2023泸州泸县教育共同体高三上学期一诊模拟考试数学（理）含答案

四川省泸县教育共同体高2023届一诊模拟考试

理科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试时间：120分钟

第I卷   选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A． B．

C． D．

2．已知复数，其中为虚数单位，则

A． B． C． D．

3．下列函数中既是奇函数又在区间上单调递增的是

A． B． C． D．

4．已知曲线在点处的切线方程为，则

A．， B．，

C．， D．，

5．“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求.当时刘微就是利用这种方法，把的近似值计算到和之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正六十边形来估算圆周率，则的近似值是（    ）（精确到）（参考数据）

A．        B．              C．           D．

6．要得到函数的图象，只需将函数的图象

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

7．已知，若是第二象限角，则

A． B． C． D．

8．已知，，命题，命题，则p是q的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

11．已知函数，在区间上有且仅有个零点，对于下列个结论：

①在区间上存在，，满足；②在区间有且仅有个最大值点；

③在区间上单调递增；④的取值范围是．

其中正确结论的个数为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．已知，，，，则的大小关系为

A． B．

C． D．

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设向量，，若，则______.

14．已知，则sinα＝_____．

15．在三棱锥中，已知平面，且为正三角形，，点为三棱锥的外接球的球心，则点到棱的距离为______.

16．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知函数.

（1）求的最小正周期和的单调递减区间；

（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A；

(2)若，求△ABC的面积．

19．（12分）已知函数.

（1）若时，求在区间上的最大值与最小值；

（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求实数的取值范围.

20．（12分）如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为BC的中点O，底面ABC是边长为2的正三角形，．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

21．（12分）已知函数．

（1）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；

（2）证明：当时，函数有两个零点，且满足．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．

（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；

（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.

四川省泸县教育共同体高2023届一诊模拟考试

理科数学试题参考答案：

1．A  2．D  3．B  4．C  5．A  6．B  7．B  8．A  9．B  10．B   11．C   12．A

13．    14．    15．    16．

17．（1），

所以，函数的最小正周期为.由，可得，

函数的对称中心为；

解不等式，解得.

因此，函数的单调递减区间为；

（2）当时，，

当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．

18．(1)由题意及正弦定理得，即，即

所以，因为，所以

(2)由，得，

所以由正弦定理得，

又因为，所以，

，所以

又，所以，所以，

从而△ABC是等边三角形．因为，所以．

19．解：（1）由题意得

当时，，由，解得；

由，解得或.

∴函数在区间上单调递增，在区间单调递减.

又

∴函数在区间上的最大值为0，最小值为.

（2）存在实数m，使不等式的解集恰好为，等价于函数只有一个零点.

∵，

i）当a<0时，由，解得，

∴函数在区间上单调递增；

由，解得或，

∴函数在区间上单调递减.

又，

∴只需要，解得.∴实数a的取值范围为.

ii）当a=0时，显然只有一个零点成立.

iii）当a>0时，由，解得，

即在区间上单调递增；

由，解得或，

即函数在区间上单调递减；

又，∴只需要，解得.

综上：实数a的取值范围是.

20．(1)∵底面ABC是边长为2的正三角形，O为BC的中点，

连接AO，∴．

∵点在底面ABC的射影为BC的中点O，∴．

而，∴平面．

又平面，∴．∵，∴．

(2)由（1）可知OA，OB，两两垂直，

分别以OB，OA，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则由题意有，，，，．

所以，，，

设为平面的法向量，则，得，

令，则，．所以是平面的一个法向量．

设所求角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

21．解：（1）设公切线l与函数的切点为，则公切线l的斜率，公切线l的方程为：，将原点坐标代入，得，解得，公切线l的方程为：，

将它与联立，整理得．

令，对之求导得：，令，解得．

当时，单调递减，值域为，

当时，单调递增，值域为，

由于直线l与函数相切，即只有一个公共点，故实数a的取值集合为．

（2）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．，即时函数的一个零点．

对求导得：，令，解得．当时，单调递增；

当时，单调递减．当时，取最小值，，，必定存在使得二次函数，即．因此在区间上必定存在的一个零点．

练上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．

下面证明．由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．

不妨设则，下面证明即可．

令，对之求导得，

故在定义域内单调递减，，即．

22．（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，

所以半圆的极坐标方程为，

曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．

（2）由（1）得：|MN|＝|．

显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．

此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，

设PC2与直线MN垂直于点H，

如图所示：在Rt△OHC2中，|，

所以点P到直线MN的最大距离d，

所以．

23．（1）由题意，函数，

当时，令，即，所以；

当时，此时恒成立，所以；

当时，令，即，所以，所以不等式的解集为.

（2）由二次函数，

知函数在取得最大值，

因为，在处取得最小值2，

所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.只需，即.