上海市普陀区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份上海市普陀区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题.等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）已知抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向上，那么a的取值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
2．（4分）如图，点C、D分别在△AOB的边BO、AO的延长线上，AB∥CD，AO：DO＝1：2，那么下列结论中，一定成立的是（　　）

A．BO：BC＝1：2 B．CO：BC＝2：3 C．AB：CD＝1：3 D．AD：BC＝1：2
3．（4分）如图，AC与BD相交于点O，∠B＝∠C，如果OC：OB＝2：3，那么下列说法中错误的是（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）已知向量、、为非零向量，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B．， C．， D．
5．（4分）如果抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点的坐标是（6，0），那么它与x轴的一个交点的坐标是（　　）
A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）
6．（4分）下列说法中，不一定成立的是（　　）
A．所有的等边三角形都相似
B．有一个钝角相等的两个等腰三角形相似
C．腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例的两个直角三角形相似
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果＝，那么＝　 　．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果，那么AB＝　 　．
9．（4分）如图，已知a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、B、C和点D、E、F，如果AB＝1，AC＝4，DE＝，那么EF＝　 　．

10．（4分）若向量与单位向量的方向相反，且||＝2，则＝　 　．（用表示）
11．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣1的对称轴是直线 　 　．
12．（4分）已知二次函数y＝x2+3x+m﹣4的图象经过原点，那么m＝　 　．
13．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2上，如果x1＜x2＜0，那么y1　 　y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）
14．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是　 　．

15．（4分）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是 　 　．
16．（4分）如图，将等边△ABC分割成9个全等的小等边三角形，点D是其中一个小等边三角形的顶点，设，，那么向量＝　 　.（用向量、表示）

17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是边AB上一点，且AD＝2，如果点E在边AC上，且△ADE与△ABC相似，那么AE＝　 　．

18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝，CD是斜边AB的中线，将△ABC绕点A旋转，点B、C的对应点分别是点E、F，如果点F在射线CD上，那么＝　 　．

三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：2（﹣）﹣（2+4）．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

20．（10分）已知二次函数的图象经过点A（﹣1，1）、B（1，3）和C（0，1），求这个二次函数的解析式，并指出这个二次函数图象的对称轴．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣4x+a经过点（﹣3，2）．
（1）求a的值，并将抛物线的表达式写成y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）将（1）中的抛物线先向右平移n个单位，再向下平移n个单位．
①平移后新的抛物线的表达式为 　 　；（用含字母n的式子表示）
②如果新的抛物线的顶点在第四象限，求n的取值范围．
22．（10分）如图．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，，BC＝6，DE＝2．
（1）求证：Rt△ABC∽Rt△ADE；
（2）求的值．

23．（12分）已知：如图，在△ABC和△ADE中，AD是△ABC的角平分线，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：AF•BD＝AD•DF；
（2）如果AE∥BC，求证：AB•AF＝DF•DE．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线的顶点是A（1，﹣5），且经过点B（﹣1，﹣1），过点B作BC∥x轴，交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和点C的坐标；
（2）联结AB，如果点D是该抛物线上一点，且位于第一象限，当∠DBC＝∠BAC时，求点D的坐标．

25．（14分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求BP的长；
（2）当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y；
①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长．




参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）已知抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向上，那么a的取值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】利用二次函数图象与系数的关系得到a﹣1＞0，然后解不等式即可．
解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2开口向上，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
那么a的取值可以是2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．
2．（4分）如图，点C、D分别在△AOB的边BO、AO的延长线上，AB∥CD，AO：DO＝1：2，那么下列结论中，一定成立的是（　　）

