河南省省直辖县级行政单位2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）

这是一份河南省省直辖县级行政单位2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省省直辖县级行政单位九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题(本大题共10小題，共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．0
3．用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
4．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5
C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣5
5．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
6．根据表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（　　）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判断
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到Rt△DEC，点D恰好落在边AB上．若∠B＝25°，则∠BCE的度数为（　　）

A．20° B．30° C．50° D．60°
8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0，
②b﹣2a＜0，
③a﹣b+c＞0，
④a+b＞n（an+b），（n≠1），
⑤2c＜3b．
正确的是（　　）

A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
10．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a．﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 　 　．（只需写一个）
12．已知点（﹣1，y1），（2，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c上，则y1，y2的大小关系是 　 　．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　 　．

14．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为　 　．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝2，则FM的长为　 　．

三、解答题（本大题共4小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x（x﹣3）+x＝3；
（2）3x2﹣1＝4x．
17．如图为二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程﹣x2﹣x+2＝0的解为　 　；
（2）当y＞0时，x的取值范围是　 　；
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是　 　．

18．已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1绕点M旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标；
（4）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；

二、（本小题9.0分）
20．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为240平方米，求栅栏BC的长．

21．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为40元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝．
（1）当售价为85元/件时，年销售量为 　 　万件；
（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2）和B（1，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

23．已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．

（1）问题发现
如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为　 　，BD、AB、CB之间的数量关系为　 　．
（2）拓展探究
当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）解决问题
当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝　 　．


参考答案
一、选择题(本大题共10小題，共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
解：A、是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．0
【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，（3）是整式方程，据此即可求解．
解：根据题意得，|m﹣1|＝2，且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．
3．用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．
解：由原方程，得
x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，
（x+1）2＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5
C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣5
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1+3）2﹣3+2，即y＝2（x+2）2﹣1；
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
5．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
6．根据表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（　　）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判断
【分析】利用表中数据得到x＝1.3和x＝1.4时，代数式ax2+bx+c的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当1.3＜x＜1.4时，代数式ax2+bx+c的值为3．
解：当x＝1.3时，ax2+bx+c＝2.29，
当x＝1.4时，ax2+bx+c＝3.76，
所以方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是1.3＜x＜1.4．
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到Rt△DEC，点D恰好落在边AB上．若∠B＝25°，则∠BCE的度数为（　　）

A．20° B．30° C．50° D．60°
【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝∠BCE，可得∠A＝∠ADC＝65°，由三角形内角和定理可得∠ACD＝50°，即可求解．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝65°，
∵将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到Rt△DEC，
∴AC＝CD，∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝65°，
∴∠ACD＝50°，
∴∠BCE＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0，
②b﹣2a＜0，
③a﹣b+c＞0，
④a+b＞n（an+b），（n≠1），
⑤2c＜3b．
正确的是（　　）

A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；
②由于a＜0，所以﹣2a＞0．
又b＞0，
所以b﹣2a＞0，
故②错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝n时，y＝an2+bn+c，
所以a+b+c＞an2+bn+c，
故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；
⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；
故④⑤正确．
故选：D．

【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
10．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a．﹣b﹣1） C．（﹣a，﹣b+1） D．（﹣a，﹣b﹣2）
【分析】我们已知关于原点对称的点的坐标规律：横坐标和纵坐标都互为相反数；还知道平移规律：上加下减；左加右减．在此基础上转化求解．把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标和A′对应点A2坐标后求解．
解：把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1）．
因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2（﹣a，﹣b﹣1）．
∴A′（﹣a，﹣b﹣2）．
故选：D．

【点评】此题通过平移把问题转化为学过的知识，从而解决问题，体现了数学的化归思想．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 　y＝2x2﹣1　．（只需写一个）
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y＝ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴该抛武线的解析式为y＝ax2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝2x2﹣1，
故答案为：y＝2x2﹣1．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
12．已知点（﹣1，y1），（2，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c上，则y1，y2的大小关系是 　y1＞y2　．
【分析】将点的坐标代入函数解析式进行计算，再比较即可求解．
解：当x＝﹣1时，y1＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+c＝3+c；
当x＝2时，y2＝22﹣2×2+c＝c，
∴y1＞y2，
故答案为：y1＞y2．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是 　x＜﹣1或x＞5　．

【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
解：由图可知，对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便，求出函数图象与x轴的另一交点坐标是解题的关键．
14．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为　+2或﹣2　．
【分析】分为两种情况：①当x＞﹣x时，得出方程x2﹣2＝x，②当﹣x＞x时，得出方程x2﹣2＝﹣x，求出方程的解即可．
解：分为两种情况：
①当x＞﹣x，即x＞0时，x2﹣2＝x，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
x＝﹣1舍去；
②当﹣x＞x，即x＜0时，x2﹣2＝﹣x，
解得：x1＝﹣2，x2＝1，
x＝1舍去；
所以方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为2或﹣2，
故答案为：2或﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝2，则FM的长为　5　．

