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浙江省温州市瑞安市集云实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）
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这是一份浙江省温州市瑞安市集云实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省温州市瑞安市集云实验学校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
2．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠C＝40°，则的度数为（ ）
A．70° B．100° C．140° D．160°
3．将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+5）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝x2+8 D．y＝x2﹣2
4．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
6．抛物线y＝x2+n经过点（n+2，n2），则n的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．如图，⊙O中，点C在上，∠ADC，∠BEC分别为所对的圆周角．若∠AOB＝110°，∠ADC＝20°，则∠BEC的度数为（ ）
A．35° B．36° C．37° D．38°
8．如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64
9．如图，点A（1，16），B（2，12），C（3，8），D（4，4）均在函数l图象上，P为该函数在第一象限内图象上一点，PE⊥x轴于点E，当△OEP的面积取最大值时，OE的长为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
10．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y＝上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x3＞0，则y2y3＜0 B．若x1x2＞0，则y2y3＞0
C．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0
非选择题部分二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝3x2+8x﹣4与y轴的交点的坐标是 ．
12．请写出一个开口向下，且经过点（1，2）的抛物线表达式 ．
13．如图，点A在半圆O上，BC为直径．若∠ABC＝40°，BC＝2，则的长是 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如表：
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8的解为 ．
15．在⊙O中，点C，D在⊙O上，且分布在直径AB异侧，延长CO交弦BD于点E，若∠DEC＝120°，且点A为中点，则的度数为 ．
16．在半径为5的圆内放置正方形ABCD，E为AB的中点，EF⊥AB交圆于点F，直线DC分别交圆于点G，H，如图所示．若AB＝4，EF＝DG＝CH，则GH的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．已知抛物线y＝ax2﹣12x+8的对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）求该抛物线的顶点坐标，及与x轴的交点坐标．
18．如图，已知给定等边△ABC及边AB上点D．
（1）作经过点B，C，D的⊙O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）．
（2）若BC＝6，BD＝4，求OA的长．（说明：O为（1）小题所作圆的圆心）
注：给定等边△ABC及边AB上点D在答题卡上．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点（﹣8，0），（0，0）．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）点A沿A→B→C→D→E运动，其中AB∥CD∥y轴，BC∥DE∥x轴，AB＝CD＝m，BC＝DE＝4．若点A，E均落在抛物线上，且抛物线的对称轴恰好平分BC，求m的值．
20．如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别交半径AO，CO于点G，H，且∠FBA＝∠EDC．
（1）求证：DE＝BF．
（2）若＝＝，且∠DOB＝∠EGO，求的度数．
21．函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数，且a＜0）在自变量x的值满足﹣4≤x≤1时，其对应的函数值y满足﹣5≤y≤．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）当x＝1时，求y的值．
22．如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造▱ACDE，点E在半径OB上．
（1）已知∠D＝75°．求证：＝4．
（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG．
23．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙店一天可售出40件，每件盈利20元．经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天分别可多售出2，4件．设甲店每件衬衫降价m元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价n元时，一天可盈利y2元．
（1）当m＝3时，求y1的值．
（2）求y2关于n的函数表达式．
（3）若总公司规定：m﹣n＝6（m，n为正整数），请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
24．如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG，DC交于点F，CF＝BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P，Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．
（1）求证：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面积．
（3）延长DC交⊙D于点H，且CH＝NG，记AB＝x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
【分析】根据函数的解析式可以直接写出函数的顶点坐标，本题得以解决．
解：∵y＝（x﹣3）2+4，
∴该函数的顶点坐标是（3，4），
故选：C．
2．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠C＝40°，则的度数为（ ）
A．70° B．100° C．140° D．160°
【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵CA＝CB，∠C＝40°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∴的度数为140°，
故选：C．
3．将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+5）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝x2+8 D．y＝x2﹣2
【分析】根据二次函数图象平移的规律，即左加右减，上加下减求解即可．