A．BO：BC＝1：2 B．CO：BC＝2：3 C．AB：CD＝1：3 D．AD：BC＝1：2
【分析】根据AB∥CD，证明△AOB∽△DOC，得到AB：CD＝BO：CO＝AO：DO＝1：2，即可解决问题．
解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC，
∴AB：CD＝BO：CO＝AO：DO＝1：2，故C选项错误；
A、∵BO：CO＝1：2，
∴BO：BC＝1：（2+1）＝1：3，故A选项错误；
B、∵BO：CO＝1：2，
∴CO：DO＝2：1，
∴CO：BC＝2：（1+2）＝2：3，故B选项正确；
D、由AB：CD＝BO：CO＝AO：DO＝1：2不能得出AD：BC＝1：2，
故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考平行线的性质、相似三角形对应边比例和比例式的变形，熟练运用比例的性质是解题的关键．
3．（4分）如图，AC与BD相交于点O，∠B＝∠C，如果OC：OB＝2：3，那么下列说法中错误的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得∠C＝∠B，∠DOC＝∠AOB，从而可以得到△DOC∽△AOB，然后即可得到两个三角形的相似比，从而可以得到它们的面积比，然后即可判断各个选项是否符合题意．
解：∵∠C＝∠B，∠DOC＝∠AOB，OC：OB＝2：3，
∴△DOC∽△AOB，
∴，故选项A、B、C正确，不符合题意，
∴，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的判定和性质解答．
4．（4分）已知向量、、为非零向量，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B．， C．， D．
【分析】根据平面向量的性质逐一判断即可．
解：∵|＝3||，不能确定两个向量的方向，
∴无法判断∥，选项A符合题意；
∵＝2，＝，
∴＝2，
∴∥，选项B不符合题意；
∵∥，∥，
∴∥，选项C，不符合题意；
∴＝﹣5，
∴∥，选项D，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键．
5．（4分）如果抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点的坐标是（6，0），那么它与x轴的一个交点的坐标是（　　）
A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）
【分析】根据抛物线的对称性解答即可．
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键．
6．（4分）下列说法中，不一定成立的是（　　）
A．所有的等边三角形都相似
B．有一个钝角相等的两个等腰三角形相似
C．腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例的两个直角三角形相似
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
解：A、所有的等边三角形都相似一定成立；
B、有一个钝角相等的两个等腰三角形相似一定成立；
C、腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似一定成立；
D、两边对应成比例的两个直角三角形相似不一定成立，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果＝，那么＝　　．
【分析】由已知可得出，3x＝2y，让等式两边都加上3y，那么3x+3y＝5y即3（x+y）＝5y，那么＝．
解：∵＝
∴3x＝2y
∴3（x+y）＝5y
∴＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，比较简单．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果，那么AB＝　2　．
【分析】由黄金分割的定义得AP＝AB，即可得出结论．
解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），，
∴AP＝AB＝﹣1，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．
9．（4分）如图，已知a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、B、C和点D、E、F，如果AB＝1，AC＝4，DE＝，那么EF＝　3　．

【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
解得DF＝4，
∴EF＝DF﹣DE＝4﹣＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
10．（4分）若向量与单位向量的方向相反，且||＝2，则＝　﹣2　．（用表示）
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
解：∵向量与单位向量的方向相反，且||＝2，
∴＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
11．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣1的对称轴是直线 　x＝1　．
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴．
解：∵y＝﹣2（x﹣1）2﹣1，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由顶点式可以直接写出对称轴．
12．（4分）已知二次函数y＝x2+3x+m﹣4的图象经过原点，那么m＝　4　．
【分析】将（0，0）代入解析式求解．
解：将（0，0）代入y＝x2+3x+m﹣4得0＝m﹣4，
解得m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
13．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2上，如果x1＜x2＜0，那么y1　＜　y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2的开口向下，对称轴为y轴，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x1＜x2＜0时，y1＜y2．
解：∵y＝﹣x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
14．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是　　．

【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，
∵PC＝8，
∴BP＝4，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，
∴∠BAP＝∠CPQ，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴QC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△ABP∽△PCQ是本题的关键．
15．（4分）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是 　　．
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求解可得答案．
解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，
∴斜边的长度为＝13，
∴这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是×13×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的重心和勾股定理，解题的关键是掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1及勾股定理．
16．（4分）如图，将等边△ABC分割成9个全等的小等边三角形，点D是其中一个小等边三角形的顶点，设，，那么向量＝　﹣+　.（用向量、表示）

【分析】根据＝+，求解即可．
解：∵＝+＝﹣﹣，CD＝AC，
∴CD＝（﹣﹣），
∴＝+＝+（﹣﹣）＝﹣+，
故答案为：﹣+，
【点评】本题考查平面向量，三角形法则，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决问题，属于中考常考题型．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是边AB上一点，且AD＝2，如果点E在边AC上，且△ADE与△ABC相似，那么AE＝　或　．

