山东省青岛第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2021-2022学年山东省青岛二中高二数学第一学期期中考试

一、单选题

1.     直线过定点A，则点A的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知向量，如果，那么x等于(    )

A.  B.  C. 1 D. 5

3.     若两条不同直线与直线平行，则a的值为(    )

A.  B. 1 C. 4 D. 0

4.     若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(    )

A.  B.
C. 或 D. 以上答案都不对

5.     过点的直线l与圆C：交于两点，当弦长最短时，直线l的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     已知双曲线的方程为，则下列说法错误的是(    )

A. 双曲线的实轴长为8
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为9
D. 双曲线右支上的点到右焦点距离的最小值为1

7.     如图，已知在平行六面体中，，且，则(    )
    

A.  B.  C.  D.

8.     已知F是椭圆C：的右焦点，P为椭圆C上一点，为椭圆外一点，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

9.     已知圆，则下列说法正确的是(    )

A. 圆的半径为4
B. 圆关于直线对称
C. 圆上的点到直线的最小距离为1
D. 圆与圆恰有三条公切线

10. 已知方程所表示的曲线为C，则下列说法中正确的有(    )

A. 曲线C可以是圆
B. 当时，曲线C可以是焦点在x轴上的椭圆
C. 当时，曲线C可以是焦点在x轴上的双曲线
D. 当曲线C是椭圆或双曲线时，其焦距均为6

11. 已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有(    )

A. 点P到右焦点的距离的最大值为9
B. 焦距为10
C. 若，则的面积为9
D. 的周长为20

12. 数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面。一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物.关于曲线，则下列结论正确的是(    )

A. 曲线C关于原点成中心对称图形
B. 曲线C关于x轴，y轴成轴对称图形
C. 曲线C上任意两点之间的距离都不超过2
D. 曲线C所围成的“花瓣”形状区域的面积大于

三、填空题

13. 已知抛物线方程为，则其焦点坐标为__________.
14. 双曲线的一条渐近线为，则它的离心率是__________.
15. 从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为__________.
16. 已知点在抛物线上，且为焦点，若P为C上的一个动点，设点Q的坐标为，则的最小值为__________.

四、解答题

17. 已知圆C与y轴正半轴相切，圆心C在直线上，且直线被圆C所截得的弦长为，求圆C的方程.
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知点、，，点M的轨迹为
    求C的方程；
    已知倾斜角为的直线l经过点，且l与曲线C交于两点，求的面积．
19. 如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段BC的中点．

证明：平面；

求与平面所成角的正弦值．

20. 已知椭圆C：
    若直线l与椭圆C相交于两点，椭圆内一点是线段AB的中点，求直线l的方程；
    已知分别为椭圆C的左右顶点，点P是椭圆上异于的一个动点，求直线的斜率与直线的斜率之积．
21. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，，，，，平面ABCD，

求证：平面BCF；

若M为线段EF上一点，且，是否存在实数，使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

22. 已知椭圆C：的离心率为，且过点

求椭圆C的方程；

已知点在椭圆C上，且，

①证明：直线 MN过定点；

②求面积的最大值.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．
在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线恒过定点的坐标．

【解答】

解：直线可化简为，
故可得，可得，，
故可得直线过定点
故选

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.
由得，计算求解出x即可.

【解答】

解：因为，，
因为，
所以，解得

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查两直线平行的判定，直线方程的一般式，属于基础题.
根据直线方程，利用平行关系建立方程求解验证可得.

【解答】

解：因为两直线平行，
所以，
解得，
当时，，，满足题意，
当时，，，两直线重合，不符合题意，
故
故选

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的标准方程，是基础题.
直线和坐标轴的交点一个是焦点另一个是顶点，但不能认为与x轴的交点一定是焦点，要注意讨论，结合题目求解即可.

【解答】

解：直线与坐标轴的交点为，，

由题意知，当焦点在x轴上时，，，

所以，故所求椭圆的标准方程为；

当焦点在y轴上时，，，

所以，故所求椭圆的标准方程为
故选

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与圆的位置关系及判定，属中档题．
当最小时，CM和AB垂直，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线l的方程．

【解答】

解：圆C：的圆心为，
当最小时，圆心C到直线l的距离最长，此时，CM和AB垂直，
直线AB的斜率等于，
用点斜式写出直线l的方程为，即，
故选：

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式应用，属于基础题.