解：将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x﹣5）2+3，
故选：B．
4．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
【分析】连接OD，根据垂径定理求出DH＝CD，根据圆的性质及线段的和差求出OD＝OA＝3，OH＝2，根据勾股定理求出DH＝，据此即可得解．
解：连接OD，
∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，
∴DH＝CD，
∵AH＝5，HB＝1，
∴AB＝AH＝HB＝6，
∴OD＝OA＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
在Rt△ODH中，DH＝＝＝，
∴CD＝2DH＝2，
故选：C．
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】连接OB、OC．先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，再根据勾股定理求出OM即可．
解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
6．抛物线y＝x2+n经过点（n+2，n2），则n的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】把（n+2，n2）代入抛物线y＝x2+n，解答即可．
解：把（n+2，n2）代入抛物线y＝x2+n，得
n2＝（n+2）2+n，
n2＝n2+4n+4+n，
n＝﹣．
故选：D．
7．如图，⊙O中，点C在上，∠ADC，∠BEC分别为所对的圆周角．若∠AOB＝110°，∠ADC＝20°，则∠BEC的度数为（ ）
A．35° B．36° C．37° D．38°
【分析】根据圆周角定理求出∠ADC+∠BEC＝∠AOB＝55°，再根据弧、圆周角的关系求解即可．
解：∵∠AOB＝110°，
∴∠ADC+∠BEC＝∠AOB＝55°，
∵∠ADC＝20°，
∴∠BEC＝35°，
故选：A．
8．如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64
【分析】连接OC．利用勾股定理求出EC，根据S阴＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，计算即可．
解：连接OC．
∵四边形OACD是平行四边形，
∴OA∥CD，
∴∠OEC+∠EOA＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴EC＝＝＝8，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．
故选：C．
9．如图，点A（1，16），B（2，12），C（3，8），D（4，4）均在函数l图象上，P为该函数在第一象限内图象上一点，PE⊥x轴于点E，当△OEP的面积取最大值时，OE的长为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
【分析】先根据待定系数法求出直线AB的解析式，从而可判定C（3，8），D（4，4）均在直线AB上，设
解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b
将A（1，16），B（2，12）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣4x+20，
当x＝3时，y＝﹣4x+20＝8，
∴C（3，8）在直线AB上，
当x＝4时，y＝﹣4x+20＝4，
∴D（4，4）在直线AB上，
设P（p，﹣4p+20），则OE＝p，PE＝﹣4p+20，
∴S△OEP＝OE•PE＝p（﹣4p+20）＝﹣2p2+10p＝﹣2（p﹣）2+，
∴当△OEP的面积取最大值时，OE的长为．
故选：B．
10．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y＝上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x3＞0，则y2y3＜0 B．若x1x2＞0，则y2y3＞0
C．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0
【分析】根据x1＜x2＜x3，可判断各选项内x1，x2，x3的取值范围，进而求解．
解：∵y＝，
∴双曲线图象在第二，四象限，
当x1x3＞0时，不能判断x2符号，
∴选项A不正确．
当x1x2＞0时，不能判断x3符号，
∴选项B不正确．
当x1x3＜0时，不能判断x2符号，
∴选项C不正确，
当x1x2＜0时，则x1＜0＜x2＜x3，
∴（x1，y1）在第二象限，（x3，y3）在第四象限，
∴y1y3＜0，
故选：D．
非选择题部分二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝3x2+8x﹣4与y轴的交点的坐标是 （0，﹣4） ．
【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可．
解：把x＝0代入y＝3x2+8x﹣4得y＝﹣4，
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．
故答案为：（0，﹣4）．
12．请写出一个开口向下，且经过点（1，2）的抛物线表达式 y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一） ．
【分析】可以把点（1，2）作为抛物线的顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，然后a取一个负数即可．
解：把点（1，2）设顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
∵抛物线开口向下，
∴a可以取﹣1，
∴满足条件的抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2+2．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．
13．如图，点A在半圆O上，BC为直径．若∠ABC＝40°，BC＝2，则的长是 π ．
【分析】根据圆周角与圆心角的关系可求出∠AOC的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
解：∠AOC＝2∠ABC＝80°，由弧长公式得，
的长为＝π，
故答案为：π．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如表：
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8的解为 x1＝﹣，x2＝﹣1 ．
【分析】利用x＝﹣3时，y＝7；x＝5时，y＝7得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的对称性得到x＝2时，y＝﹣8，所以方程一元二次方程ax2+bx+c＝﹣8的两根为x1＝0，x2＝2，由于把一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8可看作关于（3x+5）的一元二次方程，则3x+5＝0或3x+5＝2，然后解一次方程即可．
解：对于二次函数y＝ax2+bx+c，
∵x＝﹣3时，y＝7；x＝5时，y＝7，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，
∵x＝0时，y＝﹣8，
∴x＝2时，y＝﹣8，
即方程一元二次方程ax2+bx+c＝﹣8的两根为x1＝0，x2＝2，
把一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8看作关于（3x+5）的一元二次方程，
∴3x+5＝0或3x+5＝2，
解得x1＝﹣，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝﹣，x2＝﹣1．
15．在⊙O中，点C，D在⊙O上，且分布在直径AB异侧，延长CO交弦BD于点E，若∠DEC＝120°，且点A为中点，则的度数为 160° ．
