2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）   当函数是二次函数时，的取值为(    )A.  B.  C.  D.    已知点到圆心的距离为，若点在圆内，则的半径可能为(    )A.  B.  C.  D.    下列说法中错误的是(    )A. 不可能事件发生的概率为 B. 概率很小的事不可能发生
C. 必然事件发生的概率是 D. 随机事件发生的概率大于、小于   已知，下列变形正确的是(    )A.  B.  C.  D.    二次函数图象平移后经过点，则下列可行的平移方法是(    )A. 向右平移个单位，向上平移个单位 B. 向右平移个单位，向下平移个单位
C. 向左平移个单位，向上平移个单位 D. 向左平移个单位，向下平移个单位   如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于(    )A.
B.
C.
D.    一次函数与二次函数的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为(    )A.
B.
C.
D.    如图，正六边形，中，点是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，，，，，则下列判断正确的是(    )A.
B.
C.
D.    已知的直径，与的弦垂直，垂足为，且，则直径上的点包含端点与点的距离为整数的点有(    )A. 个
B. 个
C. 个
D. 个已知抛物线是常数，下列四个结论：
若抛物线经过点，则；
抛物线与轴一定有交点；
若，则方程一定有根；
点，在抛物线上，若，则当时，．
其中正确的有(    )A.  个 B.  个 C.  个 D.  个 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）现有分别标有汉字“我”“爱”“启”“正”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是______．函数图象的对称轴是______．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ．
 飞机着陆后滑行的距离单位：米与滑行的时间单位：秒之间的函数关系式是，飞机着陆后滑行______秒才能停下来．如图，图是由若干个相同的图组成的图案，在图中，已知半径，，则图的周长为______结果保留．
如图，边长为的正方形内接于，点是上的一动点不与，重合，点是上的一点，连接，，分别与，交于点，，且，有以下终论：
；
周长的最小值为；
随着点位置的变化，四边形的面积始终为．
其中正确的是______填序号 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
如图，电路图上有三个开关、、，开关闭合记“”，开关断开记“”．
若只闭合其中一个开关，则小灯泡发光即电流通过的概率是______；
用树状图或列表格的方法表示三个开关、、闭合或断开的所有情况，并求小灯泡发光即电流通过的概率．
本小题分
如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上．
画出绕点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为______；
在的旋转过程中，求扫过图形的面积．
本小题分
如图，二次函数图象的顶点为，且与反比例函数的图象交于点
判断原点是否在二次函数的图象上，并说明理由；
根据图象，直接写出关于的不等式的解．
本小题分
如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接、．
判断的形状，并说明理由；
若，，求的长．
本小题分
已知二次函数是实数．
小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
已知点，都在该二次函数图象上，求证：．本小题分
如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
求抛物线的表达式：
在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为，树高为，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
本小题分
如图，点是等边三角形中边上的动点，作的外接圆交于点点是圆上一点，且，连接交于点．
求证：；
当点运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
探究线段、、之间的数量关系，并证明．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次函数定义可得，再解即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 2.【答案】 【解析】解：点在圆内，且，
，
故选：．
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了概率的意义，解题的关键是了解不可能事件发生的概率为，必然事件发生的概率为，难度不大．
根据概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、不可能事件发生的概率为，正确，不符合题意；
B、概率很小的事也可能发生，故错误，符合题意；
C、必然事件发生的概率为，正确，不符合题意；
D、随机事件发生的概率大于，小于，正确，不符合题意，
故选B．  4.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
根据比例的性质进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，
A、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
B、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
C、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
D、平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意；
故选：．
求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握平移的规律．
 6.【答案】 【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理由是的直径得到，再根据互余得到，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直
 7.【答案】 【解析】解：由二次函数的图象知：开口向上，，一次函数图象可知，
二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，交轴的负半轴，
选项正确，
故选：．
由二次函数的图象知：开口向上，，一次函数图象可知，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：正六边形中，点是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，，，，，
则有，，
，
故选：．
正六边形中，点是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，，，，，则有，，由此即可判断．
本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 9.【答案】 【解析】解：是直径，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
点到线段的最小距离为，最大距离为，则点到线段的整数距离有，，
点到线段的最小距离为，最大距离为，则点到线段的整数距离有，，，，
直径上的点包含端点与点的距离为整数的点有个，
故选：．
利用勾股定理得出线段和的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．
本题考查了勾股定理、圆周角定理、二次根式的性质、垂线段的性质等知识；掌握相关性质是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
抛物线经过，正确；
若抛物线经过，则抛物线对称轴为直线，
，即，正确；
若，则抛物线的对称轴为直线，
，，
，
抛物线经过，
由抛物线对称性可得抛物线经过，
方程一定有根，正确；
，，
，
，
，即，
时，随增大而减小，
时，正确．
故选：．
由可得抛物线经过，由抛物线的对称性可判断；由及可得与的关系，从而可得抛物线对称轴，进而判断；由，可得抛物线对称轴的位置，从而判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 11.【答案】 【解析】解：由概率公式可得，把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是．
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 12.【答案】直线 【解析】解：，
抛物线与轴的交点为，，
函数图象的对称轴是直线，
故答案为：直线．
把解析式化成交点式，利用二次函数的对称性即可求得对称轴．
本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系，利用二次函数的性质解答．
 13.【答案】 【解析】解：为的黄金分割点，
，
故答案为：．
根据黄金分割的定义得到，即可得出答案．
此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
 14.【答案】 【解析】解：由题意，
，

