四川省眉山市仁寿第一中学南校区2022-2023学年高二上学期期中考试数学（文）试题（含答案）

仁寿一中南校区高2021级高二（上）半期考试

    文科数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.

4．考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设命题,则为(　　)

A.        B.                C.          D.

2、若，则下列命题为假命题的是（　　）

A．若，则  B．若，则  C．若，则  D．若ac2bc2，则

3、圆与圆的位置关系是(　　)

A.内切      B.相交               C.外切            D.相离

4、“”是“直线与圆相切”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件         C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

5、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（　　）

A． B．2π C．3π D．4π

6、已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则（　　）

A．若m∥n，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则α∥β          B．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β             

C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n              D．若α∥β，β∥γ，m⊂α，n⊂γ，则m∥n

7、已知点，若点C是圆上的动点，则△ABC面积的最小值为（　　）

A．3 B．2 C． D．

8、《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，⊥平面，⊥，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

9、如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是线段CB1的中点，平面α经过点A，P，C1，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面α截得的截面面积为（　　）

A． B． C．4 D．

10、若点在圆的外部，则实数的取值范围是（　　）

A．        B．   C．       D．

11、与直线切于点,3)，且经过点,1)的圆的方程为（　　）

A． B．

C． D．

12、如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段A1D1，A1B1，B1B，BC，B1D1的中点，连接CD1，B1D1，B1C，DE，BF，CI，则下列正确结论的个数是（　　）

①点E，F，G，H在同一个平面上；

②平面CB1D1∥平面EFD；

③直线DE，BF，CI交于同一点；

④直线BF与直线B1C所成角的余弦值为．

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13、已知命题：“,使”为真命题，则实数的取值范围是             

14、过点A的直线与圆C：相交截得的最短弦长　           　

15、已知圆C：，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为 　           　

16、在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，AC⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝30°，现将△ACD沿AC折起，并连接BD，使得平面ACD⊥平面ABC，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为       

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17、已知为正实数，设:实数满足，实数满足.

(1)若，且为真,求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

18、如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．

（1）求证：EF∥平面BDD1B1；

（2）设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1．

19、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；

（2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论．

20、已知圆过两定点,，且圆心在直线上；

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线交圆于M,N两点，若，求直线的方程．

21、如图，已知在▱ABCD中，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，AD＝，DB＝2，PO＝1，CP与平面ABCD所成角的正切值为 ．

（1）证明：平面PAD⊥平面PBD；

（2）若S是棱PA上靠近点P的三等分点，求直线BS与平面PBD所成角的正弦值．

22、已知圆C：,点P是直线上一动点,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A，B．

（1）若P的坐标为，求过点P的切线方程；

（2）试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；

（3）直线与圆C交于E，F两点求的取值范围（O为坐标原点）．

仁寿一中南校区高2021级高二（上）半期考试

    文科数学答案

1、

【答案】C

2、

【答案】B

3、

【答案】B

4、

【答案】A

5、

【答案】B

6、

【答案】C

7、

【答案】D

8、

【答案】C

9、

【答案】B

10、

【答案】B【解析】圆C：x2+y2﹣2x+4y+k＝0，则圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5﹣k，圆心C（1，﹣2），半径r（k＜5），∵点P（﹣1，2）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+k＝0的外部，∴|PC|＞r，即，解得k＞﹣15，综上所述，实数k的取值范围是（﹣15，5）．故选：B．

11、

【答案】D【解析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），∵直线yx切于点A（，3），∴（a）2+（3﹣b）2＝r2…①，且r…②，又∵点B（3，1）在圆上，∴（3a）2+（1﹣b）2＝r2…③，将①②③联解，得a＝2，b＝2且r＝2，∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．故选：D．

12、

【答案】C

【解析】对于①，由题意知EF和GH相交，且EH和FG平行，所以点E，F，G，H在同一个平面上，命题①正确；对于②，连接FG、EG和A1B，则FG∥A1B，又A1B∥CD1，所以FG∥CD1，又因为FG⊄平面CB1D1，CD1⊂平面CB1D1，所以FG∥平面CB1D1，又EF∥B1D1，同理得EF∥平面CB1D1，且EF∩FG＝F，EF、FG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面CB1D1，因为平面EFG∩平面EFD＝EF，所以平面CB1D1与平面EFD不平行，命题②错误；对于③，连接BD，延长DE、BF交于点M，因为EF∥BD，且EFBD，所以MF＝BF，又因为FI∥BC，且FIBC，所以B、C、F、I四点共面，所以BF与CI相交，设BF与CI的交点为N，则NF＝FB，所以M与N重合，即直线DE，BF，CI交于同一点，命题③正确；对于④，取C1D1的中点K，连接CK，则CK∥BF，则CK与B1C所成的角θ即为直线BF与直线B1C所成的角，连接B1K，设正方体的棱长为2，则B1C＝2，B1K，CK，由余弦定理得cosθ，命题④正确．综上知，①③④正确．故选：C．