【分析】根据题意画出图形，连接OD，根据圆周角定理得出∠AOD＝2∠B，设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，再根据外角的性质得出∠COD＝∠DEC+∠ODB，列出关于x的方程求出∠B即可解答．
解：如图，连接OD，
∵点A为中点，AB为直径，
∴AB⊥CD，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOD＝2∠B，
设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，
∵∠DEC＝120°，∠COD＝∠DEC+∠ODB，
∴4x＝x+120°，
解得x＝40°，
∴4x＝160°，
即∠COD＝160°，
∴的度数为160°．
故答案为：160°．
16．在半径为5的圆内放置正方形ABCD，E为AB的中点，EF⊥AB交圆于点F，直线DC分别交圆于点G，H，如图所示．若AB＝4，EF＝DG＝CH，则GH的长为 4+4 ．
【分析】根据正方形的性质推出△FEB∽△BCH，根据相似三角形的性质得出EF＝2，根据线段的和差求解即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠FBE＝∠H，∠BCH＝180°﹣90°＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠BCH，
∴△FEB∽△BCH，
∴＝，
∵AB＝4，E为AB的中点，
∴BE＝2，
∴＝，
∴EF•CH＝8，
∵EF＝CH，
∴EF2＝8，
∴EF＝2或EF＝﹣2（舍去），
∴EF＝DG＝CH＝2，
∴GH＝DG+DC+CH＝2+4+2＝4+4，
故答案为：4+4．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．已知抛物线y＝ax2﹣12x+8的对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）求该抛物线的顶点坐标，及与x轴的交点坐标．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程求出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）把一般式配成顶点式得到顶点坐标，然后解方程3（x﹣2）2﹣4＝0得到抛物线与x轴的交点坐标．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得a＝3，
∴抛物线解析式为y＝3x2﹣12x+8；
（2）∵y＝3x2﹣12x+8＝3（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），
当y＝0时，3（x﹣2）2﹣4＝0，
解得x1＝2﹣，x2＝2+，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2﹣，0），（2+，0）．
18．如图，已知给定等边△ABC及边AB上点D．
（1）作经过点B，C，D的⊙O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）．
（2）若BC＝6，BD＝4，求OA的长．（说明：O为（1）小题所作圆的圆心）
注：给定等边△ABC及边AB上点D在答题卡上．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法，分别作线段BD，BC的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径画弧，即可得所求的⊙O．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E，线段BD的垂直平分线交BD于点F，可得BD＝DF＝2，根据等边三角形的性质可得AB＝BC＝6，点A，O，E在同一条直线上，则∠BAE＝30°，AF＝4，在Rt△AOF中，利用锐角三角函数可求得OA．
解：（1）如图，⊙O即为所求．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E，线段BD的垂直平分线交BD于点F，
∴BD＝DF＝BD＝2，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝6，点A，O，E在同一条直线上，
∴∠BAE＝30°，AF＝4，
在Rt△AOF中，cos30°＝，
解得AO＝，
经检验，AO＝是原方程的解且符合题意，
∴OA的长为．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点（﹣8，0），（0，0）．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）点A沿A→B→C→D→E运动，其中AB∥CD∥y轴，BC∥DE∥x轴，AB＝CD＝m，BC＝DE＝4．若点A，E均落在抛物线上，且抛物线的对称轴恰好平分BC，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，可得点A、B的横坐标为﹣6，点C、D的横坐标为﹣2，则点E的横坐标为2，求出点A、E的坐标，即可求解．
解：（1）由题意得，
解得，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+4x；
（2）如图：
∵y＝x2+4x＝（x+4）2﹣8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，
∵AB∥CD∥y轴，BC∥DE∥x轴，BC＝DE＝4．抛物线的对称轴恰好平分BC，
∴点A、B的横坐标为﹣6，点C、D的横坐标为﹣2，则点E的横坐标为2，
∴点A（﹣6，﹣6）、E（2，10），
∵AB＝CD＝m．
∴2m＝10+6，解得m＝8．
∴m的值为8．
20．如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别交半径AO，CO于点G，H，且∠FBA＝∠EDC．
（1）求证：DE＝BF．
（2）若＝＝，且∠DOB＝∠EGO，求的度数．
【分析】（1）连接AD，BD，根据圆周角定理得出∠A＝∠C，∠ADB＝∠CBD＝90°，根据直角三角形的性质得到∠ABD＝∠CDB，根据弧、圆周角关系得出＝，＝，进而得到＝，则＝，根据弧、弦的关系即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理推出∠3＝180°﹣4∠1，根据弧、圆周角的关系得出∠2+∠ADE+∠3＝90°，即∠1+×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，求出∠1＝36°，根据三角形内角和定理、对顶角性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，BD，
∵AB，CD为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠CBD＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB＝90°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴＝，
∵∠FBA＝∠EDC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴+＝+，
即＝，
∴DE＝BF；
（2）解：如图，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠2，
∴∠DOB＝180°﹣2∠1，
∵∠EGO＝∠EDB+∠ABD＝∠3+∠1+∠2＝∠3+2∠1，∠DOB＝∠EGO，
∴180°﹣2∠1＝∠3+2∠1，
∴∠3＝180°﹣4∠1，
∵＝＝，
∴∠3＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠3，
∵CD为⊙O直径，
∴++＝180°，
∴∠2+∠ADE+∠3＝90°，
∴∠1+×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，
