北京市顺义牛栏山第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

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2021-2022学年北京市顺义区牛栏山一中高二（上）期中数学试卷
一、选择题共10小題，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）若直线l的方程为x＝2，则该直线的倾斜角是（　　）
A．60° B．45° C．90° D．180°
2．（4分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝2，则其圆心C与半径r分别为（　　）
A．C（1，﹣1），r＝2 B．C（﹣1，1），r＝2
C．C（1，﹣1），r=2 D．C（﹣1，1），r=2
3．（4分）焦点坐标为（5，0），（﹣5，0），实轴长为6，则此双曲线的标准方程为（　　）
A．x2100-y291=1 B．y2100-x291=1
C．y29-x216=1 D．x29-y216=1
4．（4分）抛物线y2=34x的焦点坐标为（　　）
A．（13，0） B．（0，13） C．（316，0） D．（0，23）
5．（4分）已知直线l经过点（2，1），且与直线2x﹣y+1＝0垂直，则直线l的一般式方程为（　　）
A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．2x﹣y＝0
6．（4分）以A（1，3），B（1，﹣7）为直径两端点的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）
A．26 B．8 C．46 D．10
7．（4分）已知v→为直线l的一个方向向量，n→为平面α的一个法向量，则下列选项中正确的是（　　）
A．v→∥n→⇔l∥α B．v→∥n→⇔l⊥α C．v→⊥n→⇔l∥α D．v→⊥n→⇔l⊥α
8．（4分）在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（　　）
A．62 B．3 C．32 D．63
9．（4分）在空间直角坐标系中，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C1（0，4，2），则点A1与直线BC1之间的距离为（　　）
A．32 B．2 C．125 D．52
10．（4分）已知关于x，y的方程组x2+y2=2k2kx-y=2k仅有一组实数解，则符合条件的实数k的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）抛物线x2＝4y的准线方程为　 　．
12．（5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），点P是椭圆C上的点，PF1⊥x轴，且∠PF2F1＝45°，则椭圆C的离心率为 　 　．
13．（5分）若点P在直线x2+y2=1上，过点P的直线l与曲线x2+y2＝1只有一个公共点Q，则|PQ|取得最小值时，点P的坐标为 　 　．
14．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2．
（1）AD1→•AC1→=　 　；
（2）若点E在对角线DB上，则AE→•AC1→=　 　．

15．（5分）有5名运动员参加乒乓球比赛，每2名运动员都要赛1场并决出胜负．设第i位运动员共胜xi场，负yi场（i＝1，2，3，4，5），则下列说法正确的有 　 　．
①x1+x2+x3+x4+x5＝y1+y2+y3+y4+y5；
②x12+x22+x32+x42+x52＝y12+y22+y32+y42+y52；
③x1+x2+x3+x4+x5为定值，与各场比赛的结果无关；
④x12+x22+x32+x42+x52为定值，与各场比赛结果无关．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（14分）双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，右焦点为F．
（Ⅰ）直接写出两条渐近线方程及双曲线C的离心率；
（Ⅱ）若右焦点为F到渐近线的距离为2，求a．
17．（15分）椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一点．
（Ⅰ）当P为椭圆C的上顶点时，求∠F1PF2；
（Ⅱ）若F1P⊥F2P，求满足条件的点P的个数；（直接写答案）
（Ⅲ）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于A，B，若|AB|=165，求k．
18．（14分）抛物线C：y2＝4x上有不同的两个点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求证：x1x2＝16；
（Ⅱ）判断：若x1x2＝16，则OA⊥OB是否成立？并说明理由．
19．（14分）如图，所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠DAB＝∠A1AD＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1，点M在棱D1C1上，且D1M=12D1C1．
（Ⅰ）用AA1→，AD→，AB→表示BM→；
（Ⅱ）若BD⊥AN，求λ；
（Ⅲ）若λ=23，求证：BM∥平面ANB1．

