河北省示范性高中2023届高三（上）第一次调研数学试卷

这是一份河北省示范性高中2023届高三（上）第一次调研数学试卷，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省示范性高中2023届高三（上）第一次调研试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合，则集合A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，1，2}
C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}

2．（5分）若复数（i为虚数单位，a，b∈R且b≠0）为纯虚数，则＝（　　）
A． B． C． D．

3．（5分）“λ＝3”是“直线（2λ﹣3）x+（λ+1）y+3＝0与直线（λ+1）x﹣λy+3＝0互相垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且S3＝S19，则S21＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）关于二项式（1+ax+x2）（1﹣x）8，若展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1


6．（5分）已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．



7．（5分）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的右焦点为F（3，0），过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦AB中点坐标为（2，﹣1），则椭圆的面积为（　　）
A． B． C． D．

8．（5分）已知f（x）＝[lnx+ln（2π﹣x）]•sinx，则下列结论不正确的是（　　）
A．f（x+π）是奇函数
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）有3个零点
D．∀x∈（0，2π），|f（x）|≤2lnπ


二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+y﹣1＝0上，则（　　）
A． B．
C．lna+lnb≥﹣2ln2 D．

（多选）10．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．若样本数据x1，x2，…，x20的方差为4，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x20+1的标准差为4
B．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X＞3）＝0.2，则P（1＜X≤3）＝0.3
C．若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
D．若事件A，B满足P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），则有P（A|B）＝P（A）


（多选）11．（5分）已知函数，其图象相邻对称中心间的距离为，直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）在区间上单调递增
C．点是函数f（x）图象的一个对称中心
D．将函数f（x）图象上所有点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向右平移个单位长度，可得到正弦函数g（x）＝sinx的图象

（多选）12．（5分）意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个范例．记斐波那契数列为{an}，其前n项和为Sn，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．S13＝29a8
C．
D．Sn＝an+2﹣1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.
13．（5分）已知＝（2，﹣1），||＝2，且（+）•＝10，则＜，＞＝　 　．

14．（5分）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过F的直线l交抛物线为A、B两点，点P为准线与x轴的交点，则△PAB面积的最小值为 　 　．
15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，AC∩BD＝O，若，则三棱锥P﹣COD的外接球表面积为 　 　．

16．（5分）进人冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为p（0＜p＜1），且每人是否感染这种病毒相互独立．记100个人中恰有5人感染病毒的概率是f（p），则f（p）的最大值点p0的值为 　 　；为确保校园安全，某校组织该校的6000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是随机地按k（1＜k≤10）人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当p取p0时，检测次数最少时k的值为 　 　．
参考数据：0.952≈0.903，0.953≈0.857，0.954≈0.815，0.955≈0.774，0.956≈0.7350.957≈0.698，0.958≈0.663，0.959≈0.630，0.9510≈0.599

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝6，an+1＝2（Sn+1）．
（1）证明：{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．







18．（12分）如图1，一副标准的三角板中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝60°，DE＝EF，BC＝DF将两三角板的边BC与DF重合，拼成一个空间图形E﹣ABC，且三角板EBC可绕边BC旋转．设M是AC的中点，N是BC的中点．

（1）如图2，若EM＝AB，求证：平面ABC⊥平面EBC；
（2）如图3，若，求平面EAC与平面EBC所成锐二面角的余弦值．








19．（12分）如图，在△ABC中，D为AC的中点，且∠ABC+∠DBC＝π．
（1）证明：BA＝2BD；
（2）若AC＝3BC＝3，求sin∠BDC．





20．（12分）甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为p（0＜p＜1）．
（1）若比赛采用五局三胜制，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，且p＝0.5，则比赛结束时，求甲获胜局数X的期望；
（3）结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响．











21．（12分）已知圆A：x2+y2+6x+5＝0，直线l（与x轴不重合）过点B（3，0）交圆A于C、D两点，过点B作直线AC的平行线交直线DA于点E．
（1）证明：||EB|﹣|EA||为定值，并求点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹方程为C1，直线l与曲线C1交于M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数λ，使得|MN|＝λ|PB|，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．






22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若x＞0时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）证明：当x＞1时，ex（1+lnx）＞ex2．