由双曲线方程求出，根据双曲线的性质求出实轴长、渐近线方程和双曲线上的点到焦点距离最小值，然后利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线的距离.

【解答】

解：由双曲线C的方程为得：
，
双曲线C的实轴长为，故选项A正确.
双曲线C的渐近线方程为，故选项B正确.
取焦点，则焦点到渐近线的距离，故选项C错误.
双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故选项D正确.

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的加减运算，空间向量的数量积和空间向量的模求解问题，属于基础题．
利用空间向量的加法运算得，两边平方可得，再利用空间向量的模的几何意义得结论.

【解答】

解：因为，且，
所以
又因为，
所以
，
，
所以
故选

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义、性质及几何意义，属于中档题.
设椭圆C的左焦点为，由已知条件推导出，当点P在的延长线上时，得的最大值．

【解答】

解：点F为椭圆C：的右焦点，
，
点P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，
设椭圆C的左焦点为，
，
，
，当点P在的延长线上时取等号，
，
则的最大值为
故选

9.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系及判定，圆与圆的位置关系及判定和点到直线的距离，属于中档题.
利用圆的标准方程得圆的圆心，半径，对A进行判断;
利用直线过圆心，对B进行判断;
利用点到直线的距离得圆心到直线的距离，再利用直线与圆的位置关系，对C进行判断;
利用圆的标准方程得圆的圆心，半径，再利用圆与圆的位置关系，对D进行判断，从而得结论.

【解答】

解：对于A：由可得，
所以的半径为，故选项A不正确；
对于B：直线过圆心，故选项B正确；
对于C：圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；
对于D：由可得，
所以圆心，半径，
因为，
由所以两圆相交，故选项D不正确；
故选：

10.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥曲线与圆的方程的判断，属于中档题．
根据k的值结合圆锥曲线与圆的定义即可判断各选项．

【解答】

解：对于A，当方程表示圆时，，无解，故A错误;
对于B，当时，，，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确;
对于C，当时，，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确;
对于D，当方程表示双曲线时，；
当方程表示椭圆时，，所以焦距均为6，故D正确.
故选

11.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的定义，性质及几何意义，属于中档题.
对于A选项，由椭圆性质知：当点P为椭圆的左右顶点时，点P到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得.

【解答】

解：由椭圆的方程得：
，，
对当点P为椭圆的左顶点A时，点P到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；
对焦距为，B错误；
对由题意得：，①
由椭圆定义得：，
即，②
②-①得：，
的面积为，故C正确
对的周长为，故D错误；
故选：AC

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查曲线与方程相关知识，通过曲线方程得出曲线图像，再经过计算判断命题是否正确，考查分类讨论思想、数形结合思想和运算求解能力，是难题.
分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，最后可对命题进行判断.

【解答】

解：
如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，
 

对于A，将代入，整理得，所以关于原点对称，故A正确；

对于B，将代入，整理得，所以关于y 轴对称，

将代入，整理得，所以关于x轴对称，故B正确；

对于C，如图，曲线上任意两点距离范围为，即两点距离范围为，故C错误；

对于D，曲线C所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，
设它的面积为S，，故D正确.

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题.
先将抛物线方程化为标准方程，判断抛物线焦点坐标所在的轴，然后求解焦点坐标即可．

【解答】

解：抛物线即，
则，，，焦点在y轴正半轴，
故焦点坐标是
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的渐近线以及离心率等几何性质，属于基础题.
由渐进线方程可求得a、b的关系，进而由离心率公式可得结果.

【解答】

解：由题意可得，

则，

所以

故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了关于点，直线对称的直线方程，直线的倾斜角与斜率，直线的斜截式方程，直线的一般式方程的应用.
根据已知及关于点，直线对称的直线方程，得反射光线过，得出直线的斜率，求出直线的斜截式方程.

【解答】

解：关于直线的对称点为，
因为反射光线过，
所以，
所以反射光线所在直线的方程为，即

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了抛物线的概念及标准方程，抛物线的性质及几何意义，属于中档题.
根据已知及抛物线的定义求出标准方程，设出P点坐标，代入求解即可.

