高考第43讲圆锥曲线小题精选

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 第四十三讲圆锥曲线小题精选 A组 一、选择题1．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（   ）A．                        B．                     C．                        D．【答案】A【解析】如图取与重合，则由直线同理由,故选A.2．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（   ）A．                    B．                   C.                     D．【答案】C【解析】由已知，，又为等边三角形，所以，所以.在中，，，，，由余弦定理得，所以，，所以，故选C.3．已知命题：直线与直线之间的距离不大于1，命题：椭圆与双曲线有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（   ）A．                B．                  C.              D．【答案】B【解析】对于命题，将直线平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为，联立方程组，消去得.由得，所以，椭圆上的点到直线最近距离为直线与的距离，所以命题为假命题，于是为真命题.对于命题，椭圆与双曲线有相同的焦点，故为真命题.从而为真命题，故选B.3．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且，若为等边三角形，则的面积为（   ）A．1                       B．                        C.                      D．2【答案】C【解析】由已知，，又为等边三角形，所以，所以.在中，，，，，由余弦定理得，所以，，所以双曲线方程为，又在双曲线上，所以，解得，即.所以，故选C.4．已知点是抛物线上一点，且它在第一象限内，焦点为坐标原点，若，，则此抛物线的准线方程为（   ）A．                  B．                   C.                   D．【答案】D【解析】因为，所以，.又，所以，准线方程为，故选D.5．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，则等于（   ）A．8                         B．6                          C. 4                         D．2【答案】B【解析】因为直线过椭圆的右焦点，由椭圆的定义，在中，.又，所以，故选B.6．设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（   ）A．               B．               C．               D．【答案】B【解析】由双曲线的定义可得，，由，，则有，即有，即有，即，则，即有，则．故选B．7．已知双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（   ）A．                  B．2C.                  D．【答案】D【解析】设，∵四边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，∴，即，∴，代入双曲线方程得，∵，∴.故选D.8．已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则（   ）A．                B．                   C．                   D．【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线为双曲线方程为，,将代入得,当;当,故选C.9．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率（   ）A．                 B．                   C.                 D．【答案】B【解析】设，所以，故.10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，若，则双曲线的渐近线方程为（   ）A.            B.            C.      D.【答案】C【解析】因为过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点，且，所以，设切点为，则利用三角形的相似可得，所以，所以，代入双曲线的方程，整理可得，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.B组一、选择题1．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（   ）A.                 B.                  C.                 D.【答案】C【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，即由，再由三角形的两边之和大于第三边，可得，可得，既有，由离心率公式可得，由于，则由，则的取值范围是，故选C.2．过椭圆：的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）A．            B．               C．            D．【答案】C【解析】由题意可知，所以直线的斜率为，即，解得，故选C.3．抛物线在第一象限内图像上的一点处的切线与轴交点的横坐标记为，其中，若，则等于（   ）A．21                 B．32                    C．42                 D．64【答案】C【解析】抛物线可化为，在点处的切线方程为所以切线与轴交点的横坐标为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故选C.4．设分别为双曲线的左、右焦，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（   ）A．                     B．                      C．                     D．【答案】B【解析】不妨设右支上点的横坐标为，由焦半径公式得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选B．5．已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（   ）A．                   B．                     C．                   D．【答案】C【解析】设到的距离为，则，因为，所以，所以直线的斜率为，因为，所以直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，所以，故选D．6．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与离心率之积为，则的渐近线方程为（   ）A．          B．          C．           D．【答案】A【解析】由椭圆和双曲线的离心率之积为，即，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选A．7．设，是双曲线（，）的两个焦点，点在双曲线上，若，（），则双曲线的离心率为（   ）A．    B．    C．2    D．【答案】B【解析】不妨设在双曲线的右支上，设，则由双曲线的定义可得，由题意可得，又，由勾股定理可得，，所以，即为，由，可得，解得或（舍）．故选B．8．已知是双曲线的左、右焦点，直线与双曲线两条渐近线的左、右交点分别为，若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（   ）A．                    B．                     C.                    D．【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，由，得，即，所以，则四边形的面积为，即，即，即，得或（舍），所以，即，所以双曲线的离心率为.故选C．9．已知抛物线的准线与轴的交点记为，焦点为，是过点且倾斜角为的直线，则到直线的距离为（   ）A．1                  B．                   C. 2                  D．【答案】B【解析】由题意，，则过点且倾斜角为的直线的方程为，∴点到直线的距离为.故选B．10．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则等于（   ）A．                  B．2                        C．1                   D．16【答案】C【解析】由题意可设直线的方程是，，由，得，，，，由抛物线的定义得，，所以．故选C．11．抛物线，直线过的焦点且与抛物线交于两点，，则中点到轴的距离为（   ）A．3                        B．                     C．                       D．4【答案】B【解析】因为中点坐标为，，所以中点到轴的距离为.故选B．C组一、选择题1．过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（   ）A．         B．        C.         D．【答案】D【解析】由题意，知，则直线的方程为．因为双曲线的渐近线为，所以直线与渐近线的交点横坐标分为，又，即，整理，得，所以，故选D．2．过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（   ）A．          B．           C.           D．【答案】D【解析】由题意，知，则直线的方程为．因为双曲线的渐近线为，所以直线与渐近线的交点横坐标分为，又，即，整理，得，所以，故选D．3．已知是双曲线的右焦点，过点的直线交的右支于不同两点，过点且垂直于直线的直线交轴于点，则的取值范围是（   ）A．               B．                C．               D．【答案】B【解析】当直线的斜率不存在时，，，，，则，故排除A；当时，直线为，直线为，，设，联立得，化简得，由韦达定理得，故，，故，故排除C，D，故选B．4．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（   ）A．                    B．                  C．                   D．【答案】C【解析】设抛物线的焦点与双曲线的右焦点及点的坐标分别为,故由题设可得在切点处的斜率为,则,即,故,依据共线可得,所以,故应选C．5．双曲线 的实轴为，虚轴的一个端点为，若三角形的面积为，则双曲线的离心率为（   ）A．             B．            C．             D．【答案】B【解析】双曲线实轴的长度为,虚轴的一个端点为,坐标为(假设在轴上方),则,而,所以,在双曲线中,,所以,离心率,选B．6．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率（   ）A．                  B．                C．                 D．【答案】B【解析】设，所以，故．7．已知、分别是双曲线：的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上（为原点），则双曲线的离心率为（   ）A． B．3 C． D．2【答案】D【解析】由已知有,,设双曲线的一条渐近线方程为,即,则点到的距离为,设点关于渐近线的对称点为,交渐近线于,则,,因为分别为的中点,所以,且,在中,所以,又,所以,离心率,选D.8．已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（   ）A．                 B．                  C．2                  D．-2【答案】A【解析】设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.9．已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（   ）A．                B．                  C．2                  D．-2【答案】A【解析】设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.10．已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（   ）A．   B．   C．   D．【答案】C【解析】,故选C.11．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（   ）A．                B．                    C．              D．【答案】B【解析】双曲线的左、右焦点分别为，可得，在中，由正弦定理得，又结合这两个条件得，由余弦定理可得,故选B．12．设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（   ）A．             B．             C．             D．【答案】D作图，设左焦点为，易知四边形是矩形，根据椭圆的定义，，所以，所以，因为，所以，从而该椭圆离心率的取值范围为，故选D.