2022-2023学年河北省示范性高中高三（上）第一次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合，则集合A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，1，2}
C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x∈Z|﹣2≤x≤2}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于容易题．
2．（5分）若复数（i为虚数单位，a，b∈R且b≠0）为纯虚数，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：＝＝i为纯虚数，
则，即4a+3b＝0，
故．
故选：D．
【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3．（5分）“λ＝3”是“直线（2λ﹣3）x+（λ+1）y+3＝0与直线（λ+1）x﹣λy+3＝0互相垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵直线（2λ﹣3）x+（λ+1）y+3＝0与直线（λ+1）x﹣λy+3＝0互相垂直，
∴（2λ﹣3）（λ+1）﹣λ（λ+1）＝0，解得λ＝3或﹣1，
∴“λ＝3”是“λ＝3或﹣1”的充分不必要条件，
故“λ＝3”是“直线（2λ﹣3）x+（λ+1）y+3＝0与直线（λ+1）x﹣λy+3＝0互相垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
4．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且S3＝S19，则S21＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知条件，推出a4+a19＝0，再结合等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：∵S3＝S19，
∴S19﹣S3＝a4+a5+•••+a19＝8（a4+a19）＝0，
∴a4+a19＝0，
∴S21＝a1+a2+a3+（a4+a5+•••+a19）+a20+a21＝a1+a2+a3+a20+a21＝a1+2（a4+a19）＝a1＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
5．（5分）关于二项式（1+ax+x2）（1﹣x）8，若展开式中含x2的项的系数为21，则a＝（　　）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】根据排列组合原理，由已知利用x2的系数建立方程，进而即可求解a的值．
【解答】解：根据排列组合原理，x2的系数为1××（﹣1）2+a××（﹣1）+1×＝21，
解得a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了排列组合原理及二项式定理，是比较常见的题型，属于基础题．
6．（5分）已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，根据圆锥的侧面积和体积公式结合基本不等式可求得最大时l与r的值，再根据线面角的定义可得结果．
【解答】解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，
则，，
于是（当且仅当，即时取等号），
此时，
由线面角的定义得，所求的母线与底面所成角的正弦值为，
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积和体积的计算公式、基本不等式的应用以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
7．（5分）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的右焦点为F（3，0），过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦AB中点坐标为（2，﹣1），则椭圆的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（2，﹣1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程，可求椭圆的面积．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则
+＝1，+＝1，
两式相减可得，+＝0，
∵线段AB的中点坐标为（2，﹣1），
∴＝2×，
∵直线的斜率为＝1，
∴2×＝1，
∵右焦点为F（3，0），
∴a2﹣b2＝9，
∴a2＝18，b2＝9，
∴椭圆方程为：+＝1，
∴椭圆的面积为πab＝9π．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查椭圆的面积的求法，考查学生的计算能力，属中档题．
8．（5分）已知f（x）＝[lnx+ln（2π﹣x）]•sinx，则下列结论不正确的是（　　）
A．f（x+π）是奇函数
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）有3个零点
D．∀x∈（0，2π），|f（x）|≤2lnπ
【分析】对于A，先求出f（x+π），然后根据函数奇偶性的定义判断，对于B，利用导数判断，对于C，由f（x）＝0求解其零点，对于D，利用绝对值不等式的性质分析判断．
【解答】解：显然，f（x）的定义域为（0，2π），f（x+π）的定义域为（﹣π，π），
且f（π+x）＝[ln（π+x）+ln（π﹣x）]⋅sin（π+x）＝﹣[ln（π+x）+ln（π﹣x）]⋅sinx
记g（x）＝f（π+x），
则有g（﹣x）＝﹣[ln（π﹣x）+ln（π+x）]⋅sin（﹣x）＝[ln（π﹣x）+ln（π+x）]⋅sinx＝﹣g（x），
故f（x+π）是奇函数，因此选项A正确；
令f（x）＝0，则有[lnx+ln（2π﹣x）]⋅sinx＝0，lnx+ln（2π﹣x）＝0或sinx＝0，
解得x（2π﹣x）＝1或x＝π，即，或x＝π，故f（x）有3个零点．因此选项C正确．
由于|f（x）|＝[[lnx+ln（2π﹣x）]|⋅|sinx|⩽|[lnx+ln（2π﹣x）]|＝|ln（﹣x2+2πx）|⩽2lnπ，故选项D正确．
因此，选项B不正确；
事实上，，
且，故存在，使得f′（δ）＝0，
从而当0＜x＜δ时，f′（x）＜0，故f（x）在区间（0，δ）上单调递减．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和绝对值不等式的性质，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+y﹣1＝0上，则（　　）
A． B．
C．lna+lnb≥﹣2ln2 D．
【分析】由题意得a+b＝1，（a＞0，b＞0），然后结合基本不等式及不等式的性质可求．
【解答】解：由题意得a+b＝1，（a＞0，b＞0），
