四川省通江中学2022-2023学年高二上学期期中测试文科数学试题（含答案）

这是一份四川省通江中学2022-2023学年高二上学期期中测试文科数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了若直线 l， 已知⊙O1，已知圆 C，已知命题p等内容，欢迎下载使用。

四川省通江中学 2022-2023 学年度高 二 上学期期中测试
数学 (文科) 试题 命题人 吴 昊
一．选择题 (共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)
1 ．命题“ Vx = R ， ()x > 0 ”的否定是 ( )
A ． 3x = R ， ()x < 0 B ． Vx = R ， ()x „0
C ． Vx = R ， ()x > 0 D ． 3x = R ， ()x „0
2 ．设直线 l： x - 3y + b = 0 的倾斜角为α ，则α＝ ( )
A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
3 ．若直线 l：ax ﹣by+ 1＝0 平分圆 C：x2+y2+2x ﹣ 4y+ 1＝0 的周长，则 a+2b 的值为 ( )
A ． ﹣ 1 B ．1 C ．4 D ． ﹣ 4
4 ．已知直线l 、 m 、 n 与平面a 、 b ，下列命题正确的是 ( )
A ．若a / /b ， l 仁 a ， n 仁 b ，则 l / /n B ．若a 」 b ， l 仁 a ，则 l 」 b
C ．若 l 」n ， m 」n 则 l / /m D ．若 l 」a ， l / /b ，则a 」 b
5 ．已知点A (2 ， ﹣ 3) ，B ( ﹣ 3 ， ﹣ 2)．若直线 l：mx+y ﹣ m ﹣ 1＝0 与线段 AB 相交，则实 数 m 的取值范围是 ( )
A ．( ﹣ ∞ ， - ]∪[4 ，+∞) B ．( ﹣ ∞ ， ﹣ 4]∪[ ，+∞)
C ．[ - ，4] D ．[ ﹣ 4 ， ]
6 ．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则 ( )
A ．平面B1EF 」平面 BDD1 B ．平面B1EF 」平面 A1BD

C ．平面 B1EF / / 平面 A1AC D ．平面 B1EF / / 平面 A1C1D
7 ．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， P 为 B1D1 的中点，则直线 PB 与 AD1 所成的角为 ( )
A ． 2(冗) B ． 3(冗) C ． 4(冗) D ． 6(冗)
8 ．已知f (x ) ＝ln (x2+ 1) ，g (x ) ＝ ( ) x ﹣ m ，命题p：对任意 x1e[0 ，3] ，都存在 x2e[ ﹣ 2 ， ﹣ 1] ，使得f (x1) ≥g (x2) ，则命题p 正确的一个充分不必要条件是 ( )
A ．m ≥3 B ．m ≥2 C ．m ≥1 D ．m ≥0

9 ． 已 知 函 数 f(x) =| lgx | ， 若 0 < a < b ， 且 f ( a ) = f ( b ) ， 则 坐 标 原 点 O 与 圆
(x 一 )2 + (y + )2 = 2 的位置关系是 ( )
A ．点 O 在圆内 B ．点 O 在圆上 C ．点 O 在圆外 D ．不能确定
10． 已知⊙O1：x2+y2 ﹣ 2mx+2y＝0 ， ⊙ O2：x2+y2 ﹣ 2x ﹣ 4my+ 1＝0 ，则下列说法中，正确的 有个数有 ( ) 个．
(1) 若 (1 ， ﹣ 1) 在⊙O1 内，则 m ≥0；
(2) 当 m＝1 时， ⊙ O1 与⊙O2共有两条公切线；
(3) 当 m＝2 时， ⊙ O1 与⊙O2 的公共弦所在直线方程为 2x ﹣ 10y+ 1＝0；
(4) 3m∈R ，使得⊙O1 与⊙2 公共弦的斜率为 ．
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
11．已知正三棱锥 P 一 ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，其侧棱长为 2 ，底面边长为 4， 则球 O 的表面积是 ( )

A ． 32 B ． 32 C ． 24 D ． 24
12．已知圆 C：(x ﹣ 1) 2+y2＝1 ，圆 M：(x ﹣ 1 ﹣ 4cosθ) 2+ (y ﹣ 4sin θ) 2＝4 (θ∈R) ，过圆

