高考第24讲以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题专题练习

第二十四讲  以三角函数与解三角形为背景的取值范围问题

一、选择题

1．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A= ，且，则λ的值为（　　）

A．     B． ﹣    C．     D． ﹣

【答案】D

【解析】

如图所示：O是锐角△ABC的外心，

D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，

设△ABC外接圆半径为R，则R，

由图得，，

则

，

同理可得，，

由得，

，

所以，

则，①

在△ABC中由正弦定理得：，

代入①得，，

则，②

由正弦定理得，、，

代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB＝﹣λR；

所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sinλ，

解得λ，故选D．

2．在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为（    ）

A． 2    B． 4    C．     D．

【答案】C

【解析】

由题意得，，

∴，又，

∴，

∴

，

则的最大值为，故选C

3．已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，对任意x∈R恒有，且在区间（，）上有且只有一个x1使f（x1）＝3，则ω的最大值为

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

由题意知，则，

其中，

又f(x)在（，）上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间（，）包含的周期应最多，所以，得0<≤30，即，所以k≤19.5.分类讨论：

①.当k=19时，，此时可使成立，

当时，，

所以当或时，都成立，舍去；

②.当k=18时，，此时可使成立，

当时，，

当且仅当或时，都成立，

综上可得：ω的最大值为.

本题选择C选项.

4．在四边形中,已知是边上的点,且,,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是(            )

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

由

，

在中，，

，

，

在上，,，可得，

，

，

即的取值范围是，故选C.

5．已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

，

，周期，

又存在实数，对任意实数总有成立，

，

的最小值为，故选B.

6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（    ）

A． 1    B． 2    C． 3    D． 4

【答案】B

【解析】

由三角函数的性质可得：

，

其图象向左平移个单位所得函数的解析式为：，

函数的单调递增区间满足：，

即，

令可得函数的一个单调递增区间为：，

在上为增函数，则：，据此可得：，

则的最大值为2.

本题选择B选项.

7．在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（   ）

A．     B．

C．     D．

【答案】B

【解析】

∵是和的等差中项，∴，∴，

又，则，从而，∴，

∵，∴，

所以的周长为 ，

又，，，∴．

故选B．

8．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

根据正弦函数的单调递减区间为 ，所以 的单调递减区间为，可解得

      ，由余弦函数的单调递减区间为，所以，可解得

      因为与在 上同为单调递减函数，所以其交集为，所以

所以选B

9．已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

：中，由余弦定理可得，

，，

中，由正弦定理得，，

得，

当时，，

当时，，

为锐角三角形，

，

的取值范围为，故选A.

10．设函数.若,且，则的取值范围为（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

（特殊值法）画出的图象如图所示．

结合图象可得，当时，；当时， ，满足．

由此可得当,且时，．

故选B．

11．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则在上的最小值是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

根据题意可知，因为其图像关于直线对称，可知，结合的范围，可以求得，从而得到，因为，则有，从而求得，所以有，所以在上的最小值是，故选D.

12．若函数 在内有且仅有一个最大值，则的取值范围是（  ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

,

因为函数在内有且仅有一个最大值，

所以，可得，

即的取值范围是，故选C.

13．已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(    )

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，
故函数的周期为
若对恒成立，即当时， 恒成立，，
故有，求得

结合所给的选项，
故选D．

14．已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是(    )

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】因为函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为所以函数周期为,，由知 ，又时，且 ，所以解得，故选D.

15．的三个内角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】由cosAcosBcosC>0，可知，三角形是锐角三角形，

由题意有sinB=sin2A=2sinAcosA，

结合正弦定理有b=2acosA， ，

∵A+B+C=180°，B=2A，

∴3A+C=180°, ，

∵2A<90°，∴， ，

即的取值范围是.

本题选择D选项.

二、填空题

16．设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．

【答案】

【解析】

因为重心、内心分别是，且，所以，（r为内切圆的半径），

又.且.

解得.

所以.

当且仅当时，即为等边三角形有最小值.

17．已知均为锐角，且，则的最小值是________.

【答案】

【解析】

由cos（α-β）=3cos（α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ，

可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，

则tanαtanβ=，又=2=．

故答案为：.