所以＝＝3+，
当且仅当b＝a且a+b＝1，即a＝，b＝2时取等号，A正确；
由（）2得a2+b2，当且仅当a＝b＝时取等号，B错误；
lna+lnb＝ln（ab）＝﹣2ln2，当且仅当a＝b＝时取等号，C错误；
由a+b＝1且a＞0，b＞0得0＜a＜1，a﹣b＝2a﹣1∈（﹣1，1），
所以2a﹣b＝22a﹣1，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的应用，属于中档题．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．若样本数据x1，x2，…，x20的方差为4，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x20+1的标准差为4
B．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X＞3）＝0.2，则P（1＜X≤3）＝0.3
C．若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
D．若事件A，B满足P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），则有P（A|B）＝P（A）
【分析】直接利用均值和方差的关系，正态分布，相关系数的关系，条件概率的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：若样本数据x1，x2，…，x20的方差为4，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x20+1的方差为22×4＝16，标准差为4，故A正确；
对于B：已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X＞3）＝0.2，则P（1＜X≤3）＝，故B正确；
对于C：若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对于D：若事件A，B满足P（A）＞0，P（B）＞0，对于事件B在事件A发生的条件下，事件B发生的概率满足：P（B|A）＝P（B），则P（A|B）＝P（A）一定成立，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：均值和方差的关系，正态分布，相关系数的关系，条件概率的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数，其图象相邻对称中心间的距离为，直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）在区间上单调递增
C．点是函数f（x）图象的一个对称中心
D．将函数f（x）图象上所有点横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向右平移个单位长度，可得到正弦函数g（x）＝sinx的图象
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数，
其图象相邻对称中心间的距离为×＝，∴ω＝3．
∵直线是其中一条对称轴，∴3×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，
∴φ＝﹣，f（x）＝2sin（3x﹣），故f（x）的最小正周期为，故A错误；
在区间上，3x﹣∈[，]，函数f（x）单调递增，故B正确；
令x＝，求得f（x）＝0，可得点是函数f（x）图象的一个对称中心，故C正确；
将函数f（x）图象上所有点横坐标伸长为原来的3倍，可得y＝2sin（x﹣）的图象，
纵坐标缩短为原来的一半，可得y＝sin（x﹣）的图象，
再把得到的图象向右平移个单位长度，可得到y＝2sin（x﹣）＝﹣2cosx的图象，
故D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
（多选）12．（5分）意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个范例．记斐波那契数列为{an}，其前n项和为Sn，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．S13＝29a8
C．
D．Sn＝an+2﹣1
【分析】由斐波那契数列的定义推得a2+a4+a6+...+a2020＝a2021﹣1，可判断A；由斐波那契数列的定义推得Sn＝an+2﹣1，可判断B、D；
由斐波那契数列的通项公式推得ak+2ak﹣（ak+1）2＝（﹣1）k+1，计算求和，可判断C．
【解答】解：对于A，a2+a4+a6+...+a2020＝（a1+a2）+a4+a6+...+a2020﹣a1＝a3+a4+a6+...+a2020﹣a1
＝a5+a6+...+a2020﹣a1＝a7+a8+...+a2020﹣a1＝...＝a2021﹣1，故A错误；
由Sn＝a1+a2+a3+a4+...+an＝（a2+a1）+a2+a3+a4+...+an﹣a2＝a3+a2+a3+a4+...+an﹣1＝a4+a3+a4+...+an﹣1＝a5+a4+...+an﹣1＝...＝an+2﹣1，
可得选项D正确，又S13＝a15﹣1＝610﹣1＝609，29a8＝29×21＝609，所以S13＝29a8，故B正确；
对于C，由ak+2ak﹣（ak+1）2＝[（）k+2﹣（）k+2]•[（）k﹣（）k]﹣[（）k+1﹣（）k+1]2＝（﹣1）k+1，
所以（ak+2ak﹣ak+12）＝1﹣1+1﹣1+...+1﹣1＝0，故C正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查斐波那契数列的运用，以及数列的求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.
13．（5分）已知＝（2，﹣1），||＝2，且（+）•＝10，则＜，＞＝　　．
【分析】根据已知条件，求出，再结合向量的数量积公式，求出cos＝，再根据向量角度的取值范围，即可求解．
【解答】解：∵＝（2，﹣1），
∴，
∵（+）•＝10，
∴，即＝10，解得cos＝，
∵∈[0，π]，
∴＜，＞＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过F的直线l交抛物线为A、B两点，点P为准线与x轴的交点，则△PAB面积的最小值为 　1　．
【分析】设，代人y2＝2x，得y2﹣2my﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＞0，y2＜0，y1y2＝﹣1，代入三角形面积公式即可求解．
【解答】解：设，代人y2＝2x，得y2﹣2my﹣1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＞0，y2＜0，∴y1y2＝﹣1，
∴，
当且仅当y1＝﹣y2＝1时取等，此时AB⊥x轴．
故答案为：1．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，AC∩BD＝O，若，则三棱锥P﹣COD的外接球表面积为 　16π　．