【分析】分两种情况，由相似三角形的性质可求解．
解：∵△ADE与△ABC相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，
∴，或，
∴＝或，
解得：AE＝，或AE＝，
故答案为：或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理；利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝，CD是斜边AB的中线，将△ABC绕点A旋转，点B、C的对应点分别是点E、F，如果点F在射线CD上，那么＝　　．

【分析】过点A作AH⊥CD于点H，设DF＝x，利用勾股定理列出x的方程求得x，进而求得三角形的面积便可求得比值．
解：过点A作AH⊥CD于点H，

∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，AB＝6，
∴CD＝AD＝BD＝3，
设DF＝x，则CF＝x+3，
由旋转性质知，AC＝AF＝，
∴CH＝FH＝，
∴，
由勾股定理得AC2﹣CH2＝AH2＝AD2﹣DH2，
∴，
解得x＝2，
∴DF＝2，AH＝，
∵，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，关键在于构造直角三角形，利用勾股定理列出方程求得DF．
三.解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：2（﹣）﹣（2+4）．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

【分析】首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量．
解：原式＝2﹣﹣﹣2
＝﹣3．
如图：＝，＝3，
则即为所求．

【点评】此题考查了平面向量的运算．注意掌握三角形法则是解此题的关键．
20．（10分）已知二次函数的图象经过点A（﹣1，1）、B（1，3）和C（0，1），求这个二次函数的解析式，并指出这个二次函数图象的对称轴．
【分析】把A（3，﹣2）、B（2，﹣3）、C（0，1）代入二次函数关系式，列出三元一次方程组进行计算即可，利用对称轴公式即可求得对称轴．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过点A（﹣1，1）、B（1，3）和C（0，1），
∴，
解得，
∴这个二次函数的解析式是y＝x2+x+1，
∵﹣＝﹣，
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣4x+a经过点（﹣3，2）．
（1）求a的值，并将抛物线的表达式写成y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）将（1）中的抛物线先向右平移n个单位，再向下平移n个单位．
①平移后新的抛物线的表达式为 　y＝﹣（x+2﹣n）2+3﹣n　；（用含字母n的式子表示）
②如果新的抛物线的顶点在第四象限，求n的取值范围．
【分析】（1）把点（﹣3，2）代入抛物线y＝ax2﹣4x+a，求出a的值，再转化成顶点式即可；
（2）①根据平移的规律解答；
②求出顶点坐标，根据题意列出不等式解答．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4x+a经过点（﹣3，2），
∴把x﹣3，y＝2代入y＝ax2﹣4x+a，得2＝（﹣3）﹣32•a﹣4×（﹣3）﹣a，
解得a＝﹣1．
∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣4x﹣1
写成y＝a（x+m）2+k的形式为：y＝﹣（x+2）2+3．
（2）①根据平移规律y＝﹣（x+2﹣n）2+3﹣n．
②由①得，新抛物线得顶点坐标为（n﹣2，3﹣n），
又顶点在第四象限，
∴，
∴n的取值范围为n＞3．
【点评】本题主要考查定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
22．（10分）如图．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，，BC＝6，DE＝2．
（1）求证：Rt△ABC∽Rt△ADE；
（2）求的值．

【分析】（1）由勾股定理求得AC＝3，AE＝＝1，则＝＝，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明Rt△ABC∽Rt△ADE；
（2）由＝，变形为＝，而∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，即可证明△ABD∽△ACE，得＝＝．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，，BC＝6，DE＝2．
∴AC＝＝＝3，AE＝＝＝1，
∴＝＝，
∴Rt△ABC∽Rt△ADE．
（2）解：由（1）得＝，
∴＝，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝＝，
∴的值是．
【点评】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得AC＝3，AE＝1，进而求得＝＝，是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，在△ABC和△ADE中，AD是△ABC的角平分线，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：AF•BD＝AD•DF；
（2）如果AE∥BC，求证：AB•AF＝DF•DE．