M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE 、PF，切点分别为 E 、F，则 PE . PF 的最小值
是 ( )
A ． 2 B ．3 C ． D ．
二．填空题 (共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)
13．命题“如果 x + y > 3 ，那么x > 1 且 y > 2 ”的逆否命题是 ．
14．命题“V x∈R，(a ﹣ 2)x2+2(a ﹣ 2)x ﹣ 4<0”为真命题．则实数 a 的取值范围是____________.
15． 已知直线 l 过点A (a ，0) (a＞0) ，且斜率为 1 ，若圆 x2+y2＝4 上恰有 3 个点到 l 的距 离为 1 ，则 a 的值为 ．
16．在棱长为 1 的正方体 A1B1C1D1 ﹣ ABCD 中，M 为底面 ABCD 的中心，Q 是棱 A1D1上一
点，且D1Q = 入D1A1 ，λ∈ [0 ，1] ，N 为线段 AQ 的中点，给出下列命题：
① C，M，N，Q 四点共面；
②三棱锥 A ﹣ DMN 的体积与λ的取值有关；
③当∠QMC＝90°时，λ＝0；

④当λ＝ 时，过 A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的面积为 + ．

其中正确的有 (填写序号)．
三．解答题 (共 6 小题，第 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分，解答题应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
17．已知圆 C 过两点A ( ﹣ 2 ，0) ，B (2 ，4) 且圆心在直线 2x ﹣ y ﹣ 4＝0 上．
(1) 求该圆 C 的方程；
(2) 求过点 P (3 ，1) 的直线被圆 C 截得弦长最短时的直线 l 的方程．






18．已知命题p：3x∈[6 ，20] ，x＜2a ，命题 q ：∀x∈R ，x2+2x ﹣ a＞0．
(1) 若命题p 和命题￢q 有且只有一个为假命题，求实数 a 的取值范围；
(2) 若命题p 和命题 q 至少有一个为真命题，求实数 a 的取值范围．










19. 已知数列{an}的首项 a1＝6 ，且满足 an+1 = 4an ，若bn = 1 ．


(1) 求证{bn }为等比数列；
(2) 在数列{cn}中，c1＝4 ，对任意的 m ，n∈N* ，都有
n 项和 Tn．


n m
c c
n m



= 3 ，求数列{bn •cn}的前

20．已知函数f (x ) ＝sin (2x+ ) +sin2x ﹣ cos2x．
(1) 求函数f (x ) 的最小正周期；
(2) 求函数f (x ) 的单调减区间；
(3) 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，若f (A) ＝ ，c＝3 ， △ABC 的面积 S△ABC＝ 3 ，求 a 的值．







21．如图，直角梯形 ABCD 中，AB / /CD ，AB 」BC ，E 为 AB 上的点，且 AD = AE = DC = 2 ， BE = 1 ，将 ADE 沿DE 折叠到 P 点，使PC = PB ．
(1) 求证：平面 PDE 」平面 ABCD ；
(2) 求四棱锥 P EBCD 的体积．







22． 已知圆 C 过点 A ( 1 ，2) ，B (2 ，1) ，且圆心 C 在直线 y＝ ﹣ x 上．P 是圆 C 外的点， 过点 P 的直线 l 交圆 C 于 M，N 两点．
(1) 求圆 C 的方程；
(2) 若点Р的坐标为 (0 ， ﹣ 3) ，求证：无论 l 的位置如何变化|PM|•|PN|恒为定值；(几 何法不给分)








四川省通江中学 2022-2023 学年度高 二 上学期期中测试
文科数学参考答案
一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1-5：DABAA 6-10： ADACB 11-12:DC
二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13.如果或，那么 14. ﹣2＜a≤2 15.
16.①③
【详细解答】
5．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）．若直线l：mx+y﹣m﹣1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣]∪[4，+∞） B．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）
C．[﹣，4] D．[﹣4，]
【分析】根据已知条件，先求出直线l的定点，再结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：直线l：mx+y﹣m﹣1＝0可变形为m（x﹣1）+y﹣1＝0，
令，解得，即直线l过定点P（1，1），
∵A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），
∴，，

由图象可知，或﹣m≤﹣4，解得或m≥4，
则实数m的取值范围是．
故选：A．
6．在正方体中，，分别为，的中点，则　　
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【分析】对于，易知，平面，从而判断选项正确；对于，由选项及平面平面可判断选项错误；对于，由于与必相交，容易判断选项错误；对于，易知平面平面，而平面与平面有公共点，由此可判断选项错误．
【解答】解：对于，由于，分别为，的中点，则，
又，，，且，平面，
平面，则平面，
又平面，
平面平面，选项正确；
对于，由选项可知，平面平面，而平面平面，在该正方体中，试想运动至时，平面不可能与平面垂直，选项错误；
对于，在平面上，易知与必相交，故平面与平面不平行，选项错误；
对于，易知平面平面，而平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，选项错误．
故选：．

