江苏省无锡市江阴市华士片2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省无锡市江阴市华士片2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市江阴市华士片八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
3．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．AD＝BC C．∠DAB＝∠CBA D．∠C＝∠D
4．等腰三角形一边长为6，另一边长为2，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．14 C．14或10 D．18
5．一块三角形形状的玻璃破成如图所示的四块，如果用部分碎片配一块与原来形状相同的玻璃，可以使用的碎片编号为（　　）

A．1，3 B．3，4 C．1，3，4 D．2
6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（　　）

A．点E B．点F C．点G D．点H
7．如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，则PD的大小关系是（　　）

A．PD≥3 B．PD＝3 C．PD≤3 D．不能确定
8．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
9．以下四组代数式作为△ABC的三边，能使△ABC为直角三角形的有（　　）
①3n，4n，5n（n为正整数）；
②n，n+1，n+2（n为正整数）；
③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；
④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
10．已知△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是8；③EF的最小值是4．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有　 　．（填序号）

12．木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗　 　（填“合格”或“不合格”）．
13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC＝　 　．

14．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝　 　．

15．如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AC＝2cm，BC＝5cm，则△AEC的周长是　 　cm．

16．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，分别交AB，AC于点E，F，BE＝DE，DF＝6，点D到BC的距离为4，则△DFC的面积为 　 　．

17．如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连结BD，CE交于点M．若∠CAD＝100°，则∠DME＝　 　°．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）△ABC的面积为 　 　；

20．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．

21．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

22．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，则∠C＝　 　；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC的长．

23．如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为3k，与公路上另一停
站B的直线距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）求修建的桥梁CD的长；
（2）桥梁CD建成后，求一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程．

24．（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则S△ABC＝　 　；
（2）如图1，在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝8．点D在边AB上且BD＝1，求点D到AC边的距离．
（3）如图2，在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝8．点P是BC边上一动点，将△ABC沿着过点P的直线翻折，使点C恰好落在AB边上，求CP的最小值．


25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？



参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形不是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
综上所述，是轴对称图形的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
解：A．∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵52+122≠142，
∴5，12，14为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+12≠22，
∴以1，1，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）

A．AC＝BD B．AD＝BC C．∠DAB＝∠CBA D．∠C＝∠D
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
解：A、∵AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用SAS能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；
B、∵AD＝BC，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用SSA不能判定△ABC≌△BAD，符合题意；
C、∵∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠CAB＝∠DBA，利用ASA能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；
D、∵∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用AAS能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的各判定定理是解题的关键．
4．等腰三角形一边长为6，另一边长为2，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．14 C．14或10 D．18
【分析】本题应分为两种情况2为底或6为底，还要注意是否符合三角形三边关系．
解：∵等腰三角形的一边长为2，另一边长为6，
∴有两种情况：
①6为底，2为腰，而2+2＝4＜6，那么应舍去；
②2为底，6为腰，那么6+6+2＝14；
∴该三角形的周长是6+6+2＝14．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．一块三角形形状的玻璃破成如图所示的四块，如果用部分碎片配一块与原来形状相同的玻璃，可以使用的碎片编号为（　　）

A．1，3 B．3，4 C．1，3，4 D．2
【分析】根据三角形全等的判定方法解答即可．
解：由图可知，带2去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（　　）

A．点E B．点F C．点G D．点H
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
解：∵BF＝AF＝CF＝＝，
∴到△ABC三个顶点距离相等的点是F，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出BF＝AF＝CF是解题的关键．
7．如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC＝3，则PD的大小关系是（　　）