【分析】根据已知条件证明三角形POC和PDC为直角三角形，从而三棱锥P﹣COD的外接球的球心为PC中点，计算PC的长度可得外接球直径，代入球的表面积公式计算可得结果．
【解答】解：∵PD⊥面ABCD，AD⊂面ABCD，∴PD⊥AD，
又，∴AD＝2，
因为底面ABCD为菱形，所以，且OD⊥OC，
又PD⊥底面ABCD，CO⊂平面ABCD，
所以PD⊥CO，
又PD∩DO＝D，
所以CO⊥平面PDO，
PO⊂平面PDO，故CO⊥PO，即三角形POC为直角三角形，
又PD⊥面ABCD，DC⊂平面ABCD，
所以PD⊥DC，即三角形PDC为直角三角形，
所以三棱锥P﹣COD的外接球的球心为PC中点，
又|PC|2＝PD2+OD2+OC2＝16，
所以S＝4πR2＝π|PC|2＝16π，
故答案为：16π．
【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积计算，属于中档题．
16．（5分）进人冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为p（0＜p＜1），且每人是否感染这种病毒相互独立．记100个人中恰有5人感染病毒的概率是f（p），则f（p）的最大值点p0的值为 　　；为确保校园安全，某校组织该校的6000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是随机地按k（1＜k≤10）人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当p取p0时，检测次数最少时k的值为 　5　．
参考数据：0.952≈0.903，0.953≈0.857，0.954≈0.815，0.955≈0.774，0.956≈0.7350.957≈0.698，0.958≈0.663，0.959≈0.630，0.9510≈0.599
【分析】，求导判断单调性即可求出对应最大值时p0的值；列出每个人需要检验次数的分布列，求出对应的期望，当期望最小时，每个人需要做的检测次数最少．
【解答】解：，
＝，
当p∈（0，），f′（p）＞0，f（p）单调递增；
当p，f′（p）＜0，f（p）单调递减；
所以f（p）的最大值点是p0＝；
设每个人需要检测的次数为X，若混合为阴性，则X＝，若混合为阳性，则X＝，
P（X＝1）＝0.95k，P（X＝1+）＝1﹣0.95k，
E（X）＝1+﹣0.95k，
当k＝2时，E（X）＝0.598；
当k＝3时，E（X）＝0.476；
当k＝4时，E（X）＝0.435；
当k＝5时，E（X）＝0.426；
当k＝6时，E（X）＝0.432；
当k＝7时，E（X）＝0.445；
当k＝8时，E（X）＝0.462；
当k＝9时，E（X）＝0.481；
当k＝10时，E（X）＝0.501；
所以k＝5时，E（X）最小，每个人需要做的次数最少，
故答案为：；5．
【点评】本题考查独立事件乘法原理，属于中档题目．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝6，an+1＝2（Sn+1）．
（1）证明：{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
【分析】（1）由n＝1求得首项，再将已知递推式中的n换为n﹣1，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）证明：由a2＝6，an+1＝2（Sn+1），
可得a2＝2（S1+1）＝2（a1+1）＝6，解得a1＝2．
将an+1＝2（Sn+1）①中的n换为n﹣1（n≥2），可得an＝2（Sn﹣1+1）②，
①﹣②可得an+1﹣an＝2（Sn﹣Sn﹣1）＝2an，
即an+1＝3an，因为a2＝3a1，
所以{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则{an}的通项公式为an＝2×3n﹣1；
（2）nan＝2n•3n﹣1，
则前n项和Tn＝2（1•30+2•31+3•32+...+n•3n﹣1），
3Tn＝2（1•3+2•32+3•33+...+n•3n），
两式相减可得﹣2Tn＝2（1+31+32+...+•3n﹣1﹣n•3n）＝2（﹣n•3n），
化简可得Tn＝．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
18．（12分）如图1，一副标准的三角板中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝60°，DE＝EF，BC＝DF将两三角板的边BC与DF重合，拼成一个空间图形E﹣ABC，且三角板EBC可绕边BC旋转．设M是AC的中点，N是BC的中点．

