2.2整式的加减(讲+练)【10大题型】-【重点题型汇总】2022-2023学年七年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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2.2整式的加减



同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
注意：
(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
题型1：同类项的定义
1.下列各组单项式中，是同类项的是（　　）
A．5a，3a B．-2x2y，3xy C．4x2，3x D．3ab，- 5ab2
【答案】A
【解析】【解答】解：A、 5a 和 3a 是同类项，故本选项符合题意；
B、 -2x2y 和 3xy 不是同类项，故本选项不符合题意；
C、 4x2 和 3x 不是同类项，故本选项不符合题意；
D、 3ab 和 -5ab2 不是同类项，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此判断.
【变式1-1】下列各选项的式子中，与-6ab3是同类项的是（　　）
A．3ab6 B．6a3b C．﹣6a2b2 D．﹣ 16 ab3
【答案】D
【解析】【解答】解：A、b的指数不相等，不是同类项，故本选项不符合题意；
B、a、b的指数都不相等，不是同类项，故本选项不符合题意；
C、a、b的指数都不相等，不是同类项，故本选项不符合题意；
D、是同类项，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此判断.

【变式1-2】下列各组代数式中，不是同类项的是（　　）
A．2与-2 B．-5x2y与3xy2 C．-3t与20t D．2a2b与-a2b
【答案】B
【解析】【解答】解：A.是两个常数项，是同类项；
B.中两项所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项；
C.所含字母相同且字母的指数也相同的项，是同类项；
D.所含字母相同且字母的指数也相同的项，是同类项.
故答案为：B.
【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此判断.
题型2：利用同类项的定义求字母的值
2.若-2anb5与5a3b2m+n的差仍是单项式，则m+n的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵-2anb5与5a3b2m+n的差仍是单项式，
∴n＝3，2m＋n＝5，
∴n＝3，m＝1，
∴m＋n＝1＋3＝4，
故答案为：C．

【分析】根据同类项的定义可得n＝3，2m＋n＝5，求出m、n的值，再将m、n的值代入m+n计算即可。
【变式2-1】已知单项式 -2x2my7 与单项式 -5x6yn+8 是同类项，求 -m2-n2021 的值.
【答案】解：由题意得： 2m=6 ， n+8=7 ，
解得： m=3 ， n=-1 ；
当 m=3 ， n=-1 时，
-m2-n2021 ，
=-32-(-1)2021 ，
=-9+1 ，
=-8 .
【解析】【分析】根据同类项的概念可得2m=6，n+8=7，求出m、n的值，然后代入待求式中进行计算即可.

【变式2-2】已知2x2ya与 -xby32 的和是单项式，求代数式a﹣2b的值．
【答案】解：2x2ya与 -xby32 的和是单项式，
由题意，得a=3，b=2．
∴a-2b=3-2×2=-1 .
【解析】【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．

合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
注意：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．
(2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.
题型3：合并同类项
3.合并同类项
（1）3x2-1-2x-5+3x-x2
（2）23a2-12ab+34a2+ab-b2
【答案】（1）解：3x2-1-2x-5+3x-x2=2x2+x-6
（2）解： 23a2-12ab+34a2+ab-b2=1712a2+12ab-b2
【解析】【分析】（1）先找出多项式中的同类项，再根据合并同类项的法则求解；（2）先找出多项式中的同类项，再根据合并同类项的法则求解.
【变式3-1】合并同类项
（1）﹣x+2x2+5﹣3+4x2﹣6x
（2）-2a2b-a2+3ba2-ab2+a2+4b2a
【答案】（1）解： -x+2x2+5-3+4x2-6x
=(2x2+4x2)+(-x-6x)+(5-3)
=6x2-7x+2 ；
（2）解： -2a2b-a2+3ba2-ab2+a2+4b2a
=(-2a2b+3ba2)+(a2-a2)+(4b2a-ab2)
=a2b+3ab2 ；
【解析】【分析】根据合并同类项的法则，即可对（1）（2）进行化简计算，从而得到答案.
去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
注意：
整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
题型4：整式的去括号法则
4.把式子 (m-n)-(m-2) 去括号后正确的是（　　）
A．m-n-m-2 B．m+n-m+2 C．m-n-m+2 D．m+n-m-2
【答案】C
【解析】【解答】解： (m-n)-(m-2)=m-n-m+2 ，
故答案为：C.
【分析】去括号法则：括号前是"+"，把括号和它前面的"+"去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是"-"，把括号和它前面的"-"去掉后，原括号里各项的符号都要改变.

