2023年湖南永州市高考第一次适应性考试试卷(含答案解析)

2023年湖南永州市高考第一次适应性考试试卷

1.     若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     复数z满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为(    )
    

A. 4 B. 7 C. 16 D. 31

5.     现有甲、乙、丙、丁四个人到九嶷山、阳明山、云冰山、舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件B为“甲独自去了一个景点”，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.     将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递增区间是(    )

A.  B.
C.  D.

7.     已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.     已知椭圆，，分别为其左、右焦点，过作直线轴交椭圆C于A，B两点，将椭圆所在的平面沿x轴折成一个锐二面角，设其大小为，翻折后A，B两点的对应点分别为，，记若，则椭圆C的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     E，F，G，H分别是正方体的棱AB，BC，，的中点，则(    )

A. 平面HGF B.
C. 直线与直线HE相交 D. HE与平面ABCD所成的角大小是

10. 对于函数，则(    )

A. 有极大值，没有极小值
B. 有极小值，没有极大值
C. 函数与的图象有两个交点
D. 函数有两个零点

11. 抛物线，点在其准线l上，过焦点F的直线m与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 有可能是钝角
C. 当直线m的斜率为时，与面积之比为3
D. 当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，

12. 已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
B. 关于x的方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为

13. 在的展开式中，的系数是__________.
14. 已知圆与交于A，B两点，则直线AB的方程为__________.
15. 函数的最大值是__________.
16. 在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，为等边三角形，，，，则四棱锥的外接球球心G到平面PCD的距离是__________.
17. 已知数列，满足：，且

若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式;

若数列为等差数列，，求的前n项和

18. 如图甲，在边长为4的等边三角形ABC中，，将沿DE折起，使点A到达点P的位置，连接PB，PC，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段BC的中点.
     

求证：

当翻折到平面平面BDEC时，求平面PDE与平面PDB的夹角的余弦值.

19. 由扇形OAC和三角形OBC组成的平面图形如图所示，已知，，，，点E在扇形OAC的弧上运动.
     

求的值;

求四边形AOBE面积的最大值.

20. 我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男、女各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：

根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在内认定为“良好”.

完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联;

从女生平均每天体育运动时间在、、、的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记X为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求X的分布列及数学期望.

附：，其中

21. 点在双曲线上，离心率

求双曲线C的方程;

，B是双曲线C上的两个动点异于点，，分别表示直线PA，PB的斜率，满足，求证：直线AB恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

22. 已知，

不等式对任意恒成立，求k的取值范围;

当有两个极值点，时，求证：

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查交集的求法，不等式求解，属于基础题.
先求出集合A，B，由此利用交集性质能求出

【解答】

解：，
集合，

故选

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.
根据复数的四则运算法则计算即可.

【解答】

解：因为，
所以
故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
由已知结合向量数量积，根据投影向量的定义可知在方向上的投影向量是，代入可求．

【解答】

解：因为平面向量，满足，，
所以在方向上的投影向量是
故选
 

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推公式的运用，考查运算能力，属于基础题.
由题意，首先求出，然后求

【解答】

解：因为，，按规则有，
则解下第4个圆环最少需要移动的次数记为，
则，
故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题.
根据题意，由条件概率的计算公式运算，即可得到答案.

【解答】

解：甲独自去一个景点，则有4个景点可选，
其余3人只能在甲剩下的3个景点中选择，
其余3人去甲剩下的3个景点中可能的情况有种，
所以甲独自去一个景点可能的情况有种；
因为4个人去的景点各不相同可能的情况有种；
所以
故选

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．
利用三角恒等变换化简的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数的递增区间.

【解答】

解：函数 ， 

将函数向右平移个单位可得：  ，

然后把得到的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变可得：

令 

解得：  ，

所以函数的单调递增区间为：

故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查利用对数函数的性质、利用作差法比较大小，属于中档题.
利用对数函数的性质求出a的取值范围，设，则，比较出，再利用作差法比较a与c的大小，即可求出结果.

【解答】

解：因为，
设，
所以，
又，
所以；
因为，
又
所以，
所以，
所以，即，
所以
故选

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查椭圆的性质，考查余弦定理，二面角，属于中档题.
根据题意由，可得，在两个三角形中分别使用余弦定理，得 ，代入条件化简求解即可.

