广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学（集团）2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学（集团）2022-2023学年上学期九年级期中考试数学试卷(含答案)，共20页。
华中师范大学龙岗附属中学（集团）2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD

2． 坪地中学即将召开第27届校运会，学校现招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．

3． 已知x1，x2是一元二次方程x2－3x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．x12－3x1＝0 C．x1＋x2＝3 D．x1•x2＝3

4． 如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）

A． B．4 C． D．6

5． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

6． 用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x－2）2＝5 B．（x－2）2＝3 C．（x＋2）2＝5 D．（x＋2）2＝3

7． 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
8． 函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋bx＋k－1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

9． 北京冬奥会期间，某公司调查冰墩墩工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．
小张：该工艺品的进价是每个22元；
小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．
经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？
设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（　　）
A．（38－x）（160＋×120）＝3640 B．（38－x－22）（160＋120x）＝3640
C．（38－x－22）（160＋3x×120）＝3640 D．（38－x－22）（160＋×120）＝3640

10．如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（每题3分，共15分）
11．若＝＝（a≠c），则＝　 　．

12．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是 　 　．
13．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　 　．


14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 　 　．


15．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为　 　．


三．解答题（共55分）
16．（5分）用适当的方法解下列方程：x2－5x＋4＝0．
17．（7分）小敏与小霞两位同学解方程3（x－3）＝（x－3）2的过程如下框：
小敏：
两边同除以（x－3），得
3＝x－3，
则x＝6．

①_______（打“√”或“×”）
小霞：
移项，得3（x－3）－（x－3）2＝0，
提取公因式，得（x－3）（3－x－3）＝0．
则x－3＝0或3－x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
②_______（打“√”或“×”）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
18．（7分）为了热烈庆祝党的二十大胜利召开，九年级（1）班组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　 　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

20．（8分）如图，将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是300cm3，求原正方形铁皮的边长．

21．（10分）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．则＝_______．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若＝，AB＝6，求BF的长．

22．（10分）【综合与实践】
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，①AB＝2，BC＝3，则＝　 　；②当AB＝m，BC＝n时，＝　 　．
（3）在（2）①的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，求的CM长．


参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
【分析】由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
2．坪地中学即将召开第27届校运会，学校现招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，
∴两人恰好是一男一女的概率为＝，
故选：C．
3．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．x12－3x1＝0 C．x1＋x2＝3 D．x1•x2＝3
【分析】由根的判别式Δ＝9＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2－3x＝0中可得出x12－3x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1＋x2＝3，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．
【解答】解：∵Δ＝（－3）2－4×1×0＝9＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2－3x＝0的实数根，
∴x12－3x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2－3x＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝3，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
4．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）

A． B．4 C． D．6
【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴BE＝1.5，
∴BD＝BE＋DE＝4.5．
故选：C．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据菱形的性质可得△AOD≌△COD≌△COB≌△AOB，再根据菱形面积公式得菱形面积，即可得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴Rt△AOD≌Rt△COD≌Rt△BOC≌Rt△AOB（HL），即四个三角形的面积相等，
∵在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝40．
∴△AOD的面积为：40＝10．
故选：B．
6．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x－2）2＝5 B．（x－2）2＝3 C．（x＋2）2＝5 D．（x＋2）2＝3
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2＋4x＋1＝0，
整理得：x2＋4x＝－1，
配方得：（x＋2）2＝3．
故选：D．
7．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
8．函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋bx＋k－1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2－4（k－1），于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，－4k＞0，
因为Δ＝b2－4（k－1）＝b2－4k＋4＞0，
所以Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
9．北京冬奥会期间，某公司调查冰墩墩工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．
小张：该工艺品的进价是每个22元；
小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．
经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？
设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（　　）
A．（38－x）（160＋×120）＝3640
B．（38－x－22）（160＋120x）＝3640
C．（38－x－22）（160＋3x×120）＝3640
D．（38－x－22）（160＋×120）＝3640
【分析】由这种工艺品的销售价每个降低x元，可得出每个工艺品的销售利润为（38－x－22）元，销售量为（160＋×120）个，利用销售总利润＝每个的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这种工艺品的销售价每个降低x元，
∴每个工艺品的销售利润为（38－x－22）元，销售量为（160＋×120）个．
依题意得：（38－x－22）（160＋×120）＝3640．
故选：D．
10．如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图2，由题意可设AB＝CD＝x，则可以用x表示出S2，又由于S1＝S2，S1＋S2＝m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，等量代换进行运算，即可解决．
【解答】解：设图2中AB＝x，则CD＝AB＝x，
∴S△ACD＝×CD•AB＝x2，
∴S2＝4S△ACD＝2x2，
∵S1＝S2，S1＋S2＝m2，
∴4x2＝m2，
∴m＝2x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，
∴x2＋（x＋n）2＝m2，
∴x2＋（x＋n）2＝4x2，
∴x＋n＝x，
∴n＝（－1）x，
∴＝，
故选：C．

二．填空题
11．若＝＝（a≠c），则＝　　．
【分析】根据等比的性质即可求解．
【解答】解：∵＝＝（a≠c），
∴＝．
故答案为：．
12．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是 　x＝－2　．
【分析】根据根与系数的关系得出x1x2＝＝－2，即可得出另一根的值．
【解答】解：∵x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，
∴x1x2＝＝－2，
∴1×x2＝－2，
则方程的另一个根是：x＝－2，
故答案为x＝－2．
13．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　10　．

