2022-2023学年浙江省宁波市海曙区部分学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市海曙区部分学校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    剪纸是我国传统的民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士喜爱．下列剪纸作品中，为轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    以下列各组线段为边作三角形，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.    等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为(    )

A.  B.  或  C.  D.  或 

4.    下列各命题中，是假命题的是(    )

A. 等腰三角形的两底角相等 B. 全等三角形的对应边相等
C. 若，则 D. 若，则

5.    在和中，，，补充条件后，仍不一定能保证≌，这个补充条件是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上分别取点、，使，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线可证得≌，平分依以上画法证明≌根据的是(    )
   
    

A.  B.  C.  D.

8.    将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到个．若小朋友的人数为，则列式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国算术周髀算经中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴撔部分的面积，则可知(    )

A. 直角三角形纸片的面积 B. 最大正三角形纸片的面积
C. 最大正三角形与直角三角形的纸片面积和 D. 小两个正三角形纸片重叠部分的面积

10. 已知等边中，在射线上有一点，连接，以为边向上作等边，连接和，下列结论：；与的夹角为；当在线段或延长线上时，总有；时，，正确的结论序号有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. “对顶角相等”的逆命题是______ 用“如果那么”的形式写出
12. 如图，中，的垂直平分线交于点，若，则的周长为______．

13. 如图，“人字梯”放在水平的地面上，，当梯子的一边与地面所夹的锐角为时，两梯角之间的距离的长为周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使为，后又调整为，则梯子顶端离地面的高度下降了______

14. 关于的不等式组无解，则常数的取值范围是______．
15. 等腰三角形一腰的中垂线与另一腰所在直线夹角为，该等嫼三角形的底角的度数是______．
16. 如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为______

17. 在等腰中，，过点作直线，是上的一点，且，则的度数为______．
18. 如图，，现用若干根等长的小棒从点开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线、上，其中为第根小棒，且若恰好能摆放根小棒，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解下列不等式组：
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，在方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上小正方形的边长为
    在图甲中画一个面积为的等腰三角形；
    在图乙中画一个三角形与全等，且有一条公共边．

21. 本小题分
    如图，已知点是等边内一点，连结，，，为外一点，且，连接，，．
    求证：≌．
    若，，，求的度数．

22. 本小题分
    哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买甲种笔记本个比买乙种笔记本个少花元．
    求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
    若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的倍还少个，且购买这两种笔记本的总金额不超过元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？
23. 本小题分
    如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
    如图，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点求证：是的一条等腰分割线．
    如图，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数．
    在中，为的等腰分割线，且，，请直接写出的度数．
     
24. 本小题分
    【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得≌，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______．
    解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
    【初步运用】如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
    【拓展提升】如图，在中，为的中点，分别交，于点，求证：．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、不均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成三角形；
B、，不能构成直角三角形；
C、，不能构成三角形；
D、，能构成直角三角形；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，，不满足三角形的三边关系，够不成三角形；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，此时周长为；
综上可知，三角形的周长为．
故选：．
分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证．
 

4.【答案】 

【解析】解：、等腰三角形的两底角相等，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等，是真命题，不符合题意；
C、若，则，故本选项命题是假命题，符合题意；
D、，则，是真命题，不符合题意；
故选：．
根据等腰三角形的性质、全等三角形的性质、有理数的乘方法则、绝对值的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
当时，根据“”可判断≌，所以选项不符合题意；
当时，根据“”可判断≌，所以选项不符合题意；
当时，不一定能保证≌所以选项符合题意；
当时，根据“”可判断≌，所以选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的中线，
，
周长，周长，
周长周长，
即和的周长之差是，
故选：．
利用中线的定义可知，可知和的周长之差即为和的差，可求得答案．
本题主要考查三角形中线的定义，由条件得出两三角形的周长之差即为和的差是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了判定直角三角形全等的定理解题关键在于熟悉直角三角形的判定定理，由题意知，，结合定理即可得出答案．
【解答】
解：在和中，
，
≌，
即所用的判定定理是．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：根据小朋友的人数为，根据题意可得：
，
故选：．
根据每位小朋友分个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到个．由此得出不等式组．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，设三个正三角形面积分别为，，，不妨设，两个小正三角形的重叠部分的面积为，
是直角三角形，，
，
，，，
，
，
，
故选：．
设三个正三角形面积分别为，，，不妨设，由勾股定理和三角形面积可得，再由面积和差关系即可求解．
本题考查的是勾股定理以及等边三角形的性质等知识，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设交于．