【解答】

解：已知，，
则，
，将代入椭圆方程，
可得，

，
由题意可知，，均为等腰三角形，

且，，在中，
，

在中，，

，

，
又，
解得
故选

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查线面平行的判定、直线与直线的位置关系、直线与平面所成角，属中档题.
 对于A，，，则，根据线面平行的判定定理证明；对于B，根据平行线的传递性判断；对于C，直线与直线HE异面；对于D，过H作HT垂直DC于T，为HE与平面ABCD所成的角，为

【解答】

解：对于A，连接，因为BC与平行且相等，
所以四边形为平行四边形，则，
因为H，G分别为，的中点，所以，则，平面HGF，平面HGF，则平面HGF，故正确；
对于B，同理为平行四边形，则，同理，所以，故正确；
对于C，因为与EF异面，所以直线与直线HE异面，故错误；
对于D，过H作HT垂直DC于T，则HT垂直平面ABCD，
所以为HE与平面ABCD所成的角，为，故正确.

 

10.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和零点问题；
由题意，首先对函数求导，判断单调性，得到极值情况；结合函数图像得到两个函数图像交点情况.

【解答】

解：由已知函数的定义域为R，得到，
时时，
所以在单调递增，在单调递减，所以有极大值，没有极小值；故A正确，B错误；
由以上可知，最大值为，而直线过，所以函数与的图象有一个交点；故C错误；
而函数的零点为，时，，所以函数图像与有两个交点，所以函数有两个零点；故D正确.
 

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的定义 ，抛物线的焦点、准线 ，抛物线的几何性质，抛物线的标准方程和直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题.
利用抛物线的标准方程，准线对A进行判断，利用抛物线的定义，结合平面几何知识对B与C进行判断，利用直线与抛物线位置关系，结合抛物线的几何性质对D进行判断，从而得结论.

【解答】

解：对于因为点在抛物线C的准线l上，所以点M是抛物线C的准线l与x轴的交点，
因此，解得，故A正确;
对于如图：由选项A知：抛物线C的方程为，F是抛物线C的焦点，

分别过A，B作抛物线C准线l的垂线，垂足分别为，，且，，
因此线段AB的中点到准线l的距离为，所以以线段AB为直径的圆与准线l的相切，
因此点M在以线段AB为直径的圆外或上，所以是锐角或直角，故B错误;
对于在选项B的图中.
因为直线m过点F且斜率为，所以，
因此，，
即，，
所以，故C正确;
对于因为直线AM与抛物线C只有一个公共点，所以直线AM与抛物线C相切，而点A在第一象限，因此切点为
设直线AM的方程为，
而由得，
因此由得，
把代入得，所以
因为，所以轴，且，因此，所以，故D正确.
 

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数图象、函数零点与方程的根，属于较难题.
作出的图象，对于A，观察图象，由函数与有四个交点即得；对于B，通过观察与归纳即得；对于C，举反例即得；对于D，由围成的第n个三角形的底边与高计算其面积即得.

【解答】

解：画出前几段，，，，归纳结论，
函数的图象与x轴围成的三角形的高成等比数列，底边长也成等比数列.

对于A，点与原点O的连线的斜率为，
点与原点O的连线的斜率为，
观察得，当时，函数与有四个交点，故A正确；
对于B，若，有1个不同解，
若，有3个不同解，若，有5个不同解，
显然有，有个不同的解，故B正确；
对于C，令，则，，故C错误；
对于D，围成的第n个三角形的底边为，高为，其面积为，故D正确.
故选

13.【答案】80 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项与特定项系数，属于基础题.
根据通项公式，将代入即可求得答案.

【解答】

解：展开式的通项为，
令得，
的系数为
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查相交两圆的公共弦的方程，属于基础题.
将两个圆方程相减，直接得到公共弦AB的方程.

【解答】

解：圆与交于A，B两点，
则直线AB的方程为：
，
即
故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.
先由指数的运算对原式进行变形，再构造函数，通过单调性求解即可.

【解答】

解：由题知，
设，
则，，
令得，令得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得最大值，
即函数的最大值是
故答案为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查几何体的外接球，考查面面垂直的性质运用，点到面的距离，属于中档题.
由题意画出图形，由已知得到外接球球心G的位置，利用勾股定理解出，求出平面PCD的一个法向量，所以G到平面PCD的距离为，得到答案.