（1）如图2，若EM＝AB，求证：平面ABC⊥平面EBC；
（2）如图3，若，求平面EAC与平面EBC所成锐二面角的余弦值．
【分析】（1）根据勾股定理证明EN⊥MN，根据等腰三角形性质证明EN⊥BC即可证得平面ABC⊥平面EBC；
（2）建立空间直角坐标系，算出两个平面法向量，根据向量夹角公式即可算出二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）设AB＝，则BC＝，DE＝EF＝，EN＝，MN＝，
EM＝AB＝，
所以，
所以EN⊥MN，
因为DE＝EF，N为BC中点，
所以EN⊥BC，
所以EN⊥面ABC，
因EN⊆面EBC，
所以平面ABC⊥平面EBC；
（2）解：以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作垂直面ABC的线为z轴，建立如下图所示空间直角坐标系：

标出各个点坐标：B（0，0，0），C（0，，0），A（，0，0），
因为BC⊥EN，BC⊥MN，
所以BC⊥面EMN，
即面EMN∥面xOz，
过E点作MN的垂线，交NM延长线于G点，如下图：

根据余弦定理可以算出＝，
ME＝，
所以∠EMG＝60°，GM＝，GE＝，
所以E（），
设面BCE的法向量为：，
，，
，
不妨设x＝1，则z＝﹣，
法向量；
设面ACE的法向量为：，
，，
，
不妨设t＝1，则s＝，r＝﹣1，
法向量，
设平面EAC与平面EBC所成锐二面角为θ，
所以cosθ＝＝＝，
平面EAC与平面EBC所成锐二面角的余弦值为：．
【点评】本题考查空间二面角的计算问题，属于中档题目．
19．（12分）如图，在△ABC中，D为AC的中点，且∠ABC+∠DBC＝π．
（1）证明：BA＝2BD；
（2）若AC＝3BC＝3，求sin∠BDC．