∴5∠1＝180°，
∴∠1＝36°，
∴∠DOB＝180°﹣36°×2＝108°，
∴∠AOC＝108°，
∴的度数为108°．
21．函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数，且a＜0）在自变量x的值满足﹣4≤x≤1时，其对应的函数值y满足﹣5≤y≤．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）当x＝1时，求y的值．
【分析】（1）先根据抛物线的对称轴方程得到物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据二次函数的性质得到x＝﹣1时，y有最大值，所以x＝﹣1时，y＝；x＝﹣4时，y＝﹣5，从而得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，）；
（2）利于待定系数法求得抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x，然后计算自变量为1所对应的函数值即可．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
而a＜0，
∴x＝﹣1时，y有最大值，
∵﹣4≤x≤1时，其对应的函数值y满足﹣5≤y≤．
∴x＝﹣1时，y＝；x＝﹣4时，y＝﹣5，
即抛物线的对称轴为直线＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，）；
（2）把（﹣1，），（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x，
当x＝1时，y＝﹣x2﹣x＝﹣﹣＝﹣．
22．如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造▱ACDE，点E在半径OB上．
（1）已知∠D＝75°．求证：＝4．
（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG．
【分析】（1）连接OD，根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质推出∠COD＝4∠AOC，根据同圆中，圆心角、弧的关系即可得解；
（2）根据平行线的性质、对顶角性质、三角形内角和推出∠OEF＝∠OFE，则OE＝OF，结合圆的性质根据线段的和差即可得解．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵四边形ACDE是平行四边形，∠CDE＝75°，
∴∠A＝∠CDE＝75°，AB∥CD，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝75°，
∴∠AOC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DCO＝∠AOC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠DCO＝30°，
∴∠COD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠COD＝4∠AOC，
∴＝4；
（2）如图，延长CO分别交DE，⊙O于点F，G，
∵AB∥CD，
∴∠OEF＝∠CDE＝75°，
∵∠EOF＝∠AOC＝30°，
∴∠OFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∵OB＝OG，
∴OB﹣OE＝OG﹣OF，
即EB＝FG．
23．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙店一天可售出40件，每件盈利20元．经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天分别可多售出2，4件．设甲店每件衬衫降价m元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价n元时，一天可盈利y2元．
（1）当m＝3时，求y1的值．
（2）求y2关于n的函数表达式．
（3）若总公司规定：m﹣n＝6（m，n为正整数），请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
【分析】（1）m＝3时，y1＝（30﹣3）×（30+2×3）＝972（元）；
（2）根据题意得：y2＝（20﹣n）（40+4n）＝﹣4n2+40n+800；
（3）设两家分店一天的盈利为w元，w＝y1+y2＝（30﹣m）（30+2m）+（﹣4n2+40n+800），根据m﹣n＝6，可得w＝﹣6n2+46n+1808＝﹣6（n﹣）2+，而m，n为正整数，由二次函数性质得甲店每件衬衫降价10元，乙店每件衬衫降价4元，两家分店一天的盈利和最大，最大是1896元．
解：（1）m＝3时，y1＝（30﹣3）×（30+2×3）＝972（元），
∴y1的值为972；
（2）根据题意得：y2＝（20﹣n）（40+4n）＝﹣4n2+40n+800，
∴y2关于n的函数表达式为：y2＝﹣4n2+40n+800；
（3）设两家分店一天的盈利为w元，
根据题意得w＝y1+y2＝（30﹣m）（30+2m）+（﹣4n2+40n+800），
∵m﹣n＝6，
∴m＝n+6，
∴w＝（30﹣n﹣6）（30+2n+12）+（﹣4n2+40n+800）＝﹣6n2+46n+1808＝﹣6（n﹣）2+，
∵﹣6＜0，m，n为正整数，
∴n＝4时，w取最大值，最大值为﹣6×+＝1896，
此时m＝n+6＝10，
∴甲店每件衬衫降价10元，乙店每件衬衫降价4元，两家分店一天的盈利和最大，最大是1896元．
24．如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG，DC交于点F，CF＝BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P，Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．
（1）求证：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面积．
（3）延长DC交⊙D于点H，且CH＝NG，记AB＝x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．
【分析】（1）根据AAS证明△ABE≌△GCF，可得结论；
（2）计算∠ADM＝140°，根据扇形的面积公式计算即可；
（3）根据△ABE≌△GCF可知：S＝S△ABG，设CH＝NG＝y，表示CN，DH，DN的长，根据勾股定理列方程可得：y1＝（﹣1+）x，最后由三角形面积公式可得结论．
【解答】（1）证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠FCG＝90°，
∴∠BAG+∠G＝∠BAG+∠BAE＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴CG＝AB；
（2）解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在Rt△ABE中，∵∠E＝70°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴AD＝DM＝6，
∴∠DAF＝∠DMA＝20°，
∴∠ADM＝140°，
∴扇形ADM的面积＝＝14π；
（3）解：∵△ABE≌△GCF，
∴S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，
∴S＝S△ABG，
∵AD＝DM，
∴∠DAM＝∠DMA，
∵AD∥CE，
∴∠G＝∠DAM，
∵∠NMG＝∠AMD，
∴∠G＝∠NMG，
∴MN＝NG，
设CH＝NG＝y，
∵AB＝CD＝x，
∴CN＝x﹣y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝DM+MN＝DH+NG＝x+y+y＝x+2y，
∵DC2+CN2＝DN2，
∴x2+（x﹣y）2＝（x+2y）2，
∴y1＝（﹣1+）x，y2＝﹣1﹣（舍），
∴S＝•AB•BG
