江苏省无锡市江阴市长泾片2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省无锡市江阴市长泾片2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共33页。试卷主要包含了下列说法正确的是，已知等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级第一学期期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形（　　）
A．打喷嚏，捂口鼻 B．戴口罩，讲卫生
C．勤洗手，勤通风 D．喷嚏后，慎揉眼
2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AC＝BD C．∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC
3．已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是（　　）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
4．如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕（线段AD）是△ABC的（　　）

A．中线
B．角平分线
C．高
D．既是中线，又是角平分线
5．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等
B．角不是轴对称图形
C．全等的两个三角形一定成轴对称
D．等腰三角形的底角必小于90°
6．如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．115° D．120°
7．如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（　　）

A．15 B．17 C．23 D．113
8．如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（　　）

A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
10．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，则∠B＝　 　．
12．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为　 　．
13．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为　 　．

14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝BC，E是AC的中点．若AD＝12，DE＝10，则CD的长等于 　 　．

15．如图，把一个长方形的纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点M、N的位置，如果∠EFB＝65°，那么∠AEM等于　 　．

16．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　 　．

17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为　 　．

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共66分）
19．已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．
求证：AB＝CD．

20．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．

21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
（1）按要求作出草图，并求∠ADE＝　 　；（直接写出结果）
（2）当AB＝3，AC＝5时，求△ABE的周长．

22．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？请证明你的结论．

23．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．

24．定义：如图，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE＝CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB＝AC＝8，AE＝3，求逆等线EF的长；
（2）如图2，若直角三角形△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线．

25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝　 　．
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在点P运动过程中，若△ACP为等腰三角形，则此时t＝　 　．

26．过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 　 　（只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150°的等腰三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝2，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N．若射线CD为△ABC的“友好分割线”，求CM+DN的最大值．



参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形（　　）
A．打喷嚏，捂口鼻 B．戴口罩，讲卫生
C．勤洗手，勤通风 D．喷嚏后，慎揉眼
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AC＝BD C．∠ACB＝∠DBC D．AB＝DC
【分析】利用SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
B、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项正确；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
D、添加AB＝CD可利用SAS判定△ABC≌△DCB，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是（　　）
A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定
【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
解：当2为腰时，三边为2，2，4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，4，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
4．如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕（线段AD）是△ABC的（　　）

A．中线
B．角平分线
C．高
D．既是中线，又是角平分线
【分析】根据翻折变换的性质可得对应的角相等，进而得出AD是角平分线．
解：由翻折变换的性质得，∠CAD＝∠EAD，
∴AD平分∠BAC，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，掌握翻折的性质，即对应角相等，对应边相等是解决问题的关键．
5．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等
B．角不是轴对称图形
C．全等的两个三角形一定成轴对称
D．等腰三角形的底角必小于90°
【分析】选项A根据全等三角形的定义判断即可；选项B根据角的性质以及轴对称图形的定义判断即可；选项C根据全等三角形的定义判断即可；选项D根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理判断即可．
解：A．形状和大小相同的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不合题意；
B．角是轴对称图形，原说法错误，故本选项不合题意；
C．全等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；
D．等腰三角形的底角必小于90°，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形，等腰三角形的性质以及轴对称图形的定义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
6．如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．115° D．120°
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ACB＝130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，进而得出∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP＝×130°＝65°，根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC+∠ACB＝130°，
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN，
∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，
∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，
∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP＝×130°＝65°，
∴∠APC＝115°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
7．如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（　　）

A．15 B．17 C．23 D．113
【分析】根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
解：∵两个正方形的面积分别是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根据勾股定理得：AC＝＝17．
故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长并熟悉勾股定理是解题的关键．
8．如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（　　）