20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AP＝AD＝2，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱PA，PB，且EF∥AB．
（Ⅰ）求证：EF∥CD；
（Ⅱ）若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68．
（1）求点P与到平面CEF的距离；
（2）试确定点E的位置．

21．（14分）对于集合M，定义函数fM（x）=-1，x∈M1，x∉M，对于两个集合M，N，定义集合M⊗N＝{x|fM（x）•fN（x）＝﹣1}．已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，4，6，8}，C＝{666}，定义S＝A∪C，T＝B∪C．
（1）写出fA（9）与fB（9）的值；
（2）用Card（M）表示有限集合M所包含元素的个数．已知集合X是正整数集的子集，求Card（X⊗S）+Card（X⊗T）的最小值，并说明理由；
（3）已知集合P，Q为A∪B的子集，且（P⊗A）⊗（Q⊗B）＝A⊗B，求证：P＝Q．

2021-2022学年北京市顺义区牛栏山一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小題，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）若直线l的方程为x＝2，则该直线的倾斜角是（　　）
A．60° B．45° C．90° D．180°
【解答】解：∵直线l的方程为x＝2
∴直线l与x轴垂直
∴直线l的倾斜角为90°
故选：C．
2．（4分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝2，则其圆心C与半径r分别为（　　）
A．C（1，﹣1），r＝2 B．C（﹣1，1），r＝2
C．C（1，﹣1），r=2 D．C（﹣1，1），r=2
【解答】解：∵圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝2，
∴C（﹣1，1），r=2．
故选：D．
3．（4分）焦点坐标为（5，0），（﹣5，0），实轴长为6，则此双曲线的标准方程为（　　）
A．x2100-y291=1 B．y2100-x291=1
C．y29-x216=1 D．x29-y216=1
【解答】解：∵焦点坐标为（5，0），（﹣5，0），
∴双曲线为实轴在x轴上的双曲线，且c＝5，
又实轴长为6，即2a＝6，得a＝3，
∴b2＝c2﹣a2＝25﹣9＝16，则b＝4，
∴双曲线标准方程为：x29-y216=1．
故选：D．
4．（4分）抛物线y2=34x的焦点坐标为（　　）
A．（13，0） B．（0，13） C．（316，0） D．（0，23）
【解答】解：抛物线y2=34x，可知p=38，
所以抛物线的焦点坐标为（316，0）．
故选：C．
5．（4分）已知直线l经过点（2，1），且与直线2x﹣y+1＝0垂直，则直线l的一般式方程为（　　）
A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y＝0 C．2x﹣y﹣3＝0 D．2x﹣y＝0
【解答】解：设过直线l经过点（2，1），且与直线2x﹣y+1＝0垂直的直线方程为x+2y+c＝0，
把（2，1）代入得：
2+2+c＝0，
解得c＝﹣4，
∴直线l的一般式方程为x+2y﹣4＝0．
故选：A．
6．（4分）以A（1，3），B（1，﹣7）为直径两端点的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）
A．26 B．8 C．46 D．10
【解答】解：A（1，3），B（1，﹣7）为直径两端点，则圆心的坐标为（1，﹣2），半径r2＝（1﹣1）2+（3+2）2＝25，
故圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝25，
令x＝0，则y＝﹣2﹣26或y＝﹣2+26
∴|MN|＝﹣2+26-（﹣2﹣26）＝46．
故选：C．
7．（4分）已知v→为直线l的一个方向向量，n→为平面α的一个法向量，则下列选项中正确的是（　　）
A．v→∥n→⇔l∥α B．v→∥n→⇔l⊥α C．v→⊥n→⇔l∥α D．v→⊥n→⇔l⊥α
【解答】解：已知v→为直线l的一个方向向量，n→为平面α的一个法向量，
由于v→∥n→，所以l⊥α，故A错误，B正确；
由于v→∥n→，所以l∥α或l⊂α，故C，D错误；
故选：B．
8．（4分）在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（　　）
A．62 B．3 C．32 D．63
【解答】解：设这个点的坐标是（x，y，z）
∵点到三个坐标轴的距离都是1
∴x2+y2＝1，
x2+z2＝1，
y2+z2＝1，
∴x2+y2+z2=32，
∴该点到原点的距离是x2+y2+z2=32=62，
故选：A．
9．（4分）在空间直角坐标系中，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C1（0，4，2），则点A1与直线BC1之间的距离为（　　）
A．32 B．2 C．125 D．52
【解答】解：由题意可得，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C1（0，4，2），
则AB＝4，BC＝2，CC1＝2，
连接A1B，A1C1，
则A1B=25，A1C1=25，BC1=22，
所以△A1BC1为等腰三角形，
取BC1的中点O，连接OA1，
则OA1⊥BC1，
所以点A1到直线BC1的距离为OA1，
在Rt△A1OB中，OA1=A1B2-OB2=20-2=32，
所以点A1到直线BC1的距离为32．
故选：A．