13、

【答案】

14、【答案】

15、【答案】

16、

【答案】

【解析】∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC的外接圆圆心为AC中点O1，△ABC的外接圆圆心为AB中点O2，如图所示：过O1作平面ADC的垂线，过O2作平面ABC的垂线，∵平面ADC⊥平面ABC，∴两垂线交于点O2，可得O2为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，由三棱锥D﹣ABC 外接球的表面积为4π，可得外接球的半径r＝1，AB＝2，BC＝1，AC，CD，AD，则三棱锥D﹣ABC的体积为BC×S△ACD．

17、

【解析】（1）为真则有：,为真则有：,为真，则的取值范围是：

（2）是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件；为真有：,为真有：;所以，所以,所以的取值范围是:.

18、

【解析】证明：（1）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，因E，F分别是BC，CM的中点，则有EF∥BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1；

（2）G是DC中点，使得平面GEF∥平面BDD1B1，理由如下：取CD的中点G，连接EG，FG，而E是BC的中点，于是得EG∥BD，而EG⊄平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，从而得EG∥平面BDD1B1，由（1）知EF∥平面BDD1B1，EF∩EG＝E，且EF、EG⊂平面GEF，因此，平面GEF∥平面BDD1B1，所以当G是DC的中点时，平面GEF∥平面BDD1B1．

19、

【解析】证明：（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．

（2）连接DE，EF,DF,设DE交AC于点H，连接HF

因为PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以PA//;

由于底面ABCD为菱形，为的中点，易证，所以，由PA//，可得，

所以存在点为棱上靠近的三等分点，可使PA//平面DEF

20、

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）∵圆心C在直线上，

∴设圆C的圆心为（a， a﹣2），半径为r，

又∵圆C过点,，两点，

则圆C的方程为；

注：用圆的一般式方程，或求AB的中垂线方程也可。

（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝4，

联立，

解得M（4，3），N（4，-1），

此时|MN|＝4，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-4＝k（x﹣4），则kx﹣y﹣4k+4＝0，

∵，

∴圆心到直线的距离为，解得，

则直线l的方程为，

综上，直线l的方程为

21、

【解析】（1）证明：∵PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为直线CP与平面ABCD所成的角，

又∵CP与平面ABCD所成角正切值为，PO＝1，∴CO＝AO＝2，

又∵，，∴AD2+DO2＝AO2，得AD⊥DO，

又∵PO⊥面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，

∵PO∩DO＝O，∴AD⊥面PBD，而AD⊂平面PAD

∴平面PAD⊥平面PBD；

（2）由（1）得，BD⊥BC，PO⊥BC，又BD∩PO＝O，可得BC⊥平面PBD，则BC⊥PB，

BC＝AD＝，PB＝，则，

．

∵S是AP上靠近P的三等分点，由VA﹣PBC＝VP﹣ABC，

设hA为A点到面PBC的距离，hS为S点到面PBC的距离，

∴，得，∴，

又△ABP中，，，，

∴AP2+BP2＝AB2，得∠APB＝90°，∴BS＝．

设直线BS与平面BCP所成角为θ，∴．

故直线BS与平面BCP所成角的正弦值为．

23、【解析】（1）

（2）∵圆C：（x﹣2）2+y2＝1，∴圆心C（2，0），半径r＝1，设P（t，﹣t），由题意知A，B在以PC为直径的圆上，又C（2，0），∴（x﹣t）（x﹣2）+（y+t）（y﹣0）＝0，即x2+y2﹣（t+2）x+ty+2t＝0，又圆C：（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，故直线AB的方程为（2﹣t）x+ty﹣3+2t＝0，即2x﹣3﹣t（x﹣y﹣2）＝0，由，解得x，y，即直线AB恒过定点（，）．

（3）由，得（x﹣2）2+（x+m）2＝1，∴2x2+（2m﹣4）x+3+m2＝0，设E（x1，y1），F（x2，y2），

∴x1+x2＝2﹣m，x1x2，Δ＝（2m﹣4）2﹣4×2×（3+m2）＞0，∴﹣2m＜﹣2，

y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2m（2﹣m）+m2m2+2m，

•x1x2+y1y2m2+2mm2+2m+3＝（m+1）2+2，

∵﹣2m＜﹣2，∴（m+1）2+2∈[2，5+2），

∴•的取值范围为[2，5+2）．