A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
【分析】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为AD的长度．
解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，
最小值为CE的长度，即为AD的长为5．
故选：B．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．
解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝PA；
第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
10．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，AD＝EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE＝∠DCE，即③正确，根据③可求得④正确．
解：
①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，…②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC．…③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，
∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．…④正确．
故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，则∠B＝　30°　．
【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况时行分析，从而求解．
解：当∠A是顶角时，∠B＝（180°﹣120°）÷2＝30°；
当∠A是底角时，则另一个底角也是120°，因为120°+120°＞180°，所以不符合三角形内角和定理，故舍去；
故答案为：30°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
12．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为　5　．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质计算即可．
解：∵62+82＝100，
102＝100，
∴62+82＝102，
∴这个三角形是直角三角形，
∴最长边上的中线长为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为　4　．

【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；
解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4．
故答案为：4．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝BC，E是AC的中点．若AD＝12，DE＝10，则CD的长等于 　16　．

【分析】先利用等腰三角形的性质得到AD＝BD＝12，即D为AB的中点，则判断DE为△ABC的中位线，则BC＝2DE＝20，然后利用勾股定理计算CD的长．
解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝12，即D为AB的中点，
∵E是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE＝20，
在Rt△BCD中，CD＝＝＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
15．如图，把一个长方形的纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点M、N的位置，如果∠EFB＝65°，那么∠AEM等于　50°　．

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DEF＝∠EFB，再根据翻折的性质和平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵矩形对边AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
∵沿EF折叠后，点D、C分别落在点M、N的位置，
∴∠DEF＝∠MEF，
∴∠AEM＝180°﹣65°×2＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
16．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　78°　．

【分析】解法一：连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．
解法二：连接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形三线合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定义得∠BOD+∠BOE＝141°，最后由周角的定义可得结论．
解：解法一：连接BO，并延长BO到P，

∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
连接OB，

∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案为：78°．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为　5　．

【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
解：如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5，
故答案为：5

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 　18　．

【分析】连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H，由等边三角形的性质可知∠ABF＝30°，则点F在射线BF上运动，当点F与点H重合时，CF最小，从而解决问题．
解：连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H，

∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠ABF＝30°，
∴点F在射线BF上运动，
当点F与点H重合时，CF最小，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12，
∵∠ABF＝30°，
∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°，
∴△ACD'是等边三角形，
∴AD'＝AC＝6，
∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6，
∴△BDE的周长为：18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
19．已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．
求证：AB＝CD．

【分析】利用AAS证明△ABF≌△CDE，即可解决问题．
【解答】证明：∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABF≌△CDE．
20．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，点P即为所求；
（3）根据S四边形PABC＝S△ABC+S△APC列式计算即可得解．
解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）如图所示，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，此时PB＝PC；

（3）S四边形PABC＝S△ABC+S△APC＝×5×2+×5×1＝．

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
（1）按要求作出草图，并求∠ADE＝　90°　；（直接写出结果）
（2）当AB＝3，AC＝5时，求△ABE的周长．

【分析】（1）根据题意作出图形；根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解：（1）如图所示．
∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE＝90°．
故答案是：90°；

（2）∵MN是线段AC的中垂线，
∴EA＝EC，
在Rt△ABC中，BC＝，
∴C△ABE＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC＝3+4＝7．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，勾股定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
22．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？请证明你的结论．

【分析】（1）根据线段中点的性质、直角三角形的性质计算；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到E、F在线段AD的垂直平分线上，得到答案．
解：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE＝AB＝5，AF＝AC＝4，
∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AB＝5，DF＝AC＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE+ED+DF+FA＝18；
（2）EF垂直平分AD．
证明：∵AD是ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E是AB的中点，
∴DE＝AE，
同理：DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
23．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；
（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．
解：（1）∠D是直角．
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
∴S四边形ABCD＝AB•BC+AD•CD
＝×20×15+×24×7
＝234．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
24．定义：如图，等腰△ABC中，点E，F分别在腰AB，AC上，连结EF，若AE＝CF，则称EF为该等腰三角形的逆等线．
（1）如图1，EF是等腰△ABC的逆等线，若EF⊥AB，AB＝AC＝8，AE＝3，求逆等线EF的长；
（2）如图2，若直角三角形△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角△ABC底边BC上的中点，且点E，F分别在AB，AC上，求证：EF为等腰△ABC的逆等线．