【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∴DF＝2BD＝2×5＝10．
故答案为10．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 　　．

【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．
【解答】解：如图，连接EG，

根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD－AE＝10－8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC－CG＝6－CG，EG＝CG，
∴EG2－DE2＝DG2
∴CG2－22＝（6－CG）2，
解得CG＝．
故答案为：．
15．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为　 　．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN和BN的长，然后根据BC＝3，即可求得MN的长．
【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA＋∠FEH＝90°，∠EFH＋∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝1，BE＝2，
设FH＝a，则BH＝a，
∴，
解得a＝1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴，
∵BC＝3，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝2－b，
∴，
解得b＝，
即CN＝，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，
∴，
∴，
解得BM＝，
∴MN＝BC－CN－BM＝3－－＝，
故选：B．

三．解答题
16．用适当的方法解下列方程：x2－5x＋4＝0．
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：x2－5x＋4＝0
（x－1）（x－4）＝0
x－1＝0，x－4＝0
解得：x1＝1，x2＝4．
17．小敏与小霞两位同学解方程3（x－3）＝（x－3）2的过程如下框：
小敏：
两边同除以（x－3），得
3＝x－3，
则x＝6．

①_______（打“√”或“×”）
小霞：
移项，得3（x－3）－（x－3）2＝0，
提取公因式，得（x－3）（3－x－3）＝0．
则x－3＝0或3－x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
②_______（打“√”或“×”）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【分析】小敏：没有考虑x－3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x－3）－（x－3）2＝0，
提取公因式，得（x－3）（3－x＋3）＝0．
则x－3＝0或3－x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
18．为了热烈庆祝党的二十大胜利召开，九年级（1）班组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　随机　事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A
－－－
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
－－－
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
－－－
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
－－－
由表可知，共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，
所以A，B两名志愿者被选中的概率为＝．
19．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△ADF即可；
（2）证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝tan30°BE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．

20．如图，将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是300cm3，求原正方形铁皮的边长．

【分析】设正方形铁皮的边长应是xcm，则做成没有盖的长方体盒子的长为（x－3×2）cm，宽为（x－3×2）cm，高为3cm，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．
【解答】解：设正方形铁皮的边长应是xcm，则做成没有盖的长方体盒子的长为（x－3×2）cm，宽为（x－3×2）cm，高为3cm，根据题意列方程得
（x－3×2）（x－3×2）×3＝300，
解得x1＝16，x2＝－4（不合题意，舍去）．
故原正方形铁皮的边长是16cm．
21．（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．则＝_______．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若＝，AB＝6，求BF的长．

【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；

（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝＝；
（3）解：①∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝6，
∴△ABC∽△ADE，BC＝8，AC＝10．
∴∠BAC＝∠DAE，＝＝，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴△BGF∽△CGA，
∴＝＝．∴BF＝．
22．综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，①AB＝2，BC＝3，则＝　 　；
②当AB＝m，BC＝n时，＝　 　．
（3）在（2）①的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，求的CM长．

【分析】（1）证明△ABF≌△CBE（SAS），推出AF＝CE，再利用三角形中位线定理求解；
（2）①证明△ABF∽△CBE，推出＝＝，推出AF＝CE，即可解决问题；
②由△ABF∽△CBE，推出＝＝，推出AF＝CE，可得结论；
（3）如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．证明△PTM≌△CRM（AAS），推出MT＝MR，推出BM平分∠ABC，推出∠MBT＝∠MBR＝45°，推出TB＝TM，BR＝RM，设TM＝TB＝x，利用面积法构建方程求出x即可．
【解答】解：（1）结论：GH＝CE．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CBE＝90°，
∵AB＝CB，BF＝AB，BE＝BC，
∴BF＝BE，
在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
∵DG＝GA，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE；
（2）①如图③中，连接AF．

∵BF＝AB，BE＝BC，
∴＝，
∴＝，
∵∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝，
∴AF＝CE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE，
∴＝．
故答案为：．
②当AB＝m，BC＝n时，同法可证△ABF∽△CBE，
∴＝＝，
∴AF＝CE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE，
∴＝．
故答案为：．
（3）如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．

∵PM平分∠APN，
∴∠MPT＝∠MPN，
由翻折的性质可知MP＝MC，∠C＝∠MPN，
∴∠MPT＝∠C，
∵∠MTP＝∠MRC＝90°，
∴△PTM≌△CRM（AAS），
∴MT＝MR，
∴BM平分∠ABC，
∴∠MBT＝∠MBR＝45°，
∴TB＝TM，BR＝RM，
设TM＝TB＝x，
∵•AB•BC＝•AB•MT＋•BC•MR，
∴×2×3＝•x•（2＋3），
解得x＝，
∴BR＝MR＝，CR＝BC－BR＝3－＝，
∴CM＝＝＝．
解法二：证明∠AMB＝∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AMP∽△ABC，
∴＝，
∵MC＝PM，
∴＝＝，
∴CM＝AC＝．