2022届湖南省怀化市高三下学期一模数学试题（含答案解析）

2022届湖南省怀化市高三下学期一模数学试题

1.     已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数，则实数x，y分别为(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     二项式的展开式中的常数项是(    )

A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项

5.     已知a、，，则直线l：与圆C：的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定

6.     已知的分布列如下表：其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①②③，正确的个数是(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7.     已知平面向量、满足，且与的夹角为，则的最大值为(    )

A.  2 B. 4 C. 6 D. 8

8.     已知抛物线C：，O为坐标原点．若存在过点的直线l与C相交于A、B两点，且，则实数m的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     下列函数中，不存在极值点的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 我国疫情基本阻断后，在抓好常态化疫情防控的基础上，有力有序推进复工复产复业复市，成为当务之急.某央企彰显担当，主动联系专业检测机构，为所有员工提供上门核酸全覆盖检测服务，以便加快推进复工复产.下面是该企业连续11天复工复产指数折线图，则下列说法正确的是(    )

A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数增量
C. 第3天至第11天复工复产指数均超过
D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数增量

11. 设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是(    )

A.  B.
C.  D. 与均为的最大值

12. 如下图，正方体中，M为上的动点，平面，则下面说法正确的是(    )

A. 直线与平面所成角的正弦值范围为
B. 点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 点M为的中点时，平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知N为中点，当的和最小时，M为的三等分点

13. 已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是__________.
14. 自从申办冬奥成功之后，中国大力推广冰雪运动．统计数据显示，现中国从北到南总共有654块标准冰场和803块滑雪场，全国冰雪运动参与人数已达亿人．一对酷爱冰雪运动的年轻夫妇，让刚好十个月大的孩子把“0、2、2、2、北、京”六张卡片排成一行，若依次排成“2022北京”或“北京2022”，就说“很好”，那么“很好”的概率是__________.
15. 已知函数的部分图形如图所示，则函数的解析式为__________.
16. 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是__________.
17. 已知三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
    求角A的值；
    在解三角形问题中，若，且有两解，求边a的取值范围．
18. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
    
    若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程

若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问中所得到的线性回归方程是否可靠，

19. 已知数列为等比数列，其前n项的和为已知，且成等差数列.

求数列的通项公式；

已知，记，若对于恒成立，求实数m的范围.

20. 如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点F是棱BC的中点.

若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的大小；

若直线PB与过直线AF的平面平行，平面与棱PD交于点S，指明点S的位置，并证明.

21. 如图，矩形ABCD的长，宽以A、B为左、右焦点的椭圆M：恰好过C、D两点，点P为椭圆M上的动点．
    求椭圆M的方程，并求的取值范围；
    若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M、N两点点C与M、N两点不重合，且直线CM、CN的斜率分别为、，试证明为定值．

22. 已知函数，

当时，求在上的单调区间；

若，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查交集的运算，属于基础题.
先求出B中的元素，再利用集合交集的运算性质求解即可.

【解答】

解：由已知，所以，故选：

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．
按多项式乘法运算法则展开，化简为的形式，利用复数相等求出x、y即可.

【解答】

解：因为，所以，
所以，
得
故选：
 

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的增减性，属简单题．
由幂函数的增减性可得：函数在上单调递增，又，所以，即得解．

【解答】

解：因为，
，
又函数在上单调递增，
又，
所以，
故，
故选：

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查用二项展开式的通项公式求特定项，属于基础题.
根据二项展开式的通项公式令x的指数为0，求得k，进而求得常数项的项数.

【解答】

解：二项式的展开式的通项为，
令，得

常数项为第9项．
故本题选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系判断、点到直线距离．属基础题．
用点到直线距离与半径比较．

【解答】

解：由圆C：得圆心，
半径，
圆心C到直线l距离，
所以直线l：：与圆C：的位置关系是相切．
故选：

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了离散性随机变量分布列的性质，离散性随机变量的数学期望与方差，属于较易题.
根据离散型随机变量的分布列概率之和为1，以及方差、期望的计算公式即可求解.

【解答】

解：设“?”处的数据为x，则“!”处数据为，
则，即，
则，故①正确；
，故②错误；
，故③正确，
综上，正确的有2个.
故选：

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的运算及正弦定理，考查分析与计算能力，属于基础题．
在中，令，可得，可得点B在半径为R的圆上，，可得R，进而可得的最大值．

【解答】

解：向量 、 满足，且与的夹角等于 ，
如图在中，令 ， ，可得 ，
可得点B在半径为R的圆上，， 
则的最大值为，
故答案为：
 

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与抛物线的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
设A，B两点坐标，则可表示出，，利用，求得与A，B坐标的关系式，把点A，B代入抛物线方程，联立求得，根据已知进而求得关于的一元二次方程，进而根据两根之积为，判断出只可能有两个正根，建立不等式组求得m的范围即可．

【解答】

解：设A，B两点坐标为，，，
则，，
所以，①
因为点A，B在抛物线C上，
所以，，②
由①②消去得，
而，
即，所以，
因为，，所以，
整理得，③
所以关于的方程③有正根，
因为方程③的两根之积为，所以只可能有两个正根，
所以，解得
故选：

9.【答案】BAC 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题.
逐一求出函数的导数，根据取极值的条件进行判断即可.