【分析】（1）由等腰三角形的逆等线的定义可得CF＝AE＝3，由勾股定理可求解；
（2）由“ASA”可证△EDA≌△FDC，可得AE＝CF，可得结论．
【解答】（1）解：∵EF是等腰△ABC的逆等线，
∴CF＝AE＝3，
又∵AB＝AC＝8，
∴AF＝5，
∵EF⊥AB，
∴EF＝＝＝4；
（2）证明：连接AD，

在等腰Rt△ABC中，点D为底边上中点，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠BAD＝∠C＝45°
又∵∠EDF＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
在△EDA和△FDC中，
，
∴△EDA≌△FDC（ASA），
∴AE＝CF，
∴EF为等腰△ABC的逆等线．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的逆等线定义是解题的关键．
25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝　　．
（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；
（3）在点P运动过程中，若△ACP为等腰三角形，则此时t＝　或或或3　．

【分析】（1）设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，在Rt△ACP中，依据AC2+PC2＝AP2，列方程求解即可得到t的值．
（2）设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，依据AD2+PD2＝AP2，列方程求解即可得到t的值．
（3）分四种情况：当P在AB上且AP＝CP时，当P在AB上且AP＝CA＝3时，当P在AB上且AC＝PC时，当P在BC上且AC＝PC＝3时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值．
解：（1）如图，设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，

∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴BP＝，
∴t＝＝＝．
故答案为：．
（2）如图，过P作PD⊥AB于D，

∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，
∴PD＝PC，BC＝BD＝4，
∴AD＝5﹣4＝1，
设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，
在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，
∴12+y2＝（3﹣y）2，
解得y＝，
∴CP＝，
∴t＝＝＝，
当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，
此时，t＝＝．
综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或．

（3）分四种情况：
①如图，当P在AB上且AP＝CP时，

∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠B＝∠BCP，
∴CP＝BP，
∴P是AB的中点，即AP＝AB＝，
∴t＝＝．
②如图，当P在AB上且AP＝CA＝3时，

t＝＝．
③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝＝，

∴Rt△ACD中，AD＝，
∴AP＝2AD＝，
∴t＝＝．
④如图，当P在BC上且AC＝PC＝3时，BP＝4﹣3＝1，

∴t＝＝＝3．
综上所述，当t＝或或或3时，△ACP为等腰三角形．
故答案为：或或或3．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．
26．过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 　②　（只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150°的等腰三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝2，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N．若射线CD为△ABC的“友好分割线”，求CM+DN的最大值．

【分析】（1）根据“友好分割线”的定义判断即可；
（2）分三种情形：当“友好分割线”经过点C，当“友好分割线”经过点A，当“友好分割线”经过点B，分别画出图形求解即可；
（3）证明△DNE≌△AGE（ASA），推出DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°推出CM≤CF，AG≤AF，推出CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，由此可得结论．
解：（1）根据“友好分割线”的定义可知，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．等边三角形不存在“友好分割线”．
故答案为：②；

（2）如图3﹣1中，当EC＝EA时，∠AEC＝60°，
当FC＝FB时，∠BFC＝100°，
当BC＝BG时，∠B＝40°．
如图3﹣2中，当AC＝AR时，∠CAR＝20°，
当CA＝CW时，∠C＝80°，
如图3﹣3中，BC＝BQ时，∠CBQ＝20°
，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；

（3）解：如图2中，作AG⊥l于点G．

∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．
∴△CDA不是等腰三角形．
∵CD为△ABC的“友好分割线”，
∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．
∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝2．
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CD＝4．
∵DN⊥l于N，
∴∠DNE＝∠AGE＝90°．
∵E为AD的中点，
∴BE＝AE．
在△DNE和△AGE中，

∴△DNE≌△AGE（ASA），
∴DN＝AG．
在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°，
∴CM≤CF，AG≤AF，
∴CM+AG≤CF+AF，
即CM+AG≤AC，
∴CM+DN≤4，
∴CM+DN的最大值为4．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．