【分析】（1）由已知结合三角形的面积公式即可证明；
（2）由已知结合余弦定理可求出BD及cos∠BCD，然后结合正弦定理可求．
【解答】（1）证明：△ABC中，D为AC的中点，
所以S△ABC＝2S△BDC，
则＝BD•BCsin∠DBC，
所以AB•sin∠ABC＝2BD•sin∠DBC，
又因为∠ABC+∠DBC＝π，
所以∠ABC＝∠DBC，
则BA＝2BD；
（2）设BD＝x，则AB＝2x，
因为AC＝3BC＝3，
△BCD中，由余弦定理得x2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD，
则，
△ABC中，由余弦定理得4x2＝BC2+AC2﹣2BC•ACcos∠BCA，
即4x2＝10﹣6cos∠BCD，
解得cos∠BCD＝，BD＝x＝，
又因为＝，
即＝，
所以sin∠BDC＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
20．（12分）甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为p（0＜p＜1）．
（1）若比赛采用五局三胜制，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，且p＝0.5，则比赛结束时，求甲获胜局数X的期望；
（3）结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响．
【分析】（1）记A表示甲在第一局失利，B表示甲获得了比赛胜利，根据条件概率的计算公式求出P（B|A）＝即可；
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；
（3）利用作差法进行比较求解即可．
【解答】解：（1）记A表示甲在第一局失利，B表示甲获得了比赛胜利，则
P（B|A）＝＝＝＝p3（4﹣3p），
即甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率为p3（4﹣3p）；
（2）X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝（1﹣p）2＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝p2+（1﹣p）p2＝，
故E（X）＝0×+1×+2×＝；
（3）在五局三胜制中甲获胜的概率为：
p1＝p3+p2（1﹣p）p+p2（1﹣p）2p＝p3（6p2﹣15p+10），
在三局两胜制中甲获胜的概率为：
p2＝p2+p2（1﹣p）＝3p2﹣2p3，
于是p1﹣p2＝p3（6p2﹣15p+10）﹣（3p2﹣2p3）＝3p2（2p3﹣5p2+4p﹣1）＝3p2（p﹣1）2 （2p﹣1），
当p＞时，采用5局3胜制对甲更有利，p＜时，采用3局2胜制对甲更有利，当p＝时，两种赛制对甲的影响一样．
【点评】本题考查条件概率、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望等，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于难题．
21．（12分）已知圆A：x2+y2+6x+5＝0，直线l（与x轴不重合）过点B（3，0）交圆A于C、D两点，过点B作直线AC的平行线交直线DA于点E．
（1）证明：||EB|﹣|EA||为定值，并求点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹方程为C1，直线l与曲线C1交于M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数λ，使得|MN|＝λ|PB|，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用△DAC∽△DEB得出||EB|﹣|EA||等于定值，判断点E的轨迹是双曲线，利用双曲线的定义求出轨迹方程；
（2）根据题意设出直线l的方程，与双曲线方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|MN|，以及MN的中点Q，写出直线PQ的方程，求出|BP|、|MN|，从而求出λ的值．
【解答】解：（1）圆A：x2+y2+6x+5＝0可化为（x+3）2+y2＝4，点A（﹣3，0），
因为EB∥AC，所以△DAC∽△DEB，
因为AD＝AC，所以DE＝EB，所以||EB|﹣|EA||＝||DE|﹣|EA||＝|DA|＝2，
所以点E在以A、B为焦点，实轴为2的双曲线上，
设双曲线的方程为x2﹣＝1，所以c2＝12+b2＝9，解得b2＝8，
所以点E的轨迹方程为x2﹣＝1；
（2）因为点E的轨迹方程为C1：x2﹣＝1，设直线l的方程为y＝k（x﹣3），
由，消去y，整理得（8﹣k2）x2+6k2x﹣9k2﹣8＝0，
所以x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣6）＝；
|MN|＝|x1﹣x2|＝•＝16，
MN的中点为Q（，），
所以直线PQ的方程为x＝﹣k（y+）﹣，
令y＝0，得xp＝，所以|BP|＝3﹣xP＝，
所以|MN|＝16•，所以λ＝＝＝，
即存在实常数λ＝，使得|MN|＝λ|PB|．

【点评】本题考查了圆锥曲线的定义与应用问题，也考查了运算求解能力和逻辑推理能力，是难题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若x＞0时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）证明：当x＞1时，ex（1+lnx）＞ex2．
【分析】（1）求导得f′（x）＝ex﹣1﹣2ax，令h（x）＝ex﹣1﹣2ax，x＞0，则h′（x）＝ex﹣2a，分两种情况：①当2a≤1时，②当2a＞1时，分析h′（x）的符号，h（x）的单调性，进而可得f（x）的单调性，分析f（x）min＞0时，a的取值范围．
（2）由（1）可知，当a＝时，x＞0时，ex＞1+x+x2，则ex﹣1≤x+（x﹣1）2＝，要证ex（1+lnx）＞ex2，即证ex﹣1＞，只需证x∈（1，+∞）时，lnx＞成立，进而可得答案．
【解答】解：（1）f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2，x＞0，
f′（x）＝ex﹣1﹣2ax，
令h（x）＝ex﹣1﹣2ax，x＞0，
h′（x）＝ex﹣2a，
①当2a≤1时，在[0，+∞）上，h′（x）≥0，h（x）单调递增，
所以h（x）≥h（0），
即f′（x）≥f′（0）＝0，
所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，
所以f（x）≥f（0）＝0，
所以a≤满足条件，
②当2a＞1时，h′（x）＝0，
解得x＝lna，
所以在[0，ln2a]上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以在（0，ln2a）上，有h（x）＜h（0）＝0，即f′（x）＜f′（0）＝0，
所以f（x）在（0，ln2a）上单调递减，
所以f（x）＜f（0）＝0，不合题意，
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，]．
（2）证明：由（1）可知，当a＝时，x＞0时，ex＞1+x+x2，
所以ex﹣1≤x+（x﹣1）2＝，
又ex（1+lnx）＞ex2，即ex﹣1＞即可，
即证x∈（1，+∞）时，lnx＞成立，
令t＝x2，则t∈（1，+∞），于是lnx＞⇔lnt＞，
设h（t）＝lnt﹣，
则h′（t）＝＞0，
所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（t）＞h（1）＝0，
即lnt＞恒成立，
所以ex﹣1＞，
所以当x∈（1，+∞）时，有ex（1+lnx）＞ex2成立．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
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