18．若两个锐角满足，则的最大值是__________．

【答案】

【解析】

∵，，，

∴，令，

则，∴，即，

当且仅当时取等号，∴的最大值时.

故填：

19．在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

由题得,

所以,

所以

因为

所以

故答案为：

20．不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

令，

则原函数化为，

即，

由，

及知，

，即，

当时（1）总成立，

对，；

对，，

从而可知，故答案为.

21．已知 ，若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是__________．（结果用区间表示）

【答案】

【解析】

 由题意，函数，

 由的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，

 则，解得，即，

 函数的对称轴的方程为，

 即，则，解得，

 所以实数的取值范围是.

22．已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.

【答案】12

【解析】

设，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，即，，设，在中，由余弦定理可知，即，

，令，则，则，当时，即时，有最大值，故答案为.

23．函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范同是__________.

【答案】

【解析】

∵的图像在内与轴无交点

∴

∵

∴

∵由对称中心可知

∴

∵假设在区间内存在交点，可知

∴当时，

∴以上并集在全集中做补集，得

故答案为

24．的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

在为锐角三角形，

设，且，

所以，

所以，

又由，则，

所以，即的取值范围是.

25．在中，角的对边分别为, , ,则角的最大值为_____；

【答案】

【解析】

在中，由角C的余弦定理可知

，又因为，

所以。当且仅当时等号成立。

26．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

由正弦定理，

得       即

由余弦定理  得

又 

由题可知   则

即的范围

27．如图，在中，，点 在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．

【答案】.

【解析】

由可得：，

则.

由可知：，则，

由同角三角函数基本关系可知：.

设，

在△ABD中由余弦定理可得：，

在△CBD中由余弦定理可得：，

由于，故，

即：，

整理可得：.①

在△ABC中，由余弦定理可知：，

则：，

代入①式整理计算可得：，

由均值不等式的结论可得：，

故，当且仅当时等号成立，

据此可知△ABC面积的最大值为：.

28．（安徽省宿州市2018届三模）在中，内角A,B,C的对边分别为，且满足，A为锐角，则的取值范围为__________．

【答案】.

【解析】

由结合正弦定理可得：，且，

为锐角，则：，即，据此有：

，

，

，

，

即，，

据此可得：，

则的取值范围为.

29．在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________．

【答案】

【解析】

由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，

设∠BAD=，AB=2r，则，，

在中，，即，

∴，

∴

令t=，则

当，即时，的最大值为

故答案为：

30．在中，，，成等比数列，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

在中，

由正弦定理得，

又因为构成等比数列，设公比为，则，

又由在中，，即，即，

解得，所以．

31．已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.

【答案】

【解析】

因为，所以，在△ABD中，由余弦定理可得，，作CE⊥BD于E，因为，所以，所以，当时，的最大值为.

故答案为：

32．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

：由余弦定理及，得

即，再由正弦定理，得即，即所以，所以，

所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为

故答案为：

33．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为__________．

【答案】

【解析】

由题意可得， ，又平面， 平面 平面， 平面平面平面，又平面平面过作于，则平面，故，在中， ，设，则有中， ，又在中， ，在中， ，又 ，则，

， ，故答案为.

34．在中， ，满足的实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】中， ，即 则；
∴由|得：

整理得： 解得

∴实数的取值范围是.

故答案为.

35．点， 分别是椭圆的左、右两焦点，点为椭圆的上顶点，若动点满足： ，则的最大值为__________.

【答案】

【解析】设，由，得，则由，可得，化为，可设， ， ， ，即的最大值为，故答案为.

36．在中，设， 分别表示角， 所对的边， 为边上的高.若，则的最大值是__________．

【答案】

【解析】有题设条件，所以，又

所以，得，其中，令，则，所以的最大值是。

37．在中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为________________．

【答案】

【解析】

由题得

由题得

所以,当且仅当时取等号.

所以的最大值为,故填

38．锐角中，角的对边分别为，若，则 取值范围是__________．

【答案】

【解析】由结合余弦定理可得 ，即 ，再由正弦定理可得，可得或（舍去），，又均为锐角，由于 可得，可得 ，由可得 ，故答案为.