【变式4-1】去括号：
（1）－(3a2－4b－5ab＋2b2)；
（2）－3(2m－3n－m2)；
（3）3x＋[4y－(7z＋3)]．
【答案】（1）解：原式＝－3a2＋4b＋5ab－2b2.
（2）解：原式＝－6m＋9n＋3m2.
（3）解：原式＝3x＋(4y－7z－3)，
＝3x＋4y－7z－3.
【解析】【分析】（1）去括号法则：括号外是负号，括号里的每一项都要改变符号；依此去括号即可.
（2）去括号法则：括号外是负号，括号里的每一项都要改变符号；再由单项式乘以多项式去括号即可.
（3）去括号法则：括号外是负号，括号里的每一项都要改变符号；括号外是正号，括号里的每一项都不改变符号，先去小括号，再去中括号即可.

题型5：去括号合并同类项
5.先去括号，再合并同类项
（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）
（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）
【答案】（1）解：2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）=4b﹣6a+6a﹣9b=﹣5b
（2）解：4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）=4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1=﹣ab+1
【解析】【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；（2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；
【变式5-1】先去括号，再合并同类项；
（1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）
（2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）
（3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]
（4）（a+b）2﹣ 72 （a+b）﹣ 54 （a+b）2+（﹣3）2（a+b）．
【答案】（1）解：原式=3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2
=﹣6x3+7
（2）解：原式=3x2﹣xy﹣2y2﹣2x2﹣2xy+4y2
=x2﹣3xy+2y2
（3）解：原式=2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y
=3x﹣12y
（4）解：原式=﹣ 72 （a+b）﹣ 14 （a+b）2+9（a+b）
=﹣ 14 （a+b）2+ 112 （a+b）
【解析】【分析】（1）先去括号，然后合并同类项可得结果；
（2）利用乘法分配律和去括号法则化简，然后合并同类项可得结果；
（3）先去中括号中的小括号，然后再去括号，最后合并同类项可得结果；
（4）先计算乘方，然后利用整体思想进行合并同类项即可.

【变式5-2】将下列各式去括号，并合并同类项．
（1）（7y﹣2x）﹣（7x﹣4y）
（2）（﹣b+3a）﹣（a﹣b）
（3）（2x﹣5y）﹣（3x﹣5y+1）
（4）2（2﹣7x）﹣3（6x+5）
（5）（﹣8x2+6x）﹣5（x2﹣ 45 x+ 15 ）
（6）（3a2+2a﹣1）﹣2（a2﹣3a﹣5）
【答案】（1）解：原式=7y﹣2x﹣7x+4y=11y﹣9x
（2）解：原式=﹣b+3a﹣a+b=2a
（3）解：原式=2x﹣5y﹣3x+5y﹣1=﹣x﹣1
（4）解：原式=4﹣14x﹣18x﹣15=﹣32x﹣11
（5）解：原式=﹣8x2+6x﹣5x2+4x﹣1=﹣13x2+10x﹣1
（6）解：原式=3a2+2a﹣1﹣2a2+6a+10=a2+8a+9
【解析】【分析】根据去括号法则：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的各式不变。括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号进行，先去括号，然后利用合并同类项可得结果。

题型6：去括号化简再求值
6.先化简，再求值：
（1）(3a2－ab＋7)－(5ab－4a2＋7)，其中，a＝2，b＝ 13 ；
（2）3(ab－5b2＋2a2)－(7ab＋16a2－25b2)，其中|a－1|＋(b＋1)2＝0.
【答案】（1）解：原式＝3a2－ab＋7－5ab＋4a2－7＝7a2－6ab.
当a＝2，b＝ 13 时，原式＝28－4＝24
（2）解：因为|a－1|＋(b＋1)2＝0，而|a－1|≥0，(b＋1)2≥0，
所以a－1＝0，b＋1＝0，即a＝1，b＝－1.
原式＝3ab－15b2＋6a2－7ab－16a2＋25b2＝－10a2＋10b2－4ab.
当a＝1，b＝－1时，原式＝－10×12＋10×(－1)2－4×1×(－1)＝－10＋10＋4＝4
【解析】【分析】（1）小题按去括号，合并同类项的法则进行化简，然后将a与b的值代入化简后的代数式即可求值；
（2）小题同样按去括号，合并同类项的法则进行化简，然后再按照绝对值的非负性和偶次幂的非负性求出a与b的值，然后代入化简后的代数式即可求值。