＝•x•（x+x+x﹣x）
＝（1+）x2
＝x2．
2022-2023学年浙江省温州市瑞安市集云实验学校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
2．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠C＝40°，则的度数为（ ）
A．70° B．100° C．140° D．160°
3．将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+5）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝x2+8 D．y＝x2﹣2
4．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
6．抛物线y＝x2+n经过点（n+2，n2），则n的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．如图，⊙O中，点C在上，∠ADC，∠BEC分别为所对的圆周角．若∠AOB＝110°，∠ADC＝20°，则∠BEC的度数为（ ）
A．35° B．36° C．37° D．38°
8．如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64
9．如图，点A（1，16），B（2，12），C（3，8），D（4，4）均在函数l图象上，P为该函数在第一象限内图象上一点，PE⊥x轴于点E，当△OEP的面积取最大值时，OE的长为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
10．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y＝上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x3＞0，则y2y3＜0 B．若x1x2＞0，则y2y3＞0
C．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0
非选择题部分二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝3x2+8x﹣4与y轴的交点的坐标是 ．
12．请写出一个开口向下，且经过点（1，2）的抛物线表达式 ．
13．如图，点A在半圆O上，BC为直径．若∠ABC＝40°，BC＝2，则的长是 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如表：
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8的解为 ．
15．在⊙O中，点C，D在⊙O上，且分布在直径AB异侧，延长CO交弦BD于点E，若∠DEC＝120°，且点A为中点，则的度数为 ．
16．在半径为5的圆内放置正方形ABCD，E为AB的中点，EF⊥AB交圆于点F，直线DC分别交圆于点G，H，如图所示．若AB＝4，EF＝DG＝CH，则GH的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．已知抛物线y＝ax2﹣12x+8的对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）求该抛物线的顶点坐标，及与x轴的交点坐标．
18．如图，已知给定等边△ABC及边AB上点D．
（1）作经过点B，C，D的⊙O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）．
（2）若BC＝6，BD＝4，求OA的长．（说明：O为（1）小题所作圆的圆心）
注：给定等边△ABC及边AB上点D在答题卡上．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点（﹣8，0），（0，0）．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）点A沿A→B→C→D→E运动，其中AB∥CD∥y轴，BC∥DE∥x轴，AB＝CD＝m，BC＝DE＝4．若点A，E均落在抛物线上，且抛物线的对称轴恰好平分BC，求m的值．
20．如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别交半径AO，CO于点G，H，且∠FBA＝∠EDC．
（1）求证：DE＝BF．
（2）若＝＝，且∠DOB＝∠EGO，求的度数．
21．函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数，且a＜0）在自变量x的值满足﹣4≤x≤1时，其对应的函数值y满足﹣5≤y≤．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）当x＝1时，求y的值．
22．如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造▱ACDE，点E在半径OB上．
（1）已知∠D＝75°．求证：＝4．
（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG．
23．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙店一天可售出40件，每件盈利20元．经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天分别可多售出2，4件．设甲店每件衬衫降价m元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价n元时，一天可盈利y2元．
（1）当m＝3时，求y1的值．
（2）求y2关于n的函数表达式．
（3）若总公司规定：m﹣n＝6（m，n为正整数），请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
24．如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG，DC交于点F，CF＝BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P，Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．
（1）求证：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面积．
（3）延长DC交⊙D于点H，且CH＝NG，记AB＝x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
【分析】根据函数的解析式可以直接写出函数的顶点坐标，本题得以解决．
解：∵y＝（x﹣3）2+4，
∴该函数的顶点坐标是（3，4），
故选：C．
2．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠C＝40°，则的度数为（ ）
A．70° B．100° C．140° D．160°
【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵CA＝CB，∠C＝40°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∴的度数为140°，
故选：C．
3．将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+5）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝x2+8 D．y＝x2﹣2
【分析】根据二次函数图象平移的规律，即左加右减，上加下减求解即可．
解：将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x﹣5）2+3，
故选：B．
4．如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H．若AH＝5，HB＝1，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．2