10．（4分）已知关于x，y的方程组x2+y2=2k2kx-y=2k仅有一组实数解，则符合条件的实数k的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：若k＝0，显然方程组仅有一组解（0，0），故k＝0符合条件；
若k≠0，则x2+y2＝2k2的图象是一个以（0，0）为圆心，以r=2|k|为半径的圆，
而kx﹣y＝2k表示直线．
由题设条件知|2k|k2+1=2|k|，即4k21+k2=2k2，
解得k＝±1．
综上所述，符合条件的实数k共有3个．
故选：C．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）抛物线x2＝4y的准线方程为　y＝﹣1　．
【解答】解：∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其准线方程为：y＝﹣1．
故答案为：y＝﹣1．
12．（5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），点P是椭圆C上的点，PF1⊥x轴，且∠PF2F1＝45°，则椭圆C的离心率为 　2-1　．
【解答】解：设|PF1|＝m，又因为∠PF2F1＝45°，所以|PF2|=2m，|F2F1|＝m，
则e=ca=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=mm+2m=2-1，
故答案为：2-1．
13．（5分）若点P在直线x2+y2=1上，过点P的直线l与曲线x2+y2＝1只有一个公共点Q，则|PQ|取得最小值时，点P的坐标为 　（1，1）　．
【解答】解：由题意可知圆心坐标为O（0，0），且：|PQ|=|OP|2-|OQ|2=|OP|2-1，
则|PQ|取得最小值时，|OP|有最小值，据此可得OP⊥l，
由于直线l的斜率为﹣1，故满足条件是kOP＝1，直线方程为：y＝x，
联立直线方程：y=xx2+y2=1可得：x＝y＝1，即点P的坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
14．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2．
（1）AD1→•AC1→=　8　；
（2）若点E在对角线DB上，则AE→•AC1→=　4　．

【解答】解：（1）以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间坐标系，
∴A（2，0，0），D1（0，0，2），C1（0，2，2），
∴AD1→=（﹣2，0，2），AC1→=（﹣2，2，2），
∴AD1→•AC1→=4+0+4＝8；
（2）由点E在对角线DB上，设E（λ，λ，0），0≤λ≤1，
则AE→=（λ﹣2，λ，0），
∴AE→•AC1→=-2（λ﹣2）+2λ+0＝﹣2λ+4+2λ+0＝4．
故答案为：（1）8；（2）4．