A．PD≥3 B．PD＝3 C．PD≤3 D．不能确定
【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PC，再根据垂线段最短解答．
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE＝PC＝3，
∵D在OB上，
∴PD≥PE，
∴PD≥3．
故选：A．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出辅助线更形象直观．
8．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，
如图（1），∠ABD＝60°，
则∠A＝30°；
如图（2），∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°．
故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．
方法2：①当为锐角三角形时可以画图，
高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．
故选：D．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
9．以下四组代数式作为△ABC的三边，能使△ABC为直角三角形的有（　　）
①3n，4n，5n（n为正整数）；
②n，n+1，n+2（n为正整数）；
③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；
④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
解：①3n，4n，5n（n为正整数），（3n）2+（4n）2＝（5n）2，能构成直角三角形；
②n，n+1，n+2（n为正整数），n2+（n+1）2≠（n+2）2，不能构成直角三角形；
③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数），（n2﹣1）2+（n2+1）2＝（2n）2，能构成直角三角形；
④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数），（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，能构成直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
10．已知△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是8；③EF的最小值是4．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】①由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF＝90°，DE＝DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③△DEF是等腰直角三角形，DF＝EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值4，
②根据两三角形全等时面积也相等得：S△CDF＝S△ADE，利用割补法知：S四边形CEDF＝S△ADC，当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，计算S△CEF＝S四边形CEDF﹣S△DEF，代入即可．
解：①∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED＝DF，∠CDF＝∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故①正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DF最小时，EF也最小；
即当DF⊥BC时，DF最小，此时DF＝BC＝4．
∴EF＝DF＝4．故③错误；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S△CDF＝S△ADE，
∴S四边形CEDF＝S△ADC＝S△ABC，
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝8，
∴S△ABC＝×8×8＝32，
∴S四边形CEDF＝S△ADC＝16，
此时S△CEF＝S四边形CEDF﹣S△DEF＝S△ADC﹣S△DEF＝16﹣×4×4＝8．故②正确；
故正确的有①②，
故选：A．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有　②④　．（填序号）

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件逐个判断即可．
解：
①∠E＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴①错误；
②EF＝BC，符合全等三角形的判定定理，可以用AAS证明△ABC≌△DEF，∴②正确；
③AB＝EF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴③错误；
④∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴④正确；
故答案为：②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
12．木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗　不合格　（填“合格”或“不合格”）．
【分析】直接利用勾股定理逆定理分析得出答案．
解：∵42+62＝52≠72＝49，
∴这扇纱窗不是直角，故不合格．
故答案为：不合格．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确掌握勾股定理是解题关键．
13．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC＝　10°　．

【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可．
解：连接OA，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝20°，
∴∠OBC＝10°，
故答案为：10°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝　5　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得答案．
解：由直角三角形的性质，得
CE＝AB＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形的性质是解题关键．
15．如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AC＝2cm，BC＝5cm，则△AEC的周长是　7　cm．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△AEC的周长＝AC+EC+EA＝AC+EC+EB＝AC+BC＝7（cm），
故答案为：7．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，分别交AB，AC于点E，F，BE＝DE，DF＝6，点D到BC的距离为4，则△DFC的面积为 　12　．

【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠EDB＝∠CBD，可得EF∥BC，再利用三角形的面积计算可求解．
解：∵DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴EF∥BC，
∵DF＝6，点D到BC的距离为4，
∴S△DFC＝×6×4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查平行线的判定，角平分线的定义，三角形的面积，证明EF∥BC是解题的关键．
17．如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在EB同侧，连结BD，CE交于点M．若∠CAD＝100°，则∠DME＝　40　°．

【分析】由∠BAC＝∠EAD，得出∠DAB＝∠EAC，再利用“SAS”即可证明△ABD≌△ACE，由∠BAC＝∠EAD，∠CAD＝100°，得出∠BAC＝40°，由外角的性质得出∠BAC＝∠AEC+∠ACE＝40°，由全等三角形的性质得出∠ECA＝∠DBA，由外角的性质得出∠DME＝∠AEC+∠ABD＝∠AEC+∠ACE＝40°．
解：∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠DAC＝∠EAD+∠DAC，即∠DAB＝∠EAC，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ECA＝∠DBA，
∵∠BAC＝∠EAD，∠CAD＝100°，
∴∠BAC＝∠EAD＝（180°﹣∠CAD）＝40°，
∵∠BAC是△EAC的外角，
∴∠BAC＝∠AEC+∠ACE＝40°，
∵∠DME是△BME的外角，
∴∠DME＝∠AEC+∠ABD＝∠AEC+∠ACE＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质是解决问题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 　92°　．