，
即当秒时，飞机才能停下来．
故答案是：．
飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出最大时对应的值．
本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得时，取最大值．
 15.【答案】 【解析】解：由图得：的长的长的长，
半径，，
则图的周长为：，
故答案为：．
先根据图确定：图的周长个的长，根据弧长公式可得结论．
本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：如图所示，连接，，
，，
，
四边形是正方形，点是它的中心，
，
在与中，
，
≌，
，
因此正确；
由中≌，可得，
，
周长为，而，
当最小时，、最小，
所以当，时，周长的最小，
如图，过点作于，于，
则，
，
周长的最小值为，
故正确；
，，
≌，
四边形的面积始终等于正方形的面积，
而正方形的面积，总等于正方形面积的四分之一，
因此正确；
综上所述，正确的结论有：，
故答案为：．
根据正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质以及垂径定理逐项进行判断即可．
本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及垂径定理，掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及垂径定理是正确判断的前提．
 17.【答案】 【解析】解：共个开关，只有闭合时，电流才能通过，
小灯泡发光即电流通过的概率是，
故答案为；

共种情况，电流能通过的情况数有种，
所以所求的概率为．
让电流通过的情况数除以总情况数即为所求的概率；
列举出所有情况，看电流通过的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．注意闭合或者同时闭合，，小灯泡都发光．
 18.【答案】 【解析】解：如图，为所作，点的坐标为；

故答案为：；
因为，
所以扫过图形的面积
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可；
先计算出的长，然后根据扇形的面积公式计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 19.【答案】解：设二次函数为，
经过点
，
，
二次函数的解析式为，
把代入，得，
原点在二次函数的图象上；
由图象可知，关于的不等式的解集是或． 【解析】设二次函数为，把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把代入即可求得的的值即可判断；
由两函数的图象直接写出的取值范围即可．
本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 20.【答案】解：是等腰直角三角形，
理由：平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形；
连接，连接交于点，

，，，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
 在中，，
，
，
，
的长为． 【解析】根据角平分线的定义可得，，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后利用角的和差关系，以及三角形外角的性质可得，从而利用等角对等边可得，最后再根据直径所对的圆周角是直角可得，即可解答；
利用的结论，以及同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，再根据可得是的垂直平分线，从而可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 21.【答案】解：小明说法正确，理由如下：
是实数，
顶点坐标为，
二次函数图象的顶点始终在直线上运动，
故小明说法正确；
证明：点，都在该二次函数图象上，
对称轴为直线，
，
，
，
，
． 【解析】求得抛物线的顶点坐标为，即可得到顶点在直线上，即可判断小明说法正确；
由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到，根据二次函数的性质即可证得结论
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 22.【答案】解：设该抛物线的表达式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
抛物线的表达式为：
小球能否飞过这棵树，
理由：将代入，得：，
将代入，得：，
，
小球能否飞过这棵树；
设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为，
则，
当时，取得最大值，
答：小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度是． 【解析】根据题意和题目中的数据，可以设抛物线的顶点式，然后将代入计算即可；
将代入中的抛物线表达式和直线，求出相应的的值，然后作差与比较即可；
设小球在飞行的过程中离斜坡的为，然后即可得到关于的二次函数关系式，再化为顶点式，即可得到的最大值．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 23.【答案】证明：如图，连接，

，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
；
解：连接，

，
，
，
，
，
；
理由如下：
延长到点，使得，连接、、、，

，
为等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
． 【解析】连接，证明≌，便可得；
连接，根据在同圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，得，，再根据三角形的外角定理便可求得的度数；
延长到点，使得，连接、、、，先证明为等边三角形，再证明≌，得，再证明≌，进而得，再证明≌，得，便可得出结论．
本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是作辅助线构造全等三角形．