高考第46讲 填空题压轴题精选

第四十六讲  填空题压轴题精选

A组

1、如果对定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”。给出下列函数：

①；②；③；④。

以上函数是“H函数”的所有序号为______。

【答案】：①③

【解析】：由已知对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，等价于不等式，

即函数是定义在R上的增函数；

①为增函数，满足条件；

②函数在定义域上不单调，不满足条件；

③，，函数在R上单调递增，满足条件；

④，当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件。

综上满足“H函数”的函数为①③。

2、定义在R上的，满足且，则的值为        。

【答案】：1006

【解析】：①令，有；令，有；

②令，则有，即；

从而，故。

3、如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等。设第段弧所对的圆心角为，则____________。

【答案】：

【解析】：如图连接三个圆心与弧的交点，得到一个六边形；

因为三个圆的半径相等，则六边形为正六边形；

从而；

故。

4、设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为_________。

【答案】：。 

【解析】：为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切；

设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，

令，并由，得：。

5、若实数a，b，c满足，，则c的最大值是       。

【答案】：

【解析】：由，得，所以.

由题设得 ，
所以 。

6、（2016全国一卷16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则b=       。

【答案】：

【解析】：设与和的切点分别为，；

由导数的几何意义知，则有； 

又切点在曲线上，可得；

联立解得

从而由得出。

7、已知椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，若（0＜λ＜4），则离心率e的取值范围是　　  。

【答案】：

【解析】：由已知A（﹣a，0），B（a，0），（﹣c，0），（c，0）；

因为，

则；

又0＜λ＜4，则有（0＜e＜1）；

解得；

故答案为。

8、若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是_________。

【答案】：

【解析】：曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，

曲线表示过定点，

与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，

由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，

两种相切分别对应，由图可知，m的取值

范围应是。

9、已知函数，存在，使得，则的最大值为_________。

【答案】：

【解析】：由题意，则，

又，故令y，则，

当时，，当，；

从而函数在上单调递增，在上单调递减，

故x=e时，函数取得最大值，即的最大值为。

10、在平面直角坐标系中,设定点，是函数()图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为_______。

【答案】：-1或   

【解析】：由题意设则有

令，则，对称轴；

（1）当时，；

因为点之间的最短距离为，则有；

解得：或（舍去）；

（2）当时，，则有；

解得： 或（舍去）；

综上或。

B组

1、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a，b，c，，则=_________。

【答案】：4

【解析】：方法一：考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，

，= 4。

（方法二），

由正弦定理，上式。

2、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为___________。

【答案】：

【解析】：

 代入得：

设

又

3、已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为          。

【答案】：

【解析】：因为在△ABC中，a=2，

则根据正弦定理可得 ，即；

由基本不等式可得 ，则，当且仅当b=c=2时取等号；

此时△ABC为等边三角形，它的面积为。

4、设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集为        。

【答案】：

【分析】：令，则，则为增函数，

不等式可化为，

即，由，

故不等式的解集为。  

5、已知函数满足：

则_______。

【答案】：

【解析】：取x=1，y=0得

法一：通过计算，寻得周期为6。

法二：取x=n ，y=1，有，

                  同理     

联立得：

 故。          

6、已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为           。

【答案】：5

【解析】:如图连接OA、OD作OE⊥AC，OF⊥BD垂足分别为E、F，

设圆心O到AC、BD的距离分别为，

因为AC⊥BD于M，则四边形OEMF为矩形；

又点，从而有；

则四边形ABCD的面积为，

当且仅当时取等号；

故四边形的面积的最大值为5。

7、（15年福建理科）已知，，若 点是 所在平面内一点，且，则的最大值为        。

【答案】：13

【解析】：由题意建立如图所示的坐标系，可得A(0，0)，B(，0)，C(0，t)，

因为，则P（1，4）；

从而；

则，

当且仅当，即时等号成立；

故的最大值为13。

8、已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________。

【答案】：或

【解析】：方法一：显然.