15．（5分）有5名运动员参加乒乓球比赛，每2名运动员都要赛1场并决出胜负．设第i位运动员共胜xi场，负yi场（i＝1，2，3，4，5），则下列说法正确的有 　①②③　．
①x1+x2+x3+x4+x5＝y1+y2+y3+y4+y5；
②x12+x22+x32+x42+x52＝y12+y22+y32+y42+y52；
③x1+x2+x3+x4+x5为定值，与各场比赛的结果无关；
④x12+x22+x32+x42+x52为定值，与各场比赛结果无关．
【解答】解：共有5名运动员，每2名运动员都赛1场并决出胜负．故共有C52=10场比赛，故所有运动员胜的场数与负的场数相等，且为10场，
即x1+x2+x3+x4+x5＝y1+y2+y3+y4+y5＝10，故①，③正确，
对第i位运动员来说，共参加4场比赛，故xi+yi＝4，
所以：x12﹣y12＝（x1+y1）（x1﹣y1）＝4（x1﹣y1），
所以x12+x22+x32+x42+x52＝y12+y22+y32+y42+y52⇔（x12﹣y12）+……+（x52﹣y52）＝0⇔4（x1﹣y1）+……4（x5﹣y5）＝0，
⇔x1+x2+x3+x4+x5＝y1+y2+y3+y4+y5，故②正确，
对于④，当每个运动员都胜两场时，i=15 xi2=i=15 yi2=20，而当第一名运动员全输第二名运动员全赢时其它运动员各胜2场时，i=15 xi2=i=15 yi2=20，故④错．
故答案为：①②③．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（14分）双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，右焦点为F．
（Ⅰ）直接写出两条渐近线方程及双曲线C的离心率；
（Ⅱ）若右焦点为F到渐近线的距离为2，求a．
【解答】解：（Ⅰ） 双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，则a＝b，
所以两条渐近线方程为y＝±x，其离心率为2．
（Ⅱ）因为右焦点F到渐近线的距离为2，
所以c2=2，所以c=22，所以a＝2．
17．（15分）椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一点．
（Ⅰ）当P为椭圆C的上顶点时，求∠F1PF2；
（Ⅱ）若F1P⊥F2P，求满足条件的点P的个数；（直接写答案）
（Ⅲ）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于A，B，若|AB|=165，求k．
【解答】解：（Ⅰ）由题可得F1（﹣1，0），F2（1，0），当P为椭圆C的上顶点时，P（0，3），
则PF1→=（1，3），PF2→=（﹣1，3），所以cos∠F1PF2=PF1→⋅PF2→|PF1→||PF2→|=-1+32×2=12，
故∠F1PF2＝60°；
（Ⅱ）设P（x，y），则PF1→=（x﹣1，y），PF2→=（x+1，y），
因为F1P⊥F2P，所以PF1→•PF2→=x²+y²﹣1＝0，则x²＝1﹣y²，
又因为P在椭圆上，把x²＝1﹣y²代入x24+y23=1，无解，
故这样的点P个数为0；
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x-1)x24+y23=1得（4k²+3）x²﹣8k²x+4k²﹣12＝0，
则x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，
所以|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[(8k24k2+3)2-4⋅4k2-124k2+3]=12(k2+1)4k2+3=165，
解得k＝±3．
18．（14分）抛物线C：y2＝4x上有不同的两个点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若OA⊥OB，求证：x1x2＝16；
（Ⅱ）判断：若x1x2＝16，则OA⊥OB是否成立？并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：设直线AB方程为x＝my+n（n≠0），
将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，得y2﹣4my﹣4n＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
∵OA⊥OB，∴x1•x2+y1y2=(y1y2)216+y1y2＝n2﹣4n＝0
∴n＝4．x1•x2＝n2＝16．
（Ⅱ）当x1x2＝16时，OA⊥OB不一定成立．
理由如下：
当x1x2＝16时，即x1•x2=(y1y2)216=n2＝16，
∴n＝±4，
又x1•x2+y1y2=(y1y2)216+y1y2＝n2﹣4n，
当n＝﹣4时，x1•x2+y1y2＝n2﹣4n≠0，
此时OA⊥OB不成立，
故当x1x2＝16时，OA⊥OB不一定成立．
19．（14分）如图，所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠DAB＝∠A1AD＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1，点M在棱D1C1上，且D1M=12D1C1．
（Ⅰ）用AA1→，AD→，AB→表示BM→；
（Ⅱ）若BD⊥AN，求λ；
（Ⅲ）若λ=23，求证：BM∥平面ANB1．