7．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　
A． B． C． D．
【分析】法一：由，得是直线与所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理，求出直线与所成的角．
法二：，从而直线与所成角为，在正△中，是的平分线，由此能求出直线与所成的角．
【解答】解法一：，是直线与所成的角（或所成角的补角），
设正方体的棱长为2，
则，，，
，
，
直线与所成的角为．
解法二：，直线与所成角为，
在正△中，是的平分线，
．
直线与所成的角为．
故选：．


8．已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，命题p：对任意x1∈[0，3]，都存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）≥g（x2），则命题p正确的一个充分不必要条件是（　　）
A．m≥3 B．m≥2 C．m≥1 D．m≥0
【分析】根据已知条件，推得则f（x）min≥g（x）min，求出m的取值范围，再结合充分不必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：若对任意x1∈[0，3]，都存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）≥g（x2），
则f（x）min≥g（x）min，即2﹣m≤0，解得m≥2，
故命题p正确的一个充分不必要条件是m≥3．
故选：A．
9．已知函数，若，且（a）（b），则坐标原点与圆的位置关系是　　
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【分析】画出分段函数的图象，求出关系，进而根据点与圆的位置关系定义，可得答案．
【解答】解：画出的图象如图：
，且（a）（b），

且，

即，则，
故坐标原点在圆外，
故选：C．
10．已知⊙O1：x2+y2﹣2mx+2y＝0，⊙O2：x2+y2﹣2x﹣4my+1＝0，则下列说法中，正确的有个数有（　　）个．
（1）若（1，﹣1）在⊙O1内，则m≥0；
（2）当m＝1时，⊙O1与⊙O2共有两条公切线；
（3）当m＝2时，⊙O1与⊙O2的公共弦所在直线方程为2x﹣10y+1＝0；
（4）∃m∈R，使得⊙O1与⊙2公共弦的斜率为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据点与圆的位置关系判断方法判断（1）；利用两圆的位置关系判断（2）；通过判断圆与圆的位置关系确定⊙O1与⊙O2的公共切线的条数，通过将两圆方程相减，确定两圆的公共弦的方程，判断（3）（4）．
【解答】解：∵⊙O1：x2+y2﹣2mx+2y＝0，⊙O2：x2+y2﹣2x﹣4my+1＝0，
∴⊙O1：（x﹣m）2+（y+1）2＝m2+1，⊙O2：（x﹣1）2+（y﹣2m）2＝4m2，
则O1（m，﹣1），r1＝，O2（1，2m），r2＝2|m|，则m≠0，
由（1，﹣1）在⊙O1内，可得12+（﹣1）2﹣2m﹣2＜0，即m＞0，故（1）错误；
当m＝1时，O1（1，﹣1），r1＝，O2（1，2），r2＝2，
∴|O1O2|∈（2﹣，2+），∴两圆相交，共两条公切线，故（2）正确；
⊙O1﹣⊙O2，得：（﹣2m+2）x+（2+4m）y﹣1＝0，
∴m（﹣2x+4y）+（2x+2y﹣1）＝0，
令，解得，∴定点为（，），故（3）正确；
公共弦所成直线的斜率为，令＝，无解，故（4）错误．
故选：B．
11．已知正三棱锥的四个顶点都在球的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球的表面积是　　
A． B． C． D．
【分析】设为正三角形的中心，则平面，球心在上，在△中利用勾股定理求出的长，在△中利用勾股定理即可求出球的半径的值，从而得到球的表面积．
【解答】解：如图所示：

设为正三角形的中心，连接，
则平面，球心在上，
设球的半径为，连接，，
正三角形的边长为4，，
又，
在△中，，
在△中，，，，
，解得，
球的表面积为，
故选：．
12．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，圆M：（x﹣1﹣4cosθ）2+（y﹣4sinθ）2＝4（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
【分析】首先根据圆的方程求出圆心与半径，判断两圆为相离关系，结合图形，的最小值是的值，利用数量积公式计算求出即可．
【解答】解：已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，圆M：（x﹣1﹣4cosθ）2+（y﹣4sinθ）2＝4（θ∈R），
所以圆C的圆心为（1，0），半径为1，圆M的圆心（1+4cosθ，4sinθ），半径为2，
所以＞2+1，所以两圆相离，
，要使取得最小值，需要和越小，且∠EPF越大才能取到，
设直线CM和圆M交于H，G两点，