（1）当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根；

（2）当直线与函数相切时，，此时恰有2个互异的实数根；

结合图象可知或。

方法二：显然，所以；

令，则；

因为，所以；

结合图象可得或。

9、若函数=的图像关于直线对称，则的最大值是______。

【答案】：16

【解析】由图像关于直线=－2对称，则

0==，

0==，解得=8，=15，

∴=，

∴==

=

当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0，

当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，

∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16。

10、已知正数满足：则的取值范围是      。

【答案】：[e，7]

【解析】：由已知条件可化为：

。

 设，则题目转化为：

已知满足，求的取值范围。

作出（）所在平面区域（如图）。求出的切

线的斜率，设过切点的切线为，

   则，要使它最小，须。

 从而的最小值在处，为。此时，点在上之间。

   当（）对应点时， ，

   则的最大值在处且

   故的取值范围为，即的取值范围是。

C组

1、设，为单位向量，非零向量，，。若，的夹角为，则的最大值等于__________。

【答案】：2

【解析】：由已知；

则，当x＝0时，；

当x≠0时，；

故的最大值为2。

2、在面积为2的中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是________。

【答案】：

【解析】：由题设知，的面积为1，以B为原点，BC所在直线为轴，过点B与直线BC垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设，

则；

从而，

当且仅当时取等号，故的最小值是。

3、已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是           。

【答案】：(1，)

【解析】：方法一：因为在中，由正弦定理得

则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上；

设点由焦点半径公式，得，

则有，解得；

由双曲线的几何性质知，整理得

解得，故椭圆的离心率。

方法2：由方法一知由双曲线的定义知：；

，即，

由双曲线的几何性质知：，则有，即；

化简得：

解得，故椭圆的离心率。                                                                                                                                              

4、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为　   。

【答案】：

【解析】：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），

从而 ，，设 ，

因为

则有，解得；

从而；

又因为，则，

故当取最大值1时，。

5、（2015全国一卷16）在平面四边形ABCD中则AB的取值范围是________。

【答案】：

【解析】：如图所示，延长BA，CD交于点E，

则在△ADE中，∠DAE=105∘，∠ADE=45∘，∠E=30∘；

设，

因为BC=2，则；

从而；

则有，

又；

故的取值范围是。

6、数列满足，则的前项和为

      。

【答案】：1830

【解析】：因为，

所以，，，，，，

……，，，。

由，可得；

由，可得；

……

由，可得；

从而

又，，，…，，，

所以

；

从而；

因此。

7、已知点为圆与圆的公共点，， ，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为       。

【答案】：2

【解析】：设则圆，

圆，；

故是关于的方程的两根；

因此由韦达定理得，所以点在圆上，其到直线距离就是点与直线上任意一点之间的距离的最小值，为

8、（2015天津理）在等腰梯形 中,已知 ，动点 和 分别在线段 和 上，且， 则的最小值为         。

【答案】：

【解析】：因为，

，

，

，

当且仅当即时的最小值为。

9、已知函数。对于不相等的实数，，设，。现有如下命题：

(1) 对于任意不相等的实数，，都有；

(2) 对于任意的及任意不相等的实数，，都有；

(3) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得;

(4) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得.

其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。

【答案】：(1) (4)

【解析】：(1)设>，函数单调递增，所有>，->0，

则=>0，所以正确；

(2)设>,则->0,则

，可令=1，=2，

，则，所以错误；

(3)因为，由（2）得：，分母乘到右边，右边即为，所以原等式即为=，

即为=，令，

则原题意转化为对于任意的，函数存在不相等的实数，使得函数值相等，，则，则，

令，且，可得为极小值。若，则，即，单调递增，不满足题意，所以错误。

(4)由(3) 得=，则，设，有，使其函数值相等，则不恒为单调。

，，恒成立，单调递增且，。所以先减后增，满足题意，所以正确。

10、设函数

(1)记集合,则所对应的的零点的取值集合为___________；

(2)若___________。(写出所有正确结论的序号)

①

②

③若

【答案】：(1)   (2)①②③

【解析】：(1)由题意知,所以方程可化为,即又,所以当时此时;当时,无解.所以的零点的取值集合为。

(2)①令，

则，因为所以，

即，所以是单调递减函数，所以在上，

又，

所以

②又因为是单调递减函数，所以在一定存在零点,即,此时不能构成三角形的三边.

③由余弦定理易知,即,又，且连续，所以故①②③都正确。