【分析】连接OD，根据垂径定理求出DH＝CD，根据圆的性质及线段的和差求出OD＝OA＝3，OH＝2，根据勾股定理求出DH＝，据此即可得解．
解：连接OD，
∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，
∴DH＝CD，
∵AH＝5，HB＝1，
∴AB＝AH＝HB＝6，
∴OD＝OA＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
在Rt△ODH中，DH＝＝＝，
∴CD＝2DH＝2，
故选：C．
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】连接OB、OC．先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，再根据勾股定理求出OM即可．
解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
6．抛物线y＝x2+n经过点（n+2，n2），则n的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】把（n+2，n2）代入抛物线y＝x2+n，解答即可．
解：把（n+2，n2）代入抛物线y＝x2+n，得
n2＝（n+2）2+n，
n2＝n2+4n+4+n，
n＝﹣．
故选：D．
7．如图，⊙O中，点C在上，∠ADC，∠BEC分别为所对的圆周角．若∠AOB＝110°，∠ADC＝20°，则∠BEC的度数为（ ）
A．35° B．36° C．37° D．38°
【分析】根据圆周角定理求出∠ADC+∠BEC＝∠AOB＝55°，再根据弧、圆周角的关系求解即可．
解：∵∠AOB＝110°，
∴∠ADC+∠BEC＝∠AOB＝55°，
∵∠ADC＝20°，
∴∠BEC＝35°，
故选：A．
8．如图，扇形AOB圆心角为直角，OA＝10，点C在上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64
【分析】连接OC．利用勾股定理求出EC，根据S阴＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，计算即可．
解：连接OC．
∵四边形OACD是平行四边形，
∴OA∥CD，
∴∠OEC+∠EOA＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴EC＝＝＝8，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．
故选：C．
9．如图，点A（1，16），B（2，12），C（3，8），D（4，4）均在函数l图象上，P为该函数在第一象限内图象上一点，PE⊥x轴于点E，当△OEP的面积取最大值时，OE的长为（ ）
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
【分析】先根据待定系数法求出直线AB的解析式，从而可判定C（3，8），D（4，4）均在直线AB上，设
解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b
将A（1，16），B（2，12）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣4x+20，
当x＝3时，y＝﹣4x+20＝8，
∴C（3，8）在直线AB上，
当x＝4时，y＝﹣4x+20＝4，
∴D（4，4）在直线AB上，
设P（p，﹣4p+20），则OE＝p，PE＝﹣4p+20，
∴S△OEP＝OE•PE＝p（﹣4p+20）＝﹣2p2+10p＝﹣2（p﹣）2+，
∴当△OEP的面积取最大值时，OE的长为．
故选：B．
10．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为双曲线y＝上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（ ）
A．若x1x3＞0，则y2y3＜0 B．若x1x2＞0，则y2y3＞0
C．若x1x3＜0，则y2y3＞0 D．若x1x2＜0，则y1y3＜0
【分析】根据x1＜x2＜x3，可判断各选项内x1，x2，x3的取值范围，进而求解．
解：∵y＝，
∴双曲线图象在第二，四象限，
当x1x3＞0时，不能判断x2符号，
∴选项A不正确．
当x1x2＞0时，不能判断x3符号，
∴选项B不正确．
当x1x3＜0时，不能判断x2符号，
∴选项C不正确，
当x1x2＜0时，则x1＜0＜x2＜x3，
∴（x1，y1）在第二象限，（x3，y3）在第四象限，
∴y1y3＜0，
故选：D．
非选择题部分二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．抛物线y＝3x2+8x﹣4与y轴的交点的坐标是 （0，﹣4） ．
【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可．
解：把x＝0代入y＝3x2+8x﹣4得y＝﹣4，
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．
故答案为：（0，﹣4）．
12．请写出一个开口向下，且经过点（1，2）的抛物线表达式 y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一） ．
【分析】可以把点（1，2）作为抛物线的顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，然后a取一个负数即可．
解：把点（1，2）设顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
∵抛物线开口向下，
∴a可以取﹣1，
∴满足条件的抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2+2．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．
13．如图，点A在半圆O上，BC为直径．若∠ABC＝40°，BC＝2，则的长是 π ．
【分析】根据圆周角与圆心角的关系可求出∠AOC的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
解：∠AOC＝2∠ABC＝80°，由弧长公式得，
的长为＝π，
故答案为：π．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如表：
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
则一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8的解为 x1＝﹣，x2＝﹣1 ．
【分析】利用x＝﹣3时，y＝7；x＝5时，y＝7得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的对称性得到x＝2时，y＝﹣8，所以方程一元二次方程ax2+bx+c＝﹣8的两根为x1＝0，x2＝2，由于把一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8可看作关于（3x+5）的一元二次方程，则3x+5＝0或3x+5＝2，然后解一次方程即可．
解：对于二次函数y＝ax2+bx+c，
∵x＝﹣3时，y＝7；x＝5时，y＝7，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，
∵x＝0时，y＝﹣8，
∴x＝2时，y＝﹣8，
即方程一元二次方程ax2+bx+c＝﹣8的两根为x1＝0，x2＝2，
把一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8看作关于（3x+5）的一元二次方程，
∴3x+5＝0或3x+5＝2，
解得x1＝﹣，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝﹣，x2＝﹣1．
15．在⊙O中，点C，D在⊙O上，且分布在直径AB异侧，延长CO交弦BD于点E，若∠DEC＝120°，且点A为中点，则的度数为 160° ．