【分析】（1）由∠DAF＝∠BAD，∠ADE＝∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADF∽△ABD，得＝，所以AF•BD＝AD•DF；
（2）先由AE∥BC，得∠C＝∠EAC，则∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+∠EAC＝∠EAD，而∠ADE＝∠B，则△ADB∽△EDA，得＝，由＝变形得＝，则＝，所以AB•AF＝DF•DE．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF＝∠BAD，
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADF∽△ABD，
∴＝，
∴AF•BD＝AD•DF．
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠CAD+∠C＝∠CAD+∠EAC，
∵∠ADB＝∠CAD+∠C，∠EAD＝∠CAD+∠EAC，
∴∠ADB＝∠EAD，
∵∠ADE＝∠B
∴△ADB∽△EDA，
∴＝，
由（1）得＝，
∴＝，
∴＝，
∴AB•AF＝DF•DE．
【点评】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△ADF∽△ABD及△ADB∽△EDA是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线的顶点是A（1，﹣5），且经过点B（﹣1，﹣1），过点B作BC∥x轴，交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和点C的坐标；
（2）联结AB，如果点D是该抛物线上一点，且位于第一象限，当∠DBC＝∠BAC时，求点D的坐标．

【分析】（1）根据抛物线的顶点是A（1，﹣5），可设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣5，（a≠0），将点B（﹣1，﹣1）的坐标代入表达式，即可得出结论；
（2）设D（m，m2﹣2m﹣4）（m＞0）．过点D作DH⊥BC，垂足为点H．所以DH＝m2﹣2m﹣3，BH＝m+l，根据题意可证明△BHD∽△ACB，所以DH：BC＝BH：AC，即（m2﹣2m﹣3）：2＝（m+1）：5，解之即可．
解：（1）由抛物线的顶点是A（1，﹣5），
可设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣5，（a≠0），
∵抛物线经过点B（﹣1，﹣1），
∴4a﹣5＝﹣1，得a＝1．
∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣5．
∵BC∥x轴，交抛物线的对称轴于点C，
∴C（1，﹣1）．
（2）∵抛物线的一般式y＝x2﹣2x﹣4，
∴设D（m，m2﹣2m﹣4）（m＞0）．
如图，连接BA，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，连接BD．

∴DH＝m2﹣2m﹣3，BH＝m+l，
在△BHD与△ACB中，
∠DHB＝∠BCA＝90°，∠DBC＝∠BAC，
∴△BHD∽△ACB，
∴DH：BC＝BH：AC，
∵BC＝2，AC＝4，
∴（m2﹣2m﹣3）：2＝（m+1）：4，
解得m＝﹣1（舍）或m＝．
∴D（，）．
【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等相关知识，得出二次函数的解析式是解题关键．
25．（14分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求BP的长；
（2）当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y；
①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长．


【分析】（1）证明△CPB∽△BAD，利用相似三角形的性质求解；
（2）①证明△BDC∽△EDP，可得＝，推出DE＝（10﹣x），由AB∥DE，推出＝，由此构建关系式，可得结论；
②分两种情形：a、点F在线段DA的延长线上（如图2中），b、点F在线段AD的延长线上（如图3中），分别求解即可．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴CD＝6，BC＝8，BD＝10，∠A＝90°，AD∥CB，
∴∠ADB＝∠CBP，
∵CP⊥BD，
∴∠CPB＝∠A＝90°，
∴△CPB∽△BAD，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．

（2）①∵PE⊥BD，
∴∠DPE＝∠DCB＝90°，
∵∠BDC＝∠EDP，
∴△BDC∽△EDP，
∴＝，
∵BP＝x，DB＝10，DP＝10﹣x，CD＝6，
∴＝，
∴DE＝（10﹣x），
∵AB∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0＜x＜）；

②∵∠FAB＝∠BPE＝90°，且点F不可能在线段AD上，
∴△BPE与△BAF相似有两种可能：
a、点F在线段DA的延长线上（如图2中），
∵∠PBE≠∠AFB，
∴∠PBE＝∠ABF，
∵AB∥DE，
∴∠ABF＝∠DEB，
∴∠PBE＝∠DEB，
∴DE＝DB＝10，
∴DP＝DC＝6，
∴BP＝4．
b、点F在线段AD的延长线上（如图3中），

∵∠ABF≠∠PBE，
∴∠ABF＝∠PEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CEB，
∴∠PEB＝∠CEB，
∵∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴BP＝BC＝8．
综上所述，BP的值为4或8．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．