【解答】（Ⅰ）解：BM→=AM→-AB→=AD→+DD1→+D1M→-AB→=AD→+AA1→+12AB→-AB→=AD→+AA1→-12AB→．
（Ⅱ）解：设AB＝AA1＝AD＝a，
BD→=AD→-AB→，AN→=AA1→+A1N→=AA1→+λAD→，
因为BD⊥AN，
所以BD→•AN→=（AD→-AB→）•（AA1→+λAD→）＝0，
所以AD→•AA1→+AD→•λAD→-AB→•AA1→-λAB→•AD→=0，即a2×cos60°+λa2﹣a2×cos30°﹣λa2×cos60°＝0，
化简得，12λa2=3-12a2，
解得λ=3-1．

（Ⅲ）证明：延长MN与B1A1相交于点O，连接OB，与AB1交于点P，
因为A1N=23A1D1，即A1N＝2A1D1，
所以ON＝2MN，OA1＝2D1M＝D1C1＝A1B1，所以OB1＝2AB，所以OP＝2PB，
即ONMN=OPPB=2，
所以PN∥BM，
因为BM⊄平面ANB1，PN⊂平面ANB1，
所以BM∥平面ANB1．
20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AP＝AD＝2，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱PA，PB，且EF∥AB．
（Ⅰ）求证：EF∥CD；
（Ⅱ）若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68．
（1）求点P与到平面CEF的距离；
（2）试确定点E的位置．

【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD为菱形，所以CD∥AB，
又因为EF∥AB，所以EF∥CD．
（Ⅱ）解：（1）设点P与到平面CEF的距离为h，
因为直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68，PD=PA2+AD2=22，
所以h＝PD•68=32，
所以点P与到平面CEF的距离32．
（2）取BC中点F，连接AF，
由题意建系如图，设E（0，0，t），t∈（0，2），
D（0，2，0），C（3，1，0），P（0，0，2），
DC→=（3，﹣1，0），DE→=（0，﹣2，t），DP→=（0，﹣2，2），PE→=（0，0，t﹣2），
令m→=（t，t3，23），
因为DC→•m→=0，DE→•m→=0，
所以平面CEF的法向量是m→，
所以直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为|DP→⋅m→||DP→|⋅|m→|=|43-23⋅t|22⋅4t2+12=6(2-t)4⋅t2+3=68，
解得t＝1，t=133（舍去），
所以点E是AP中点．

21．（14分）对于集合M，定义函数fM（x）=-1，x∈M1，x∉M，对于两个集合M，N，定义集合M⊗N＝{x|fM（x）•fN（x）＝﹣1}．已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，4，6，8}，C＝{666}，定义S＝A∪C，T＝B∪C．
（1）写出fA（9）与fB（9）的值；
（2）用Card（M）表示有限集合M所包含元素的个数．已知集合X是正整数集的子集，求Card（X⊗S）+Card（X⊗T）的最小值，并说明理由；
（3）已知集合P，Q为A∪B的子集，且（P⊗A）⊗（Q⊗B）＝A⊗B，求证：P＝Q．
【解答】解：（1）∵9∈A，9∉B，
∴fA（9）＝﹣1，fB（9）＝1；
（2）解：S＝A∪C＝{1，3，5，7，9，666}，
T＝B∪C＝{2，4，6，8，666}，
X⊗S＝{x|x∈X∪S且x∉X∩S}，
X⊗T＝{x|x∈X∪T且x∉X∩T}，
要使Card（X⊗S）+Card（X⊗T）最小，
则666∈X，X不含A∪B外的元素，
故当X＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集与集合{666}的并集时，
Card（X⊗S）+Card（X⊗T）有最小值9；
（3）证明：∵fA⊗B（x）＝fA （x）•fB（x），
fA⊗B⊗C（x）＝fA （x）•fB（x）•fC（x），
所以⊗运算满足交换律和结合律，
所以（P⊗A）⊗（Q⊗B）＝（P⊗Q）⊗（A⊗B），
∵（P⊗A）⊗（Q⊗B）＝A⊗B，
∴P⊗Q＝∅，即P＝Q．
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日期：2022/3/24 2:32:41；用户：闺女他爸；邮箱：1366163486@qq.com；学号：1067224