【分析】根据题意画出图形，连接OD，根据圆周角定理得出∠AOD＝2∠B，设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，再根据外角的性质得出∠COD＝∠DEC+∠ODB，列出关于x的方程求出∠B即可解答．
解：如图，连接OD，
∵点A为中点，AB为直径，
∴AB⊥CD，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOD＝2∠B，
设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，
∵∠DEC＝120°，∠COD＝∠DEC+∠ODB，
∴4x＝x+120°，
解得x＝40°，
∴4x＝160°，
即∠COD＝160°，
∴的度数为160°．
故答案为：160°．
16．在半径为5的圆内放置正方形ABCD，E为AB的中点，EF⊥AB交圆于点F，直线DC分别交圆于点G，H，如图所示．若AB＝4，EF＝DG＝CH，则GH的长为 4+4 ．
【分析】根据正方形的性质推出△FEB∽△BCH，根据相似三角形的性质得出EF＝2，根据线段的和差求解即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠FBE＝∠H，∠BCH＝180°﹣90°＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠BCH，
∴△FEB∽△BCH，
∴＝，
∵AB＝4，E为AB的中点，
∴BE＝2，
∴＝，
∴EF•CH＝8，
∵EF＝CH，
∴EF2＝8，
∴EF＝2或EF＝﹣2（舍去），
∴EF＝DG＝CH＝2，
∴GH＝DG+DC+CH＝2+4+2＝4+4，
故答案为：4+4．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．已知抛物线y＝ax2﹣12x+8的对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）求该抛物线的顶点坐标，及与x轴的交点坐标．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程求出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）把一般式配成顶点式得到顶点坐标，然后解方程3（x﹣2）2﹣4＝0得到抛物线与x轴的交点坐标．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得a＝3，
∴抛物线解析式为y＝3x2﹣12x+8；
（2）∵y＝3x2﹣12x+8＝3（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），
当y＝0时，3（x﹣2）2﹣4＝0，
解得x1＝2﹣，x2＝2+，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2﹣，0），（2+，0）．
18．如图，已知给定等边△ABC及边AB上点D．
（1）作经过点B，C，D的⊙O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并写出结论）．
（2）若BC＝6，BD＝4，求OA的长．（说明：O为（1）小题所作圆的圆心）
注：给定等边△ABC及边AB上点D在答题卡上．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法，分别作线段BD，BC的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径画弧，即可得所求的⊙O．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E，线段BD的垂直平分线交BD于点F，可得BD＝DF＝2，根据等边三角形的性质可得AB＝BC＝6，点A，O，E在同一条直线上，则∠BAE＝30°，AF＝4，在Rt△AOF中，利用锐角三角函数可求得OA．
解：（1）如图，⊙O即为所求．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E，线段BD的垂直平分线交BD于点F，
∴BD＝DF＝BD＝2，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝6，点A，O，E在同一条直线上，
∴∠BAE＝30°，AF＝4，
在Rt△AOF中，cos30°＝，
解得AO＝，
经检验，AO＝是原方程的解且符合题意，
∴OA的长为．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点（﹣8，0），（0，0）．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）点A沿A→B→C→D→E运动，其中AB∥CD∥y轴，BC∥DE∥x轴，AB＝CD＝m，BC＝DE＝4．若点A，E均落在抛物线上，且抛物线的对称轴恰好平分BC，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，可得点A、B的横坐标为﹣6，点C、D的横坐标为﹣2，则点E的横坐标为2，求出点A、E的坐标，即可求解．
解：（1）由题意得，
解得，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+4x；
（2）如图：
∵y＝x2+4x＝（x+4）2﹣8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣4，
∵AB∥CD∥y轴，BC∥DE∥x轴，BC＝DE＝4．抛物线的对称轴恰好平分BC，
∴点A、B的横坐标为﹣6，点C、D的横坐标为﹣2，则点E的横坐标为2，
∴点A（﹣6，﹣6）、E（2，10），
∵AB＝CD＝m．
∴2m＝10+6，解得m＝8．
∴m的值为8．
20．如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别交半径AO，CO于点G，H，且∠FBA＝∠EDC．
（1）求证：DE＝BF．
（2）若＝＝，且∠DOB＝∠EGO，求的度数．
【分析】（1）连接AD，BD，根据圆周角定理得出∠A＝∠C，∠ADB＝∠CBD＝90°，根据直角三角形的性质得到∠ABD＝∠CDB，根据弧、圆周角关系得出＝，＝，进而得到＝，则＝，根据弧、弦的关系即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理推出∠3＝180°﹣4∠1，根据弧、圆周角的关系得出∠2+∠ADE+∠3＝90°，即∠1+×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，求出∠1＝36°，根据三角形内角和定理、对顶角性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，BD，
∵AB，CD为⊙O直径，
∴∠ADB＝∠CBD＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB＝90°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴＝，
∵∠FBA＝∠EDC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴+＝+，
即＝，
∴DE＝BF；
（2）解：如图，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠2，
∴∠DOB＝180°﹣2∠1，
∵∠EGO＝∠EDB+∠ABD＝∠3+∠1+∠2＝∠3+2∠1，∠DOB＝∠EGO，
∴180°﹣2∠1＝∠3+2∠1，
∴∠3＝180°﹣4∠1，
∵＝＝，
∴∠3＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠3，
∵CD为⊙O直径，
∴++＝180°，
∴∠2+∠ADE+∠3＝90°，
∴∠1+×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，
∴5∠1＝180°，
∴∠1＝36°，
∴∠DOB＝180°﹣36°×2＝108°，
∴∠AOC＝108°，
∴的度数为108°．
