精品解析：宁夏回族自治区银川一中2023届高三上学期第一次月考数学（理）试题

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银川一中2023届高三年级第一次月考理 科 数 学命题教师：魏剑注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（    ）A. {2，4} B. {2，4，6} C. {2，4，6，8} D. {1，2，3，4，6，8}【答案】D【解析】【分析】利用集合的并集运算求解.【详解】因为，所以，所以，故A，B，C错误.故选：D.2. 设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，为虚数单位，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到复数，结合复数的运算法则，即可求解.【详解】由题意，复数，因为复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，可得，所以.故选：B.3. 已知，，则是的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】当时，，则，即，取，满足，而有，即有pq，所以是的必要不充分条件.故选：B4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若，，，估计的值约为（    ）A. 0.2481 B. 0.3471 C. 0.4582 D. 0.7345【答案】C【解析】【分析】利用对数式与指数式的互化及换底公式即可求出的近似值．【详解】∵，，所以故选：．5. 记为等差数列的前n项和.若，，则（    ）A. -54 B. -18 C. 18 D. 36【答案】C【解析】【分析】根据题意求出公差，再根据等差数列的前项和公式即可得解.【详解】解：设公差为，则，解得，所以，所以.故选：C.6. 相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为，输出的的值为.A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】执行循环结构的程序框图，根据判断条件，逐次循环计算，即可得到结果．【详解】由题意，执行循环结构的程序框图，可得：第1次循环：，不满足判断条件；第2次循环：，不满足判断条件；第3次循环：，满足判断条件，输出结果，故选B．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中模拟执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7. 观察下面数阵，                                                   ．．．．．．则该数阵中第行，从左往右数第个数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比数列求和公式可求得前六行数字个数之和，由此可确定所求数字为自起的第个奇数，结合等差数列通项公式可求得结果.【详解】由数阵特征知：每行数字的个数构成以为首项，为公比的等比数列，则前六行数字个数之和为：，则第行，从左往右数的第个数为自起的第个奇数，所求数字为：.故选：C.8. 已知函数，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是（    ）A. (1，＋∞） B.  C.  D. (－∞，1)【答案】B【解析】【分析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性可解不等式.【详解】的定义域满足，由，所以在上恒成立. 所以的定义域为则 所以，即为奇函数.设，由上可知为奇函数.当时，，均为增函数，则在上为增函数.所以在上为增函数.又为奇函数，则在上为增函数，且 所以在上为增函数.又在上为增函数，在上为减函数所以在上为增函数，故在上为增函数由不等式，即所以，则故选：B9. 已知，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式及其应用，结合特例，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，实数，且满足，对于A中，由，可得，当且仅当等号成立，所以A错误；对于B中，由，可得，所以，所以，当且仅当等号成立，所以B正确；对于C中，由，当且仅当时，即时，等号成立，又由，所以C错误；对于D中，例如：时，可得，所以D错误.故选：B.10. 实数中值最大的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用可得到，利用可得到，令，利用导数可得在上单调递减，则，通过化简即可求得答案【详解】解：由在上单调递增，则,由在上单调递增，则,令，则，所以在上单调递减，，即，所以，即，所以实数中值最大的是，故选：C11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．已知数列满足，且，若，数列的前n项和为，则（    ）A. 4950 B. 4953 C. 4956 D. 4959【答案】D【解析】【分析】先利用累加法求出，得到当时,；当时，；当时,；当时, .直接求和.【详解】由，且，根据累加法可得：，所以.所以.当时,；当时，；当时,；当时, .因此.故选：D.12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数图象与直线有且仅有2个不同的交点；③若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为其中正确的有（    ）A ①④ B. ①③ C. ②④ D. ①②【答案】A【解析】【分析】作出函数的图象，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④．【详解】解：当时，；若，则，即，若，则，即，作出函数在时的部分图象，如图所示，对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确；对于②，可知函数在时的图象与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：（1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8；（2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为-4，故③错误；对于④，函数在，上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前7项和为，故④正确．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．共20分）13. 若x，y满足约束条件则的最大值是________．【答案】8【解析】【分析】画出可行域，利用几何意义求解的最大值.【详解】画出可行域，如图阴影部分所示，显然当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.故答案为：814. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．【答案】C【解析】【分析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】分别获奖的说对人数如下表：获奖作品ABCD甲对错错错乙错错对错丙对错对错丁对错错对说对人数3021 故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.15. