广东省珠海市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

珠海市第二中学2022-2023学年第一学期期中考试

高二年级数学试题

第I卷（选择题）

一､单选题（每小题只有一个正确的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设某直线的斜率为，且，则该直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知点，且，则实数等于（    ）

A.1    B.3    C.1或3    D.或3

4.直线和直线的交点坐标是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知，则向量与的夹角为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知圆，直线.下列说法正确的是（    ）

A.直线与圆可能相切

B.圆被轴截得的弦长为

C.直线恒过定点

D.直线被圆截得弦长存在最小值，此时直线的方程为

7.若方程有两个相异的实根，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若面，则的长度范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题，每小题有2个或3个正确的选项，本大题共4小题，每小题5分，全对得5分，部分对得2分，选错得0分，共20分）

9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ）

A.若向量与空间任意向量都不能构成基底，则；

B.若非零向量满足，则有；

C.若是空间的一组基底，且，则四点共面；

D.若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底.

10.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A.两条不重合直线的方向向量分别是，则

B.直线的方向向量，平面的法向量是，则

C.两个不同的平面的法向量分别是，则

D.直线的方向向量，平面的法向量是，则

11.在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（    ）

A.圆的方程是

B.过点向圆引切线，两条切线的夹角为

C.过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为

D.在直线上存在异于的两点，使得

第II卷（非选择题）

三､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

13.已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为__________.

14.已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是__________.

15.在长方体中，，点分别是的中点，则点到直线的距离为__________.

16.已知为圆上任意一点，则的最大值是__________.

17.已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为__________.

18.已知圆上一动点，定点轴上一点，则的最小值等于__________.

四､解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（10分）已知直线.

（1）若直线过点，且，求直线的方程；

（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.

20.（12分）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且.

（1）用向量表示；

（2）求.

21.（12分）已知圆和.

（1）求证：圆和圆相交；

（2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.

22.（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面为中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求异面直线与所成的角的余弦值；

（3）求直线到平面的距离.

23.（14分）如图1，在中，别为棱的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结

（1）求证：平面平面；

（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

珠海市第二中学2022-2023学年第一学期期中考试

高二年级数学答案

1.C

2.D  解：直线的斜率为，倾斜角为，若，所以所以.故选：.

3.C  解：因为，所以，即，解得或，故选：C

4.B  解：联立得，所以直线和直线的交点坐标是.故选：B

5.C

6.D  解：将直线的方程整理为，

由，解得，则无论为何值，直线恒过定点，故错误，

圆圆心，

，即定点在圆内，故直线恒与圆有两个交点，故错误，

令，则，解得，故圆被轴截得的弦长为，故错误，

当截得的弦长最短时，此时直线垂直于圆心与定点的连线，则直线的斜率为，此时直线的方程为，即，故正确.故选：.

7.D  解：化简曲线，得

所以曲线表示以为圆心，半径的圆的上半圆.

因为直线可化为，所以直线经过定点且斜率为，

又因为半圆与直线有两个相异的交点，

所以设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为，

当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点.

当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式，，

解之得，即，又因为直线的斜率为，

所以直线的斜率的取值范围为.故选：.

8.B  解：取中点，连接.则..又因为

.所以平面平面.又因为动点在正方形（包括边界）内运动，

所以点的轨迹为线段.又因为正方体的棱长为2，所以，

.所以为等腰三角形.故当点在点或者在点处时，此时最大，最大值

为.当点为中点时，最小，最小值为.故选：B.

9.ACD  解：对于：若向量与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故正确；

对于B：若非零向量满足，则与不一定共线，故B错误；

对于：若是空间的一组基底，且，则，即，可得到，D四点共面，

故正确；

对于：若向量，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使，则，也是空间的一组基底.

10.AC  解：对于A，两条不重合直线的方向向量分别是，且，所以，选项正确；

对于B，直线的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项错误；

对于C，两个不同的平面的法向量分别是，且，所以，选项C正确；

对于，直线的方向向量，平面的法向量是且，所以，选项D错误.

11.AC  解：由图可得直线的斜率，在轴上的截距，而的斜率，在轴上的截距-，即，故能成立；

由图可得直线的斜率，在轴上的截距，而的斜率，在轴上的截距-，即，矛盾，故B不能成立；

由图可得直线，的斜率，在轴上的截距，而的斜率，在轴上的截距，即，故C能成立；

由图D可得直线，的斜率，在轴上的截距，而的斜率，在轴上的截距，即，矛盾，故D不能成立.

12.ABD  解：因为，点满足，设点，则，化简得：，即，故A正确；

因，所以，则，解得，故B正确；

易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为：，解得，故C错误；

假设存在异于的两点，则，化简得：

，因为点的轨迹方程为：，

所以解得或（舍），故存在，故D正确；

13.  解：关于直线的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程：.

14.  解：圆的圆心在轴上，设圆心为，由圆过点和，由可得，即，求得，

可得圆心为，半径为，故圆的方程为，

15.  解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，点到直线的距离：.

点到直线的距离为.

16.  解：化圆为，可得圆心坐标为，半径为1.又为圆上任意一点，则的几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率.如图，

设过与圆相切的直线方程为，即，

由，解得或的最大值是.

17.解：设直线，因为直线过点，

所以，所以，当且仅当时等号成立，所以当

时，的面积取得最小值，此时直线的方程为，即.

18.3解：根据题意画出圆，以及点的图象如图，

作关于轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点即为的最小值，为点到点的距离减圆的半径，即，

19.解：（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.

因为，所以直线的斜率为.因为直线过点，所以直线的方程为即.

（2）因为直线与直线之间的距离为，所以可设直线的方程为，所以解得或.

故直线的方程为或.

20.解：（1）

（2），

，

.

21.解：（1）圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

两圆圆心距，

所以，圆和相交；

（2）圆和圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为

，圆心到直线的距离为：

公共弦长.

22.证明：（1）是矩形而平面平面平面

（2）方法一：是矩形就是异面直线与所成的角

由（2）知由

异面直线与所成的角的余弦值

方法二：以为原点，为轴，轴，轴

建立如图所示的空间直角坐标系，则

异面直线所成的角的范围内异面直线与所成的角的余弦值

（3）平面PCD点到平面的距离就是直线到平面PCD的距离

方法一为的中点平面

是矩形而平面而平面

而平面就是点到平面的距离由已知得直线到平面的距离为

方法二：由已知得，设点到平面的距离，则由得直线到平面的距离为

方法三：建立坐标系（第（4）小题方法二）

设平面的一个法向量为，则由

令，则点到平面的距离

直线到平面的距离为

23.（1）证：因为A，分别为，中点，所以//.

因为，所以.所以.

因为，所以.

又因为=A，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（2）解：因为，，，

所以，，两两互相垂直.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意有，，，，，.

则，，，，，.

设平面的一个法向量，

则有，即，

令得，.所以.

设直线与平面所成角为，

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

（3）解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为.

设，，则，

即.

所以，，.

易得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量，

则有，即，令，则.

若二面角的余弦值为，则有，即，解得，，.又因为，所以.

故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且.