【分析】由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；则可得到AE＝CM＝2，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．
解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴FM＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的综合应用．解题的关键是掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题（本大题共4小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x（x﹣3）+x＝3；
（2）3x2﹣1＝4x．
【分析】（1）移项，提公因式分解因式，然后解一元一次方程即可；
（2）利用公式法解方程．
解：（1）x（x﹣3）+x＝3，
x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）3x2﹣1＝4x，
3x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
17．如图为二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程﹣x2﹣x+2＝0的解为　x1＝﹣2，x2＝1　；
（2）当y＞0时，x的取值范围是　﹣2＜x＜1　；
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是　﹣4＜y≤　．

【分析】（1）令y＝﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（﹣，），当x＝﹣3时，y＝﹣9+3+2＝﹣4，进而求解．
解：（1）令y＝﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝﹣2或1，
故答案为x1＝﹣2，x2＝1；
（2）从图象看，当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜1，
故答案为﹣2＜x＜1；
（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（﹣，），
当x＝﹣3时，y＝﹣9+3+2＝﹣4，
故当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是为﹣4＜y≤．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
18．已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）给m选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根．
【分析】（1）根据根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得；
（2）取m＝3，再利用因式分解法求解可得．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×（m+1）（m﹣3）＞0且m+1≠0，
解得m＞且m≠﹣1；

（2）取m＝3，
此时方程为4x2+6x＝0，
整理为2x（2x+3）＝0，
∴2x＝0或2x+3＝0，
解得x1＝0，x2＝．
【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1绕点M旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标；
（4）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C关于点（1，0）的对称点A2，B2，C2即可．
（3）连接A1A2，B1B2交于点M，点M即为所求．
（4）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点M即为所求，点M的坐标（﹣1，0）．
（4）如图，点P即为所求，点P的坐标（2，0）．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、（本小题9.0分）
20．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　（54﹣3x）　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为240平方米，求栅栏BC的长．

【分析】（1）根据栅栏的总长度及留的小门的宽度，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长25米，即可得出栅栏BC的长为10米．
解：（1）依题意得：AB＝52+1×2﹣3x＝（54﹣3x）米．
故答案为：（54﹣3x）．
（2）依题意得：x（54﹣3x）＝240，
整理得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x1＝8，x2＝10．
当x＝8时，54﹣3x＝54﹣3×8＝30＞25，不合题意，舍去；
当x＝10时，54﹣3x＝54﹣3×10＝24＜25，符合题意．
答：栅栏BC的长为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为40元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝．
（1）当售价为85元/件时，年销售量为 　25　万件；
（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和题目中的分段函数，可以将x＝85代入函数解析式y＝﹣x+110中，从而可以相应的y的值；
（2）根据题意，可以写出利润与售价的函数解析式，然后分别求出两段函数对应的函数的最大值，然后比较大小，即可得到利润的最大值．
解：（1）由题意可得，
当x＝85时，y＝﹣85+110＝25，
即当售价为85元/件时，年销售量为25万件，
故答案为：25；
（2）设销售该产品的年利润为w元，
当60≤x＜80时，w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当x＝70时，该函数取得最大值，此时w＝1800；
当80≤x≤90时，w＝（x﹣40）（﹣x+110）＝﹣（x﹣75）2+1225，
∴当x＝80时，该函数取得最大值，此时w＝1200；
∵1800＞1200，
∴当x＝70时，w取得最大值1800，
答：当售价为70元时，销售该产品的年利润最大，最大利润是1800元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2）和B（1，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2+，则抛物线的对称轴为直线x＝1，利用点C与点A关于直线x＝1对称得到C点坐标为（2，2）；
（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x+1，再利用平移的性质得到图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上；图象G向下平移3个单位时，点D在直线BC上，由于图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，所以1＜t≤3
解：（1）把点A（0，2）和B（1，）代入y＝x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣x+2；
（2）∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，
∴C点坐标为（2，2）；
（3）如图，设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（1，），C（2，2）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+1，
当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上，
当x＝4时，y＝x+1＝3，
∵x＝4时，y＝x2﹣x+2＝6，
∴点图象G向下平移3个单位时，点D在直线BC上，
∴当1＜t≤3时，图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．
23．已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．

（1）问题发现
如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为　BD＝AE　，BD、AB、CB之间的数量关系为　BD+AB＝CB　．
（2）拓展探究
当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）解决问题
当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝　　．
【分析】（1）过点C作CE⊥CB，得到∠BCD＝∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可．
（2）过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）先判断出△ACE≌△BCD，CE＝BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD＝BH＝2，求出BH，再用勾股定理即可．
解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°，
∴∠BAC+∠D＝180°，
∵∠CAE+∠BAC＝180°，
∠CAE＝∠D，
∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝CB，
∴BE＝AE+AB＝DB+AB，
∴BD+AB＝CB；
故答案为：BD＝AE，BD+AB＝CB；

（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠CAE＝∠D，
∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝CB，
∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB；
（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
∠BCD＝90°﹣∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∵∠ECB＝90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE＝CB，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，
∴AB﹣DB＝CB；
∵△BCE为等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBH＝45°
过点D作DH⊥BC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD＝BH＝2，
∴BH＝DH＝，
在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝，
∴CH＝DH＝×＝，
∴BC＝CH﹣BH＝﹣；
故答案为：﹣．



【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等．解本题的关键是作出辅助线．