则的最小值是，
，则，
所以．
故选：C．
二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
14．命题“x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4<0”为真命题．则实数a的取值范围是____________.
【分析】由题意得∀x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0”为真命题，然后对a﹣2是否为0进行分类讨论可求．
【解答】解：由题意得∀x∈R，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0”为真命题，
故（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，
当a＝2时，﹣4＜0恒成立，
当a≠2时，有，
解得﹣2＜a＜2，
综上，﹣2＜a≤2．
15．已知直线l过点A（a，0）（a＞0），且斜率为1，若圆x2+y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为 　　．
【分析】由题意设直线l的方程，求出圆心到直线的距离，求出圆的半径，由题意可得圆心到直线的距离为圆的一半，可得a的值．
【解答】解：由题意可得直线l的方程为y＝x﹣a，即x﹣y﹣a＝0，可得圆心到直线l的距离d＝，
由圆的方程可得圆的半径r＝2，要使恰有3个点到l的距离为1，则圆心到直线的距离d＝＝1，
所以1＝，而a＞0，
所以a＝，
故答案为：．
16．在棱长为1的正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且＝，λ∈[0，1]，N为线段AQ的中点，给出下列命题：
①C，M，N，Q四点共面；
②三棱锥A﹣DMN的体积与λ的取值有关；
③当∠QMC＝90°时，λ＝0；
④当λ＝时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为．
其中正确的有 　①③　（填写序号）．

【分析】对①，根据相交直线确定唯一平面即可判断；
对②，转化顶点即可判断；
对③，根据三垂线定理即可判断；
对④，当λ＝时，Q为A1D1的中点，过Q作QP∥A1C1，且QP∩D1C1＝P，则易证QP∥AC，从而易得过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ，再计算等腰梯形ACPQ的面积即可判断．
【解答】解：对①，易知M∈AC，又AQ∩NC＝N，
∴C，M，N，Q四点共面，∴①正确；
对②，∵三棱锥A﹣DMN的体积等于三棱锥N﹣ADM的体积，
又易知N到底面的距离等于定值，而△ADM的面积一定，
∴三棱锥A﹣DMN的体积为定值，∴②错误；
对③，当∠QMC＝90°时，根据三垂线定理易知Q在底面的射影为D，
∴Q与D1重合，∴λ＝0．∴C正确；
对④，当λ＝时，Q为A1D1的中点，
过Q作QP∥A1C1，且QP∩D1C1＝P，则易证QP∥AC，
∴易得过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ，
又易知QP＝，AC＝，AQ＝CP＝，
从而可得等腰梯形ACPQ的高为，
∴截面等腰梯形ACPQ的面积为＝，∴④错误．
故答案为：①③．
三．解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分）
17．已知圆C过两点A（﹣2，0），B（2，4）且圆心在直线2x﹣y﹣4＝0上．
（1）求该圆C的方程；
（2）求过点P（3，1）的直线被圆C截得弦长最短时的直线l的方程．
【分析】（1）求出AB的中垂线，根据求出圆心坐标，求出半径即可得解；
（2）直线被圆截得的弦长最小时是垂直于圆的直径所在的直线，求出直线方程．
【解答】（1）解：因为圆C过两点A（﹣2，0），B（2，4），设AB的中点为M，则M（0，2），
因为，所以AB的中垂线方程为y﹣2＝（x﹣0），即y＝2﹣x，
又因为圆心在直线2x﹣y﹣4＝0上，，
解得，圆心C（2，0），r＝4，
故圆的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0；
（2）解：因为直线被圆截得弦长最小时CP⊥l，
由过点P，C的斜率为，
所以直线l的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣3），
故直线l的方程为x+y﹣4＝0．
18．已知命题p：∃x∈[6，20]，x＜2a，命题q：∀x∈R，x2+2x﹣a＞0．
（1）若命题p和命题￢q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．
【分析】（1）分别求出命题p，q为真命题时，a的取值范围，再结合命题p和命题￢q有且只有一个为假命题，即可求解．
（2）根据已知条件，分命题p为真命题，命题q为真命题、命题p为真命题，命题q为假命题、命题p为假命题时，命题q为真命题三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）命题p：∃x∈{x|6≤x≤20}，x＜2a，
则p：a＞3，
命题q：∀x∈R，x2+2x﹣a＞0，则4+4a＜0，解得a＜﹣1，
命题￢q：a≥﹣1，
当命题p为假命题，命题￢q为真命题时，，故﹣1≤a≤3，
当命题p为真命题，命题￢q为假命题时，，舍去，
故实数a的取值范围为{a|﹣1≤a≤3}．
（2）若命题p为真命题，命题q为真命题时，
则a＞3且a＜﹣1，无解，舍去，
若命题p为真命题，命题q为假命题时，a＞3且a≥﹣1，
则a＞3，
若命题p为假命题时，命题q为真命题时，a≤3且a＜﹣1，
则a＜﹣1，
综上所述，实数a的取值范围为{a|a＜﹣1或a＞3}．
19．已知数列{an}的首项a1＝6，且满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，数列{cn}中，c1＝4，对任意的m，n∈N*，都有，求数列{bn•cn}的前n项和Tn．
【分析】（1）将两边同时除以2n+1构造新的等比数列，进一步计算可得数列{an}的通项公式；
（2）通过题意得出{bn}为等比数列，{cn}为等差数列，{bncn}的前n项和Tn由错位相减法即可得出．
【解答】解：（1）∵，
两边同时除以2n+1，得，
即，
又∵首项a1＝6，∴，
故是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴．
（2）由（1）可得，
∴是以4为首项，3为公差的等差数列，
则cn＝4+3（n﹣1）＝3n+1，
故，
，
两式相减得＝2+3⋅（2+22+23+⋯+2n﹣1+2n）﹣（3n+1）⋅2n+1＝，
∴．
20．已知函数f（x）＝sin（2x+）+sin2x﹣cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）＝，c＝3，△ABC的面积S△ABC＝3，求a的值．
【分析】（1）根据三角恒等变换及二倍角公式进行化简即可得f（x），再求周期即可；
（2）根据解析式，求函数的递减区间即可；
（3）先利用三角形的面积公式求得b，再利用余弦定理求得a的值即可．
【解答】解：（1）函数，
可得，
所以f（x）的最小正周期；
（2）令，解得，
所以f（x）的单调递减区间是，；
（2）∵，
∴，又，
可得即，
∵c＝3，△ABC的面积为，
即，
∴b＝4，
＝，
∴a＝．
21．如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积．