【解答】

解：如图，取AD的中点E，连接PE，则，
平面平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD，

取BC的中点O，由于四边形ABCD为等腰梯形，
且，则，
则可以得到，
过O作PE的平行线OM，则外接球球心G必在OM上，
，，设，则，
解出，
以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，
取可得，
所以G到平面PCD的距离为
故答案为

17.【答案】解：因为数列为等比数列，公比为q，且，，
所以或，
所以或，
又
所以，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
故或
依题意得公差，即，
由于，
所以，
从而，
，
又满足上式，
所以，
，
故 

【解析】本题考查等比数列和等差数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.
根据递推关系以及等比数列的通项可得，即可求通项公式；
依题意得公差，即，利用累乘法可得，根据裂项相消法求和即可求解.
 

18.【答案】证明：取DE的中点O，连接OM，OP
在等边三角形ABC中，M为线段BC的中点
知，，
又，面POM，面POM，
所以面POM，
又面POM，
故；
因为平面平面BDEC，面面，
，面PDE，所以面BDEC，
则OD，OM，OP两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，，，
则，，
平面PDE的一个法向量为；
设平面PDB的一个法向量为，
由
设，则，，故，
设平面PDE与平面PDB的夹角为，
由图易得平面PDE与平面PDB的夹角为锐角，
则，
所以平面PDE与平面PDB的夹角的余弦值为 

【解析】本题考查面面垂直的性质，考查利用向量法求二面角，属于中档题.
取DE的中点O，连接OM，OP，容易得到面POM，利用线面垂直的性质得到证明；
由已知平面平面BDEC，得到面BDEC，则OD，OM，OP两两垂直，故可建立空间直角坐标系，分别求出平面PDE的一个法向量和平面PDB的一个法向量，设平面PDE与平面PDB的夹角为，利用得到所求.
 

19.【答案】解：在中，由余弦定理知，

，
所以，
由正弦定理知，
所以
，
记，，则，
由可知，，
所以
，

，
所以，
，
，
其中，，，
故当，即时，四边形AOBE的面积取得最大值 

【解析】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，三角形面积公式和三角恒等变换，属于中档题.
根据题意结合余弦定理可得，结合正弦定理即可求解；
，转化为，即可求解.
 

20.【答案】解：由题意可知

零假设为性别与学生体育运动时间无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关联，
此推断犯错误的概率不大于
抽取的20人中，女生平均每天运动时间在、、、
的人数分别为2人、8人、8人、2人，易知X的所有可能取值为0，1，
，，，
所以X的分布列为：

数学期望 

【解析】本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列，属于中档题.
完成列联表，根据表中数据计算，分析可得答案；
求出，，，列出离散型随机变量分布列，求出期望.
 

21.【答案】解：联立方程组，
解出，，
所以双曲线C的方程是；
设直线AB的方程为①
双曲线C的方程可化为，
即②
由①②可得，
整理可得，
两边同时除以，
整理得③
，
则，是方程③的两个不同的根，
所以，即④
由①④可得，解得，
故直线AB恒过定点 

【解析】本题考查了双曲线的标准方程以及直线和双曲线的关系和圆锥曲线中的定值问题，属于中档题.
根据已知条件建立a，b，c的方程，解方程即可求出a，b，从而求出双曲线方程；
设直线AB的方程为，根据直线和双曲线的关系，利用韦达定理求出m和n之间的关系，从而求出直线所过定点.
 

22.【答案】解：不等式化为，
记，则，
①当时，则，所以在上单调递增，
满足要求；
②当时，令得，，
所以时，在上单调递减，
此时与题设不符，
所以，；
，
令得，
由题意，，是方程的两个不等实根记，
则，
当时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，，
又，，
所以，，
则，，由取，则时，
，
又代入，并整理得，
，
同理，，
所以 

【解析】本题主要考查利用导数研究函数单调性，单调区间，利用导数证明不等式，属于较难题.
不等式化为，构造函数，对求导讨论单调性，可得不等式恒成立时k的取值范围;
对函数求导讨论单调性以及两个极值点，满足的条件可证不等式.