吉林省长春市农安县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份吉林省长春市农安县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市农安县九年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算中，正确的是（　　）
A．＝ B．×＝6 C．÷＝4 D．﹣＝
2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．x2+x﹣1＝x2 C． D．x2﹣5x＝0
5．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
6．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．（40﹣2x）（34﹣x）＝960
B．40×34﹣40x﹣34x+2x2＝960
C．（40﹣x）（34﹣2x）＝960
D．40×34﹣40x﹣2×34x＝960
7．已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列式子不成立的是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△A'B'C'，已知OB：OB'＝2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：9 C．2：3 D．4：9
10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．要使有意义，则a的取值范围是 　 　．
12．如果是整数，则正整数n的最小值是 　 　．
13．最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　，b＝　 　．
14．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　．
15．已知实数m是方程x2﹣4x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣8m的值为 　 　．
16．对于任意不相等的两个实数a，b（a＞b）定义一种新运算a※b＝，如3※2＝，那么12※3＝　 　．
17．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为　 　．

18．如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为 　 　．

19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　 　．

20．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB＝　 　m．

三、解答题（21-24题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分）
21．计算：﹣．
22．用适当的方法解下列方程：x2+4x﹣5＝0．
23．已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．


24．某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．
25．已知关于x的方程x2+kx+k﹣3＝0，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
26．如图，作出与四边形ABCD的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1．

27．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．
（1）求证：△EDC∽△DAF；
（2）若AB＝3，AD＝2，CE＝1，求线段DF的长度．

28．阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC．
分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2．延长BD到E，使得DE＝BD．
连接AE，CE．可证BE＝AC，进而得到BD＝AC．
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则FG＝　 　．




参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列计算中，正确的是（　　）
A．＝ B．×＝6 C．÷＝4 D．﹣＝
【分析】根据合并同类二次根式对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；先把化为最简二次根式，然后根据合并同类二次根式对D进行判断．
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项错误；
B、×＝＝，所以B选项错误；
C、÷＝＝＝2，所以C选项错误；
D、﹣＝2﹣＝，所以D选项正确．
故选：D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
3．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．
解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；
B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；
C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；
D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；
故选：C．
4．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．x2+x﹣1＝x2 C． D．x2﹣5x＝0
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
解：A．该方程是二元一次方程，故本选项不合题意；
B．该方程化简后可得x﹣1＝0，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
5．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
6．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．（40﹣2x）（34﹣x）＝960
B．40×34﹣40x﹣34x+2x2＝960
C．（40﹣x）（34﹣2x）＝960
D．40×34﹣40x﹣2×34x＝960
【分析】根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为（40﹣2x）米，宽为（34﹣x）米，然后根据长方形的面积＝长×宽，即可列出相应的方程．
解：由题意可得，
（49﹣2x）（34﹣x）＝960，
故选：A．
7．已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系，进而得出答案．
解：A、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；
B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确；
C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；
D、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列式子不成立的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
解：∵DE∥BC，
∴＝，选项A成立，不符合题意；
＝，选项B成立，不符合题意；
＝，选项C成立，不符合题意；
＝，选项D不成立，符合题意；
故选：D．
9．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△A'B'C'，已知OB：OB'＝2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：9 C．2：3 D．4：9
【分析】根据位似变换的性质得到A′B′∥AB，A′C′∥AC，根据平行线的性质求出△A'B'C'与△ABC的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比．
解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝．
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为3：2．
∴△ABC与△A'B'C'的面积之比为4：9．
故选：D．
10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由于∠PAD＝∠PBC＝90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC＝90°．AB＝8，AD＝3，BC＝4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，解得x＝；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），解得x＝2或x＝6．
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选：C．

二、填空题（每小题4分，共40分）
11．要使有意义，则a的取值范围是 　a≤0　．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式解答即可．
解：根据二次根式有意义的条件可得，
﹣a≥0，
所以a≤0，
故答案为：a≤0．
12．如果是整数，则正整数n的最小值是 　7　．
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
解：因为是整数，可得：正整数n的最小值是7，
故答案为：7．
13．最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　3　，b＝　2　．
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴2b+1＝7﹣b，a﹣1＝2，
解得：b＝2，a＝3，
故答案为：3，2．
14．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≥﹣1且k≠0　．
【分析】首先利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝4+4k≥0，根据一元二次方程的意义得出k≠0，两者结合得出答案即可．
解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k≥0，k≠0，
解得：k≥﹣1且k≠0．
故答案为：k≥﹣1且k≠0．
15．已知实数m是方程x2﹣4x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣8m的值为 　4　．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣4m＝2，再把2m2﹣8m变形为2（m2﹣4m），然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是方程x2﹣4x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣4m﹣2＝0，
∴m2﹣4m＝2，
∴2m2﹣8m＝2（m2﹣4m）＝2×2＝4．
故答案为：4．
16．对于任意不相等的两个实数a，b（a＞b）定义一种新运算a※b＝，如3※2＝，那么12※3＝　　．
【分析】直接利用新定义代入计算得出答案．
解：12※3＝＝．
故答案为：．
17．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为　6　．