【解答】

解：已知点在抛物线上，且为焦点，

由定义知，，
抛物线

设，由题意知，

则，

当时，取得最小值8，
则的最小值为

17.【答案】解：因为圆心C在直线上，
所以可设圆心C的坐标为，半径为r，，
则圆心C到直线的距离
又圆C与y轴正半轴相切，直线被圆C所截得的线段长为，
所以，
解得，，
即圆心C的坐标为，半径为3，
所以圆C的方程为 

【解析】本题考查圆的方程的求解及直线与圆的位置关系，是基础题.
由已知设圆心的坐标为，，半径为r，然后利用已知得a和r的方程组求解即可.
 

18.【答案】解：由题意可知：，，得，
所以点M的轨迹即C的方程为以点、为焦点，
实轴为，虚轴为2的双曲线的右支，即
由知：，，即直线AB的方程为
设，，联立，得，
满足且，，
由弦长公式得：
，
点到直线的距离，
所以 

【解析】本题主要考查点的轨迹方程，双曲线的概念及标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题.
根据双曲线的概念可知曲线C为双曲线，进而根据已知数据可求双曲线的方程；
由知：，，即直线AB的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理、弦长公式及三角形的面积公式求解即可.
 

19.【答案】证明：，，，，，

又因为平面ABC，平面ABC，所以；

，平面，平面，

所以平面 ；

以A为坐标原点，以AC，AB，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

故，，，，，

，，，

设平面的法向量为，则，即，

令可得，

故，，
又与AB平行，故与平面所成角等价于AB与平面所成角，

设与平面所成角为，则，
即与平面所成角的正弦值为

【解析】本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面的夹角，是中档题.
由勾股定理得，又因为平面ABC，所以，由线面垂直的判定即可得证；
建立空间直角坐标系，得出和平面的法向量，又与AB平行，故与平面所成角等价于AB与平面所成角，由空间向量求解即可.
 

20.【答案】解：设，，
由题意得两式相减，得，
即，
所以直线l的斜率
因为点是线段AB的中点，
所以，，
所以，
所以直线l的方程为，即
，，设，则，
所以，
所以
，
所以直线与直线的斜率之积为定值 

【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的定值问题，是中档题.
设，，利用“点差法”即可求出直线l的斜率，从而可得出直线l的方程；
设，则，直接计算直线与直线的斜率之积，得出定值即可.
 

21.【答案】证明：因为，，
所以四边形ACFE为平行四边形，所以
在等腰梯形ABCD中，，
所以，所以
又平面ABCD，，所以
因为，平面BCF，
所以平面
因为，所以平面BCF；
解：依题意，以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以
设


所以    
设为平面MAB的法向量，
由得
取，所以
因为是平面ABC的一个法向量，
设平面MAB与平面ABC所成的锐二面角为，
所以
因为，所以，所以
所以存在使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为 

【解析】本题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.
先证明四边形ACFE为平行四边形，可得，然后证明平面BCF，可证明结论；
以C为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别取出平面MAB和平面ABC的法向量，根据平面MAB与平面ABC所成锐二面角为可求出实数的值.
 

22.【答案】解：由题意可得：，
解得：，，，
故椭圆方程为：
① ：设点，

因为，
，
即，
由题意知直线MN的斜率一定存在，设直线方程为，
联立，消去y并整理得：，
，，
根据，，代入整理可得：
，        
将代入，，
整理得：，解得或，
因为时直线恒过定点，与矛盾，舍去，
所以，直线恒过定点
②由①知，直线MN的方程为：，
点A到直线MN的距离，
联立，消去y并整理得：，
，
，将式代入得，
由面积公式，代入得
令，则，
，
因为所以时面积最大，最大值为

【解析】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线过定点，三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于较难题．
运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
①设点，，由，可得，即，由题意知直线MN的斜率一定存在，设直线方程为，联立，然后运用韦达定理进行后面的求解可得.
②由①知，直线MN的方程为：，点A到直线MN的距离，联立，然后运用韦达定理，弦长公式和三角形的面积公式进行后面的求解可得.