【变式6-1】已知代数式3（ 23 a2﹣ 23 ab+2b2）﹣2（a2﹣3ab+3b2）.
（1）化简这个代数式；
（2）当a＝﹣ 12 ，b＝ 32 时，求代数式的值.
【答案】（1）解：原式＝2a2﹣2ab+6b2﹣2a2+6ab﹣6b2
＝4ab
（2）解：当a＝﹣ 12 ，b＝ 32 时，
原式＝4×（﹣ 12 ）× 32
＝﹣3
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘；括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号），再合并同类项（同类项才能合并）.
（2）将a、b的值代入化简后的代数式进行计算，可求出结果.
【变式6-2】先化简再求值：
（1）3x2﹣[x2﹣2（3x﹣x2）]，其中x＝﹣7.
（2）2（a2﹣ab）﹣3（23a2﹣ab﹣1），其中a＝﹣2，b＝3.
【答案】（1）解：）3x2-[x2-2(3x-x2)]
=3x2-(x2-6x+2x2)
=3x2-x2+6x-2x2
=6x ，
当x＝﹣7时，原式=6×(-7)=-42 ；
（2）解：2（a2﹣ab）﹣3（23a2﹣ab﹣1）
=2a2-2ab-2a2+3ab+3
=ab+3 ，
当a＝﹣2，b＝3时，原式=(-2)×3+3=-3 .
【解析】【分析】（1）首先去括号，然后合并同类项即可对原式进行化简，接下来将x=-7代入进行计算；
（2）首先去括号，然后合并同类项即可对原式进行化简，接下来将a、b的值代入进行计算.
题型7：指定整式的加减运算
7.已知关于x的整式A＝2x2﹣mx＋4，B＝mx2＋5x﹣m，其中m为常数．
（1）若m＝﹣7，化简A﹣B，并求当x＝﹣1时的值；
（2）若A＋B的结果中不含一次项，求m的值．
【答案】（1）解：A﹣B= (2x2﹣mx+4)-(mx2+5x﹣m)
=2x2﹣mx+4-mx2-5x+m
=(2-m)x2-(m+5)x+4+m ，
当 m＝﹣7 时，A﹣B= 9x2+2x-3
当 x＝﹣1 时， A-B=9×(-1)2+2×(-1)-3=9-2-3=4 ．
（2）解： A+B=(2x2﹣mx+4)+(mx2+5x﹣m)
=2x2﹣mx+4+mx2+5x-m
=(2+m)x2+(5-m)x+4-m ，
∵A+B 的结果中不含一次项，
∴5-m=0
解得： m=5 ，
【解析】【分析】（1）先利用整式的加减运算计算A-B，再将m=-7，x=-1代入计算即可；
（2）先利用整式的加减运算计算A-B，再根据“结果中不含一次项”，令一次项的系数为0求解即可。
【变式7-1】已知代数式A＝x2＋xy＋2y－12 ，B＝2x2－2xy－1，
（1）求2A－B；
（2）当x＝－1，y＝－2时，求2A－B的值；
（3）若2A－B的值与x的取值无关，求y的值.
【答案】（1）解：2A-B=2（x2+xy+2y- 12 ）-（2x2-2xy -1）
=4xy+4y；
（2）解：当x=-1，y=-2时，
2A-B=4xy+4y=4×（-1）×（-2）+4×（-2）=0
（3）解：由（1）可知2A-B=4xy+4y =4yx+4y，
若2A-B的值与x的取值无关，则4y=0，
解得：y=0.
【解析】【分析】（1）先把2A-B表示出来，再进行整式的减法运算，即可得出结果；
（2）把 x=-1，y=-2代入（1）的结果计算，即可得出结果；
（3）利用（1）的结果，由于2A－B的值与x的取值无关，则含x项的系数之和为0，依此建立关于y的一元一次方程，即可解答.