【分析】由a∥b∥c，可得＝，由此即可解决问题．
解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝6，
故答案为6．

18．如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为 　6　．

【分析】根据平移的性质分别求出a、b的值，计算即可．
解：点A的横坐标为﹣1，点C的横坐标为1，
则线段AB先向右平移2个单位，
∵点B的横坐标为1，
∴点D的横坐标为3，即b＝3，
同理，a＝3，
∴a+b＝3+3＝6，
故答案为：6．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为 　6　．

【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝3，且点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝6．
∴菱形ABCD的边长为6，
故答案为：6．
20．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB＝　40　m．

【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴＝，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴＝
解得：AB＝40，
故答案为：40．
三、解答题（21-24题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分）
21．计算：﹣．
【分析】直接化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案．
解：原式＝2﹣2﹣3+3
＝﹣．
22．用适当的方法解下列方程：x2+4x﹣5＝0．
【分析】利用因式分解法把原方程转化为x+5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
解：x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1．
23．已知，如图所示，实数a、b、c在数轴上的位置．化简：．


【分析】先根据数轴判断a，b，c的正负数，再根据绝对值的意义化简求解．
解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
∴
＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）
＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝a﹣2c．
24．某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是56（1﹣x），第二次后的价格是56（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：56（1﹣x）2＝31.5，
解得：x1＝0.25，x2＝1.75，
经检验x2＝1.75不符合题意，
则x＝0.25＝25%．
答：每次降价百分率为25%．
25．已知关于x的方程x2+kx+k﹣3＝0，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（k﹣2）2+8＞0，由此即可证出：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解答】证明：∵在方程x2+kx+k﹣3＝0中，Δ＝k2﹣4×1×（k﹣3）＝k2﹣4k+12＝（k﹣2）2+8＞0，
∴不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
26．如图，作出与四边形ABCD的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1．

【分析】根据相似图形的性质，分别将四边形ABCD的四条边扩大2倍即可．
解：如图，四边形EFGH即为所求，

27．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．
（1）求证：△EDC∽△DAF；
（2）若AB＝3，AD＝2，CE＝1，求线段DF的长度．

【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC＝∠C＝90°，再根据相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由矩形的性质可得出DC的长及∠ADC＝∠C＝90°，利用勾股定理可求出DE的长，由垂直的定义可得出∠AFD＝∠C，利用同角的余角相等可得出∠EDC＝∠DAF，进而可得出△EDC∽△DAF，再利用相似三角形的性质可求出DF的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠ADF+∠CDE＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠DAF+∠FDA＝90°，
∴∠FAD＝∠CDE，
又∵∠C＝∠AFD＝90°，
∴△EDC∽△DAF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．
∵CE＝1，
∴DE＝＝＝．
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF+∠DAF＝90°．
又∵∠ADF+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠DAF，
∴△EDC∽△DAF，
∴＝，即＝，
∴FD＝，
即DF的长度为．
28．阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC．
分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2．延长BD到E，使得DE＝BD．
连接AE，CE．可证BE＝AC，进而得到BD＝AC．
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则FG＝　　．


【分析】（1）延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，证四边形ABCE是平行四边形，再由∠ABC＝90°，得平行四边形ABCE是矩形，则BE＝AC，进而得出结论；
（2）过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH于H，过点B在AB上方作BR⊥AB，过点E作ER⊥BR于R，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于Q，证四边形HQED、四边形QACE均为矩形，得HQ＝DE＝CD﹣CE＝5，QR＝AB＝12，再由勾股定理得HR＝13，然后证FG是△CHR的中位线，即可求解．
【解答】（1）证明：延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，如图2所示：
∵BD是斜边AC上的中线，
∴AD＝CD，
又∵DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCE是矩形，
∴BE＝AC，
∵DE＝BD＝BE，
∴BD＝AC；
（2）解：过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH于H，过点B在AB上方作BR⊥AB，过点E作ER⊥BR于R，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于Q，如图3所示：
则四边形ACDH、四边形CBRE、四边形ABRQ都为矩形，
∴四边形HQED、四边形QACE均为矩形，
∴HQ＝DE＝CD﹣CE＝8﹣3＝5，QR＝AB＝12，
在Rt△HQR中，由勾股定理得：HR＝＝13，
∵点F，G分别是AD和BE的中点，四边形ACDH、四边形CBRE都是矩形，
∴点F，G分别是CH和CR的中点，
∴FG是△CHR的中位线，
∴FG＝HR＝，
故答案为：．