【分析】（1）取的中点，中点，连结，，，由已知条件推导出平面，所以，，由此能证明平面平面．
（2）由已知求出直角梯形的面积，再求出高，代入棱锥体积公式求解．
【解答】（1）证明：取的中点，中点，连结，，，
，
又，，
，，
又，，
又，平面，则，
，为中点，，
而与不平行，平面，
平面，
平面平面；
（2）解：由（1）知，平面，
在直角梯形中，过作，
，，，
到的距离，
则，
在中，求得，则为等边三角形，
可得，即．
．

22．已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线y＝﹣x上．P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若点Р的坐标为（0，﹣3），求证：无论l的位置如何变化|PM|•|PN|恒为定值；（几何法不给分）
（3）对于（2）中的定值，使|PM|•|PN|恒为该定值的点Р是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点Р的集合．（几何法不给分）
【分析】（1）联立AB垂直平分线方程与y＝﹣x，求得圆心和半径即可；
（2）设过P点的直线方程，与圆C方程联立，按照两点距离公式计算即可．
【解答】解：（1）A，B两点的中点为（，），斜率为kAB＝＝﹣1，
AB垂直平分线的斜率为l，垂直平分线的方程为：y＝x，
联立方程，解得x＝0，y＝0，
所以圆心为（0，0），半径为r＝＝，圆C的方程为：x2+y2＝5．
（2）如图：
若MN斜率不存在，则|PN|＝3﹣，|PM|＝3+，|PM||PN|＝4；
若MN斜率存在，设为k，则MN直线方程为y＝kx﹣3，
联立方程，消去y整理得（1+k2）x2﹣6kx+4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1•x2＝，
|PM|＝＝，|PN|＝，
|PM|•|PN|＝（1+k2）|x1•x2|＝4，
即不论MN的斜率是否存在|PM|•|PN|＝4，|PM|•|PN|恒为定值．
（3）设P（m，n），则设过P的直线方程为y＝k（x﹣m）+n，
由，∴（1+k2）x2+（2nk﹣2k2m）x+m2+n2﹣2mnk﹣5＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1•x2＝，
∴|PM|＝＝，|PN|＝，
∴×＝（1+k2）|x1﹣m||x2﹣m|＝（1+k2）|x1x2﹣m（x1+x2）+m2|
＝（1+k2）|﹣m×+m2|＝|m2+n2﹣5|＝4，
∴m2+n2＝9，m2+n2＝1，
∴满足条件的点Р的集合{（x，y）|x2+y2＝9或x2+y2＝1}．