【变式7-2】小刚同学由于粗心，把“A+B看成了“A﹣B”，算出A﹣B的结果为﹣7x2+10x+12，其中B＝4x2﹣5x﹣6．
（1）求A+B的符合题意结果；
（2）若x＝﹣2，求2A﹣B的值．
【答案】（1）解：∵ A﹣B的结果为﹣7x2+10x+12，B＝4x2﹣5x﹣6．
∴A=-7x2+10x+12+4x2-5x-6
=-3x2+5x+6，
∴A+B=-3x2+5x+6+4x2-5x-6
=x2
（2）解：∵A=-3x2+5x+6，B=4x2-5x-6，
∴2A-B=2(-3x2+5x+6)-(4x2-5x-6)
=-6x2+10x+12-4x2+5x+6
=-10x2+15x+18
当x=-2时，
原式=-10×(-2)2+15×(-2)+18
=-40-30+18=-52
【解析】【分析】（1）直接根据题意移项合并同类项得出A，进而利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）利用（1）中所求得出2A-B，进而得出整式的加减运算则化简，再把x的之代入计算得出答案。
题型8：整式加减与抄错问题
8.一个多项式 3(x2+5x+3)-A, 小明将A前面的“－”抄成了“＋”，化简结果是 -x2+3x-7, 求多项式A.
【答案】解： A=-x2+3x-7-3(x2+5x+3)
=-x2+3x-7-3x2-15x-9
=-4x2-12x-16 .
【解析】【分析】由题意：和减去一个加数等于另一个加数求出多项式A，列式去括号合并即可得到结果.

【变式8-1】有一道题“先化简，再求值：17x2-（8x2+5x）-（4x2+x-3）+（-5x2+6x-1）-3，其中x=2021”.小明做题时把“x=2021”错抄成了“x=-2021”但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因.
【答案】解：原式=17x2-8x2-5x-4x2-x+3-5x2+6x-1-3
=-1
因为化简后的结果与x无关，
所以x抄错，计算结果仍然正确.
【解析】【分析】对代数式进行去括号并合并同类项可得原式=-1，可知化简后的结果与x无关，据此解答.

【变式8-2】在计算代数式 (2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3) 的值，其中 x=0.5 ， y=-1 时，甲同学把 x=0.5 错抄成 x=-0.5 ，但他计算的结果是正确的.试说明理由，并求出这个结果.
【答案】解：原式 =2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3
=(2x3-x3-x3)+(-3x2y+3x2y)+(-2xy2+2xy2)+(-y3-y3)
=-2y3
∵化简后的结果中不含x，
∴甲同学把 x=0.5 错抄成 x=-0.5 ，计算结果仍是正确的.
【解析】【分析】根据去括号法则"括号前面是“+”号，去掉括号不变号；括号前面是“-”号，去掉括号全变号."和合并同类项法则"合并同类项的时候，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变"对代数式进行化简可得-2y3，可知 化简后的结果中不含x ，即代数式的值与x的值无关，据此解答.

题型9：整式加减与面积问题
9.长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是(　　)

A．2a2－πb2 B．2a2－ π2 b2
C．2ab－πb2 D．2ab－ π2 b2
【答案】D
【解析】【解答】
能射进阳光部分的面积是：2b•a- 14 πb2×2=2ab－ π2 b2，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知能射进阳光部分的面积是长方形的面积减去两个四分之一圆的面积，然后根据长方形的面积计算方法及四分之一圆的面积计算方法即可算出答案。
【变式9-1】图中表示阴影部分面积的代数式是（　　）

A．ad+bc B．c（b﹣d）+d（a﹣c）
C．ad+c（b﹣d） D．ab﹣cd
【答案】C
【解析】【解答】解：把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积=ab﹣（a﹣c）（b﹣d）=ab﹣[ab﹣ad﹣c（b﹣d）]=ab﹣ab+ad+c（b﹣d）=ad+c（b﹣d）．
故选C．
【分析】把图形补成一个大矩形，则很容易表达出阴影部分面积．

【变式9-2】方方和圆圆的房间的窗帘的装饰物分别如图①②所示,它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径都分别相同),它们的窗户能照进阳光的面积分别是多少(窗框面积不计)?谁的窗户照进阳光的面积大?

【答案】解：方方房间的窗户能照进阳光的面积为ab- π8 b2.
圆圆房间的窗户能照进阳光的面积为ab- π32 b2.
显然,ab- π8 b2