21．函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数，且a＜0）在自变量x的值满足﹣4≤x≤1时，其对应的函数值y满足﹣5≤y≤．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）当x＝1时，求y的值．
【分析】（1）先根据抛物线的对称轴方程得到物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据二次函数的性质得到x＝﹣1时，y有最大值，所以x＝﹣1时，y＝；x＝﹣4时，y＝﹣5，从而得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，）；
（2）利于待定系数法求得抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x，然后计算自变量为1所对应的函数值即可．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
而a＜0，
∴x＝﹣1时，y有最大值，
∵﹣4≤x≤1时，其对应的函数值y满足﹣5≤y≤．
∴x＝﹣1时，y＝；x＝﹣4时，y＝﹣5，
即抛物线的对称轴为直线＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，）；
（2）把（﹣1，），（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x，
当x＝1时，y＝﹣x2﹣x＝﹣﹣＝﹣．
22．如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造▱ACDE，点E在半径OB上．
（1）已知∠D＝75°．求证：＝4．
（2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG．
【分析】（1）连接OD，根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质推出∠COD＝4∠AOC，根据同圆中，圆心角、弧的关系即可得解；
（2）根据平行线的性质、对顶角性质、三角形内角和推出∠OEF＝∠OFE，则OE＝OF，结合圆的性质根据线段的和差即可得解．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵四边形ACDE是平行四边形，∠CDE＝75°，
∴∠A＝∠CDE＝75°，AB∥CD，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝75°，
∴∠AOC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DCO＝∠AOC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠DCO＝30°，
∴∠COD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠COD＝4∠AOC，
∴＝4；
（2）如图，延长CO分别交DE，⊙O于点F，G，
∵AB∥CD，
∴∠OEF＝∠CDE＝75°，
∵∠EOF＝∠AOC＝30°，
∴∠OFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∵OB＝OG，
∴OB﹣OE＝OG﹣OF，
即EB＝FG．
23．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙店一天可售出40件，每件盈利20元．经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天分别可多售出2，4件．设甲店每件衬衫降价m元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价n元时，一天可盈利y2元．
（1）当m＝3时，求y1的值．
（2）求y2关于n的函数表达式．
（3）若总公司规定：m﹣n＝6（m，n为正整数），请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
【分析】（1）m＝3时，y1＝（30﹣3）×（30+2×3）＝972（元）；
（2）根据题意得：y2＝（20﹣n）（40+4n）＝﹣4n2+40n+800；
（3）设两家分店一天的盈利为w元，w＝y1+y2＝（30﹣m）（30+2m）+（﹣4n2+40n+800），根据m﹣n＝6，可得w＝﹣6n2+46n+1808＝﹣6（n﹣）2+，而m，n为正整数，由二次函数性质得甲店每件衬衫降价10元，乙店每件衬衫降价4元，两家分店一天的盈利和最大，最大是1896元．
解：（1）m＝3时，y1＝（30﹣3）×（30+2×3）＝972（元），
∴y1的值为972；
（2）根据题意得：y2＝（20﹣n）（40+4n）＝﹣4n2+40n+800，
∴y2关于n的函数表达式为：y2＝﹣4n2+40n+800；
（3）设两家分店一天的盈利为w元，
根据题意得w＝y1+y2＝（30﹣m）（30+2m）+（﹣4n2+40n+800），
∵m﹣n＝6，
∴m＝n+6，
∴w＝（30﹣n﹣6）（30+2n+12）+（﹣4n2+40n+800）＝﹣6n2+46n+1808＝﹣6（n﹣）2+，
∵﹣6＜0，m，n为正整数，
∴n＝4时，w取最大值，最大值为﹣6×+＝1896，
此时m＝n+6＝10，
∴甲店每件衬衫降价10元，乙店每件衬衫降价4元，两家分店一天的盈利和最大，最大是1896元．
24．如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG，DC交于点F，CF＝BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P，Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．
（1）求证：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面积．
（3）延长DC交⊙D于点H，且CH＝NG，记AB＝x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．
【分析】（1）根据AAS证明△ABE≌△GCF，可得结论；
（2）计算∠ADM＝140°，根据扇形的面积公式计算即可；
（3）根据△ABE≌△GCF可知：S＝S△ABG，设CH＝NG＝y，表示CN，DH，DN的长，根据勾股定理列方程可得：y1＝（﹣1+）x，最后由三角形面积公式可得结论．
【解答】（1）证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠FCG＝90°，
∴∠BAG+∠G＝∠BAG+∠BAE＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴CG＝AB；
（2）解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在Rt△ABE中，∵∠E＝70°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴AD＝DM＝6，
∴∠DAF＝∠DMA＝20°，
∴∠ADM＝140°，
∴扇形ADM的面积＝＝14π；
（3）解：∵△ABE≌△GCF，
∴S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，
∴S＝S△ABG，
∵AD＝DM，
∴∠DAM＝∠DMA，
∵AD∥CE，
∴∠G＝∠DAM，
∵∠NMG＝∠AMD，
∴∠G＝∠NMG，
∴MN＝NG，
设CH＝NG＝y，
∵AB＝CD＝x，
∴CN＝x﹣y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝DM+MN＝DH+NG＝x+y+y＝x+2y，
∵DC2+CN2＝DN2，
∴x2+（x﹣y）2＝（x+2y）2，
∴y1＝（﹣1+）x，y2＝﹣1﹣（舍），
∴S＝•AB•BG
＝•x•（x+x+x﹣x）
＝（1+）x2
＝x2．
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