中，，分别为，的中点．

（1）求证：，，，四点共面；

（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．

2. 如图，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.

3. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点．

(1)求证：B1D∥平面ACE．

(2)若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF∥平面ACE．

4. 已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且.

(1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；

(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.

5. 如图，三棱台DEF ­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

(1)求证：平面ABED∥平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

6. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值；

(3)求到平面的距离．

1．【2022年全国甲卷理科07】在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（       ）

A． B．AB与平面所成的角为

C． D．与平面所成的角为

2．【2022年全国甲卷理科09】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ）

A． B． C． D．

3．【2022年全国乙卷理科07】在正方体中，E，F分别为的中点，则（       ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

4．【2022年全国乙卷理科09】已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（       ）

A． B． C． D．

5．【2022年新高考1卷04】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（       ）

A． B． C． D．

6．【2022年新高考1卷08】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．【2022年新高考2卷07】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

8．【2021年全国甲卷理科8】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ）

A．346 B．373 C．446 D．473

9．【2021年全国甲卷理科11】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

10．【2021年新高考1卷3】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

11．【2021年全国乙卷理科5】在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

12．【2021年全国乙卷理科9】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）

A．表高 B．表高

C．表距 D．表距

13．【2021年新高考2卷4】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ）

A．26% B．34% C．42% D．50%

14．【2021年新高考2卷5】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ）

A． B． C． D．

15.【2022年全国甲卷理科18】在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

16．【2022年全国乙卷理科18】如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

17．【2022年新高考1卷19】如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

18．【2022年新高考2卷20】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

19．【2021年全国甲卷理科19】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

20．【2021年新高考1卷20】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

21．【2021年全国乙卷理科18】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

22．【2021年新高考2卷19】在四棱锥中，底面是正方形，若．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

23．【2020年全国1卷理科18】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

24．【2020年全国2卷理科20】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.

25．【2020年全国3卷理科19】如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）证明：点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

26．【2020年山东卷20】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

27．【2020年海南卷20】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．