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，故正确，
，
，
与的夹角为，故正确，
，，
，故错误，
当时，易证，
，
故正确，
故选：．
利用≌，可以证明正确，错误，当时，易知，根据即可判断正确．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 

【解析】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
又点为线段的垂直平分线上的点，
，
，
即的周长为．
故答案为：．
由条件可得到，可得到，可得出答案．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：
过点作于点，
由题意可得：，
则是等边三角形，
故BC，
则，
如图所示：
过点作于点，
由题意可得：，
则是等腰直角三角形，，
则，
故梯子顶端离地面的高度下降了．
故答案为：
根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确画出图形利用锐角三角函数关系分析是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
又关于的不等式组无解，
，
解得：，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再根据已知不等式组无解得出关于的不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式是解此题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，三角形是锐角三角形时，，
底角为：，
如图，三角形是钝角三角形时，，
底角为：，
综上所述，底角为或．
故答案为：或．
作出图形，分三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为．

在中，依据勾股定理可知．
，
，
当、、共线，且点与重合时，的值最小，最小值为，
故答案为：
如图所示：在上取点，使，过点作，垂足为因为，推出当、、共线，且点与重合时，的值最小．
本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题
 

17.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当点在点的左边时，作于，于，如图所示：

，
，
等腰中，，，
，，
，
，，
，
；
当点在点的右边时，作于，于，如图所示：

同得：，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
分两种情况：当点在点的左边时，作于，于；当点在点的右边时，作于，于；由等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
恰好能摆放根小木棒，
，
，
故答案为：．
本题需先根据已知条件，列出不等式，解出的取值范围，即可得出正确答案．
本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
 

19.【答案】解：去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】不等式去分母，移项合并，把系数化为，即可求出解集；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式及不等式组的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：如图甲中，即为所求答案不唯一；

如图乙中，即为所求答案不唯一． 

【解析】在图甲中画一个面积为的等腰三角形；
在图乙中画一个以为公共边的三角形与全等．
本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和三角形的面积，解决本题的关键是借助网格解决问题．
 

21.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，，，
是等边三角形，
，
，
在与中
，
≌；
解：≌，
，，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元，由题意得：
，
解得．
答：甲种笔记本的单价是元；乙种笔记本的单价是元；

设乙种笔记本购买个，由题意得：
，
解得：，
为整数，
取．
答：本次乙种笔记本最多购买个． 

【解析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，列出不等式或方程．
首先设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元，根据题意可得：个甲种笔记本的价格个乙种笔记本的价格元；甲种笔记本个的价格乙种笔记本个的价格，根据等量关系列出方程组，再解即可；
设乙种笔记本购买个，由题意得不等关系：甲种笔记本的数量乙种笔记本的数量元，根据不等关系列出不等式，再解即可．
 

23.【答案】证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线；
解：如图，

解：如图，

当，时，，
如图，

当，时，，
如图，

当，时，，
综上所述：或或． 

【解析】证明，，从而得出结论；
是腰时，，；是底时，，，可画出图形；
分为，及三种情形，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
 

24.【答案】 

【解析】解：延长至点，使，连接，
在和中，
，
≌，
，
，

，
故答案为：．

延长到，使，连接，如图，

是中线，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；

证明：如图，延长到点，使，连接、，

是边上的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
．
先判断出≌，得出，最后用三角形的三边关系计算；
延长到，使，连接，证明≌，根据全等三角形的性质解答；
延长到点，使，连接、、，先证明≌，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以．
此题是三角形综合题，主要考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．