四川省成都市第七中学2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷

成都七中2022～2023学年度高二（上）期期中考试

理科数学

总分: 150分

一  单选题（5分*12）

1.直线 ​的倾斜角为（    ）

A.​ B.             C.​ D.​

2.原命题为 “若 ​, 则​, 且​”, 则其否命题为（    ）

A.若 ​, 则​, 且​

B.若 ​, 则​, 且​

C.若 ​, 则​, 或​

D.若 ​, 则​, 或​

3.双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上, 则​（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

4.曲线 ​（    ）

A.关于 ​轴对称 B.关于 ​轴对称 C.关于原点对称 D.不具有对称性

5.若抛物线 ​的准线方程为​, 则实数​（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

6.已知 ​: 直线​与​平行, 则​是​的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

7.过点 ​且横、纵截距的绝对值相等的直线其条数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

8.若椭圆 ​的动弦​斜率为​, 则弦中点坐标可能是（    ）

A.​ B.         C.​ D.​

9.从平面 ​内、外分别取定点​, 使得直线​与​所成线面角的大小为​, 若平面​内一动点​到直线​的距离等于​, 则​点的轨迹为（    ）

A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆

10.椭圆 ​的离心率为​, 其左、右焦点分别为​, 上顶点为​, 直线​与椭圆另一交点为​, 则​内切圆的半径为（    ）

A.​ B.​              C.​ D.​

11.过点 ​的直线​与曲线​交于​两点, 且满足​, 则直 线​的斜率为（    ）

A.​ B.​ C.​ D.​

12.已知双曲线 ​的右焦点为​, 以坐标原点​为圆心、​为 半径作圆与双曲线​的渐近线在第一象限交于点​, 设​为​的垂心, 恰有​, 则双曲线​的离心率​应满足（    ）

A.​ B.​

C.​ D.​

二 填空题（5分*4）

13. 在空间直角坐标系中, ​轴上与点​和点​距离相等的点的坐标 为___________.

14. 命题 “ ​” 是假命题, 则实数​的取值范围为___________.

15. 圆 ​与圆​的公切线方程为___________.

16. 关于直线 ​, 有下列说法:

①对任意 ​, 直线​不过定点;

②平面内任给一点, 总存在 ​, 使得直线​经过该点;

③当 ​时, 点​到直线​的距离最小值为​;

④对任意 ​, 且有​, 则直线​与​的 交点轨迹为一直线.

其中正确的是___________.

三 解答题部分

17. （10分）已知命题 ​: “方程​表示双曲线”, 命题​: 方程​表 示椭圆”

(1) 若 ​为真命题, 求​的取值范围;

(2) 若 ​为真命题, 求​的取值范围.

18. （12分）已知直线 ​的方程为​, 点​的坐标为​.

(1) 若直线 ​与​关于点​对称, 求​的方程;

(2) 若点 ​与​关于直线​对称, 求​的坐标.

19. （12分）已知曲线 ​的参数方程为​(​为参数).

(1) 求曲线 ​的轨迹方程, 并判断轨迹的形状;

(2) 设 ​为曲线​上的动点, 且有​, 求​的取值范围.

20. （12分）设双曲线 ​的上焦点为​, 过​且平行于​轴的弦其长为 4 .

(1) 求双曲线 ​的标准方程及实轴长;

(2) 直线 ​与双曲线​交于​两点, 且满足​, 求实数​的取值.

21. （12分）设抛物线 ​的准线为​为抛物线上两动点,​为 垂足, 已知​有最小值​, 其中​的坐标为​.

(1) 求抛物线的方程;

(2) 当 ​, 且​时, 是否存在一定点​满足​为定值? 若存在, 求出​的坐标和该定值; 若不存在, 请说明理由.

22. （12分）设椭圆 ​的右焦点为​, 右顶点为​, 上顶点为​. 已知椭圆 的短轴长为​, 且有​.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 设 ​为该椭圆上两动点,​分别为​在​轴上的射影, 而直线​、​的斜率分别为​, 满足​, 其中​为原点. 记​和​的面积之和为​, 求​的最大值.

参考答案及解析

一 CCDC  AACB DBBB

二 13. ​14. ​15 ​  16  ①③

17.

解: 若 ​为真, 有​, 即​; 若​为真, 有

​

即 ​.

(1) 若 ​为真, 则有​, 即​.

(2) 若 ​为真, 则有​, 即​.

18.

解: (1) 设 ​的方程为​, 有​,

即 ​, 或​(舍去), 故​的方程为​.

(2) 设点 ​的坐标为​, 有​

计算可得 ​故​的坐标为​.

19.

解: (1) 消去参数 ​, 有​, 则曲线​的轨 迹方程为​, 轨迹是以​为圆心,​为半径的圆.

(2) 设 ​的坐标为​,

则 ​

​

​

而 ​, 其中​为锐角,

且 ​, 故​的取值范围为​.

20.

解: (1) 双曲线 ​的上焦点​的坐标为​, 取​, 代入​, 得​, 而​, 可知​,

故 ​的标准方程为​, 双曲线​的实轴长也为​

(2) 联立 ​

可得 ​, 且​,

​②

将 ​代入①式, 可知​, 即​

再代入②式, 有 ​,

计算可得 ​, 且满足​

21.

解: (1) 设抛物线焦点为 ​, 有​, 得​, 则 抛物线的方程为​.

(2) 设 ​, 直线​方程为​

联立 ​得​,

且有 ​,

而 ​

​

​

​

为满足题设, 取 ​

可得 ​

即存在定点 ​, 使得​为定值​.

22.

（1）由题设知 ​, 设椭圆半焦距为​, 即​,

又 ​, 可得​, 则椭圆的方程为​;

(2) 联立 ​

可得 ​, 而​的面积为

​, 同理,​的面积为​, 故​,

而 ​

​

令 ​, 则​,

故当 ​, 即​或​时,​取到最大值​.