【分析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B＝∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，
∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．
故答案为：92°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAB≌△EAC．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）△ABC的面积为 　3　；

【分析】（1）根据轴对称的性质，找出关键点B'、C'即可；
（2）利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可．
解：（1）如图，△AB′C′即为所求；

（2）△ABC的面积为2×4﹣＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
20．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．

【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（ASA），
∴AB＝AD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ACB≌△ACD是解题的关键．
21．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

【分析】（1）直接利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得出答案；
（2）过D作DF⊥AC于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝3，再根据S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF进行计算即可．
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAC＝×60°＝30°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形的面积，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
22．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，则∠C＝　35°　；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC的长．

【分析】（1）根据AD⊥BC，BD＝DE，可知AD垂直平分BE，根据线段垂直平分线的性质可得∠AEB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得∠C＝∠EAC，根据三角形外角的性质即可求出∠C的度数；
（2）根据△ABC的周长可得AB+BC的长，根据AB＝AE＝CE，BD＝DE，即可求出DC的长．
解：（1）AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AEB＝70°，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝35°，
故答案为：35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BC＝13﹣6＝7cm，
∵AB＝AE＝CE，BD＝DE，
∴AB+BD+CD＝7cm，
∴DC＝3.5cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
23．如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为3k，与公路上另一停
站B的直线距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）求修建的桥梁CD的长；
（2）桥梁CD建成后，求一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程．

【分析】（1）首先利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求CD即可；
（2）利用勾股定理求BD的长，从而得出答案．
解：（1）∵AC＝3km，BC＝4km，AC⊥BC，
∴AB＝＝＝5（km），
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝＝（km），
答：修建的桥梁CD的长为km；
（2）∵CD＝km，BC＝4km，CD⊥AB，
∴BD＝＝＝（km），
∴货车由C处途经D处到达B处的总路程为：CD+BD＝+＝（km），
答：货车由C处途经D处到达B处的总路程为km．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、三角形面积的计算等知识，运用等积法求高是解题的关键．
24．（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则S△ABC＝　12　；
（2）如图1，在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝8．点D在边AB上且BD＝1，求点D到AC边的距离．
（3）如图2，在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝8．点P是BC边上一动点，将△ABC沿着过点P的直线翻折，使点C恰好落在AB边上，求CP的最小值．


【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出BD＝BC＝3，根据勾股定理求出AD＝＝4，根据三角形面积公式求解即可；
（2）过点A作AE⊥BC垂足为E，连接CD，过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出AE＝3，进而求出S△ABC＝BC•AE＝12，根据三角形的面积公式推出S△ADC＝，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）设点C落在AB上的D点，过点A作AE⊥BC于点E，连接AP，由翻折得PC＝PD，所以当PD⊥AB时PD最小，根据三角形面积公式求解即可．
解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝＝＝4，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×4＝12，
故答案为：12；
（2）如图1，过点A作AE⊥BC垂足为E，连接CD，过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，

∵AB＝AC＝5，AE⊥BC，BC＝8，
∴BE＝BC＝4，
在Rt△ABE中 AE＝＝＝3，
∴S△ABC＝BC•AE＝×8×3＝12，
∵BD＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝4，
∴＝＝，
∴S△ADC＝×12＝，
∴AC•DF＝×5×DF＝，
∴DF＝，
即点D到AC边的距离为；
（3）如图2，设点C落在AB上的D点，过点A作AE⊥BC于点E，连接AP，由翻折得PC＝PD，所以当PD⊥AB时PD最小，

设PC＝x，则PD＝x，
∴BP＝8﹣x，
∴S△ABP＝AB•PD＝BP•AE，
∴×5•x＝（8﹣x）×3，
∴x＝3，
∴PC的最小值为3．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识并作出合理的辅助线是解题的关键．
25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？

【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．

（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．

（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．