2022西安长安区一中高二上学期期中考试数学文科含解析

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长安一中2021－2022学年第一学期高二期中考试文科数学试题一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合Venn图与集合间的基本运算，即可求解.【详解】根据题意，易知图中阴影部分所表示.故选：C.2. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3. 设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】将化简，求出，结合充分、必要条件判断即可.【详解】由， 又，均为单位向量，所以，所以，所以“”是“⊥”的充分必要条件.故选：C4. 若变量满足约束条件，则的最小值为（    ）A 2 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出可行域，找出最优解，即可求解.【详解】根据题意，作出变量的可行域，如图所示.结合图像易知，取最小值的最优解为，故.故选：D.5. 已知等比数列满足，，则A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B. 6. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合二倍角公式，以及同角三角函数的关系，即可求解.【详解】根据题意，得，因为，所以，因此，化简得，故.故选：D.7. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则半径为r为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合组合体的表面积公式，即可求解.【详解】根据题意，结合几何体三视图中的正视图和俯视图，易知截圆柱的平面过圆柱的轴线，因此该几何体的表面积，因为，所以，解得.故选：B.8. 设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】设渐近线，联立抛物线与渐近线方程，令求出值，结合离心率公式和双曲线关系式，即可求解.【详解】设双曲线渐近线为，联立得，令得，故，.故选：B9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】排除法可以解决，首先是奇函数，排除BD，取，可排除C.【详解】定义域为，又，于是是奇函数，根据图像特征，排除BD，又，显然有，，即，C描述的是任意，则图像C不符.故选：A10. 设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（    ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 9【答案】C【解析】【分析】根据向量共线定理可得，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，，A，B，C三点共线，∴且，则，可得，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为8故选：C.11. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角所对的边分别为，面积为，则 “三斜求积”公式为.若， 则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）A.  B.  C. 3 D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合正弦定理，分别求出和，代入公式即可求解.详解】根据题意，由，结合正弦定理得，即，因为，所以，故.故选：B.12. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题先求出的分段函数表达式，分析图象变化规律，确定范围，代入给定区间表达式即可求出.【详解】当时，，又，故当时，，，即，令，则，同理，当时，，令，则，整理得，当时，，画出大致图象，函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一个最小值2倍，由图可知，要使对任意，都有，，令，解得或（舍去），故m的最大值是.故选：D13. 已知点和抛物线，过抛物线的焦点有斜率存在且不为0的直线与交于，两点.若，则直线的方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，根据，由，结合韦达定理求解.【详解】由得焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去y得，设，则，因为，所以，即，即，解得，所以直线方程为：，故选：A14. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】连接OD交BC与点G，设，得到底面边长和三棱锥的高，进而得到三棱锥的体积为，，令，利用导数法求解.【详解】如图所示：连接OD交BC与点G，设，则，所以三棱锥的高为，则三棱锥的体积为，，，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值80，所以，故选：C二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.15. 在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义可求出是第一象限的特殊角，表示出后即可得出结果.【详解】由题可知，是第一象限角，又，于是，.故答案为：.16. 已知函数为偶函数，且在单调递增，，则满足的x的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合单调性，以及偶函数的性质，即可求解.【详解】根据题意，因为函数为偶函数且，所以，又因为在单调递增，所以，解得.故答案为：.17. 曲线在点处的切线的斜率为，则________.【答案】-4【解析】【分析】利用导数的几何意义求解.【详解】因为，所以，当 时，，因为曲线在点处的切线的斜率为，所以，解得，故答案为：-418. 把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有________.①的周期为                 ②在单调递增③在单调递减        ④的一条对称轴的方程为【答案】②③④【解析】【分析】由平移法则逆向求出，由周期公式可判断①，由整体代入法可判断②③④.【详解】由题可知，要得到，需将的图象，向左平移个单位长度得到，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍得到，周期为，故①错；当时，，故在单调递增，②正确；当时，，故在单调递减，③正确；当时，，，故④正确；故答案为：②③④19. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，以及两点间的距离公式，即可求解.【详解】根据题意，易知，设，则，即，故，因为，所以当时，.故答案为：.20. 若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最小值为________.【答案】-4【解析】【分析】求导，分， 两种情况，根据在上有一个零点，求得a，再利用导数法求其最小值.【详解】因为函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)，所以，当时，，则在上递增，又，所以在上无零点；当时，，当时，，当时，，因为在上有一个零点，所以，解得，则，，当时，，当时，，又，，所以f(x)在[－1，1]上的最小值为-4，故答案为：-4三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 已知数列满足，且.（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）令，，求.【答案】（1）证明见解析，，；    （2）.【解析】【分析】（1）根据题意，结合递推公式，易知，即可求证；（2）根据题意，结合错位相减法，即可求解.【小问1详解】证明：∵，∴，，∴为等差数列，首项为，公差为3.∴，即，.【小问2详解】解：根据题意，得，，①，②①-②得，故.22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】（Ⅰ）见解析    （Ⅱ）12【解析】【详解】（Ⅰ）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角形ＡＯＤ中，所以故四棱锥体积为.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积 23. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当时，,令，只需证明即可．【详解】（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以 ．因此．【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度．24. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.