【高考真题解密】高考数学真题题源——专题44《导数中的函数零点问题》母题解密（全国通用）

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专题44　导数中的函数零点问题 【高考真题】1．(2022·全国乙文) 已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．1．解析　(1)当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；(2)，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由(1)得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为．2．(2022·全国乙理) 已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．2．解析　(1)的定义域为，当时，，所以切点为，所以切线斜率为2．所以曲线在点处的切线方程为．(2)，设若，当，即所以在上单调递增，．故在上没有零点，不合题意．若，当，则．所以在上单调递增所以，即．所以在上单调递增，．故上没有零点，不合题意．若(1)当，则，所以在上单调递增．．所以存在，使得，即．当单调递减，当单调递增．所以当，当．所以在上有唯一零点．又没有零点，即在上有唯一零点．(2)当．设，．所以在单调递增．，所以存在，使得当单调递减，当单调递增．，又．所以存在，使得，即当单调递增，当单调递减，有而，所以当．所以在上有唯一零点，上无零点即在上有唯一零点，所以，符合题意．所以若在区间各恰有一个零点，求的取值范围为．3．(2022·新高考Ⅰ)已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．3．解析　(1)的定义域为R，而，若，则，此时无最小值，故．的定义域为，而．当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故．当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故．因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为．综上，．(2)由(1)可得和的最小值为．当时，考虑的解的个数、的解的个数．设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2．设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为2．当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，当时，由（1）讨论可得、均无零点，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则．设，其中，故，设，，则，故在上为增函数，故，即，所以，所以在上为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的零点，此时有两个不同的零点，故，，，．所以，即，即，故为方程的解，同理也为方程的解．又可化为，即，即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故，即．【方法总结】1．利用导数求函数零点的常用方法(1)构造函数g(x)(其中g′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数；(2)利用零点存在性定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数零点的个数．2．求解函数零点(方程根)的个数问题的3步骤第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解．3．利用函数零点的情况求参数范围的方法(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．【题型突破】1．已知函数f(x)＝xex＋ex．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．2．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R．(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．3．已知函数f(x)＝x－aln x(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数g(x)＝x2－ax－f(x)的零点个数．4．已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)．(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；(2)讨论函数f(x)的零点个数．5．函数f(x)＝ex－2ax－a．(1)讨论函数的极值；(2)当a＞0时，求函数f(x)的零点个数．6．已知函数f(x)＝(2－x)ex，g(x)＝a(x－1)2．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)讨论y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．7．已知函数f(x)＝－2(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数a；(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．8．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，g(x)＝x2＋4．(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．9．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．10．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b．(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．①＜a≤，b＞2a；②0＜a＜，b≤2a．11．(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．12．(2021·全国甲)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．13．已知f(x)＝x3＋x2＋2x，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f(x)的极值；(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．14．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝时，f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．15．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e．(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．16．设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．17．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x．(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等的解，求实数a的取值范围．18．(2021·浙江卷节选)设a，b为实数，且a>1，函数f(x)＝ax－bx＋e2(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．19．设函数f(x)＝ex－ax－2．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．20．已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2．(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围．