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则______．【答案】【解析】【分析】由为偶函数可知关于对称，结合奇函数性质可推导得到是周期为的周期函数，可将所求函数值化为，由可求得结果.【详解】为偶函数，关于对称，即；为上的奇函数，，，则，，，是周期的周期函数，，又，，.故答案为：.16. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令，则___________，___________.【答案】    ①. 14    ②. 【解析】【分析】依题意可得，即可得到，从而得到是以为首项，3为公比的等比数列，求出通项公式即可得解；【详解】解：设第次构造后得到的数列为1，，，…，，2.则，则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，，2.则，∴，∴，又∵，∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴，，.故答案为：；三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：（共60分）17. 设命题p：，命题q：.（1）当a＝1时，若为假命题且q是真命题，则求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）解不等式求得命题，根据的真假性求得的取值范围.（2）根据命题的否定、必要不充分条件的知识列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】，，解得.，解得，当时，，由于假真，所以.【小问2详解】¬p是¬q的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，所以.18. 已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）若函数，且在区间上为增函数，求m的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；（2）根据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而根据二次函数的单调性即可求解.【小问1详解】由是偶函数可得，              ．则，即 ,所以恒成立，故.小问2详解】由（1）得，所以，令，则 ．为使为单调增函数，则①时显然满足题意； ②；③.综上：m 的范围为.19. ①，；②为的前n项和，，；在①②中选择一个，补充在下面的横线上并解答．已知数列满足______．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求证：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）选择①：根据前项和与前项和的关系求解即可；选择②：根据与化简可得（2）代入化简再裂项相消求和证明即可【小问1详解】选择①：当时，；当时，，两式相减得，故，又当时， 也满足，故选择②：当时，，解得当时，，，两式相减有，即，故是以为首项，3为公比的等比数列，故【小问2详解】代入可得，故，即得证20. 已知数列中，，（，），数列满足．（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）求；（3）求数列中的最大项和最小项，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；    （2）①时，=；②时    （3），；理由见解析【解析】【分析】（1）根据，代入证明为常数即可；（2）由（1）可得，再分与两种情况，去绝对值后求和即可；（3）由（1）可得，再根据函数的单调性判断中的最值即可.【小问1详解】证明：，又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．∴【小问2详解】记的前n项和为，则由，得，即时，；时，，①时，=．②时=．【小问3详解】由，得．又函数在和上均是单调递减．由函数的图象，可得：，．21. 已知为奇函数，为偶函数，且．（1）求及的解析式及定义域；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．（3）如果函数，若函数有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【详解】试题分析：（1），；（2）－恒成立，则，利用换元，解得；（3）要使有两个零点，即使得有一个零点，即，所以试题解析：（1）因为是奇函数，是偶函数，所以，， ，①令取代入上式得，               即，②                               联立①②可得，，                （2）因为，所以，                          设，则 ，因为的定义域为， ， 所以，，即， ，                              因为关于的不等式－恒成立，则，，故的取值范围为.               (3)                    要使有两个零点，即使得有一个零点，（t=0时x=0，y只有一个零点）即         （二）选考题（共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．） [选修4－4：坐标系与参数方程]22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（Ⅱ）设点，直线与曲线交于两点，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）9.【解析】【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程，消去参数，即可得到直线的普通方程；（Ⅱ）由题意，把直线l的参数方程可化为 (为参数)，代入曲线的直角坐标方程中，利用参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由，得，又由 ，得曲线C的直角坐标方程为，即 ，由，消去参数t，得直线l的普通方程为.   （Ⅱ）由题意直线l的参数方程可化为 (为参数)， 代入曲线的直角坐标方程得. 由韦达定理，得，则.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． [选修4—5：不等式选讲]23. 已知a，b，c为正数，函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|.(1)求不等式f(x)≤10的解集；(2)若f(x)的最小值为m，且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥12.【答案】(1) {x|－3≤x≤7}   (2) 证明见解析【解析】【分析】（1）分段讨论的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；（2）求出的值，根据基本不等式得出结论．【详解】解：（1），等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为．（2）因为，当且仅当即时取等号．所以，即．，，，，．．当且仅当时等号成立．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．