【解答】

解：对于选项A，
由题意，函数的定义域为，
则，
函数在区间，上单调递增，不存在极值；
对于选项B，
函数，
根据指数函数的图象与性质可得，
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
所以函数在处取得最小值，但并不是极值点；
对于选项C，
函数，则，
所以函数在R上单调递减，没有极值点；
对于选项D，
函数，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，函数取得极小值，
故选

10.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查折线图表示的函数的认知和理解，属于基础题．
通过复工和复产指数的折线图中都有递减的部分来判断A；根据第二天到第三天的数据来判断B；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断CD；

【解答】

解：由图可知，这11天的复工指数和复产指数有增有减，故A错误；
在第二天到第三天，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；
第3天至第11天复工复产指数均超过，故C正确；
第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确.
故选：

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质，涉及数列的单调性，属中档题．
由等比数列的单调性和通项公式逐个选项验证可得．

【解答】

解：是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，
由可得，故B正确；
由可得，，故A正确；
由，得，
，即，故C错误；
结合，，可得D正确．
故选：

12.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了立体几何的综合问题，考查学生的分析推导能力，计算求解能力，属于困难题.
对于A，建立空间直角坐标系设点，求出从而即可求解.
对于B，结合题意连接、BD、、AC，结合线面垂直的性质定理即可求解.
对于C，设平面交棱于点，从而利用空间向量即可求解.
对于D，将矩形与矩形延展为一个平面即可推导求解.

【解答】

解：对于A选项，以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设长度为2，则点、、设点，

平面，则为平面的一个法向量，且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确;
对于B选项，当M与重合时，连接、、、，在正方体中，平面，平面，，四边形是正方形，则，，平面，平面，，同理可证，，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为设E、F、Q、N、G、H分别为棱、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误;
对于C选项，设平面交棱于点，点，，平面，平面，，即，得，，所以，点 E为棱的中点，同理可知，点F为棱的中点，则，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确;

对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：

若最短，则A、M、N三点共线，，，，所以，点M不是棱的三等分点，D选项错误.
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．
根据充分条件和必要条件的关系进行求解即可．

【解答】

解：等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，
则
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查古典概型，属于基础题．
试验发生包含的事件是把六张卡片排成一行其中包含三张相同的，共有种结果，满足条件的事件是有两个基本事件，根据古典概型概率公式得到结果．

【解答】

解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是把六张卡片排成一行其中包含两张相同的，共有种结果，
满足条件的事件是有两个基本事件，
婴儿受到父母夸奖的概率，
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合题．
由函数的部分图象，求出最小正周期T得；由求出，由求出A即得解析式.

【解答】

解：由图像知，周期，
所以因为点在函数图像上，
所以，
即
又因为，所以
从而，即又点在函数图像上，
所以，解得
故函数的解析式为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的图象，考查函数单调性的判断与最值计算，属于较难题．
根据的函数图象判断a，b，c，用c表示出，根据函数单调性求出最大值．

【解答】

解：作出的函数图象如图所示：

存在实数，满足，
，
，
由函数图象可知：，
设，则，
显然在上单调递增，
，，
在上存在唯一一个零点，不妨设为，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，
的最大值为
故答案为

17.【答案】解：因为，由正弦定理得，
所以
即，
因为，得，
所以，
所以或舍去，
故
由和余弦定理得，
即，要使有两解，则方程有两个正实数根，
即，
即 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简可求A；
由已知结合余弦定理及二次方程的根的存在条件可求a的范围．
 

18.【答案】解：由表中数据，求得，，由公式，可得
，，所以y关于x的线性回归方程为
当时，，同样当时，，
，所以，该研究所得到的回归方程是可靠的. 

【解析】本题考查了线性回归方程应用问题，处理数据的能力，属于中档题.
由数据计算、，求出回归系数，写出回归方程；
计算时的值和时的值，再比较得出结论，即可解决．
 

19.【答案】解：设公比为q，因为，，成等差数列，所以，

所以，故

又，故，所以

因为，，故，

所以，
又，

所以，所以

若对于恒成立，则对于恒成立，

即对于恒成立，所以对于恒成立，

令，则，
所以为减函数，所以，即

【解析】本题考查了等比数列的通项公式、“错位相减法”、数列的单调性、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于较难题．
利用等差数列的性质和等比数列的通项公式即可得出；
由，，可得，利用“错位相减法”即可得到；得到对于恒成立，即可得解.
 

20.【答案】解：分别以棱AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，

因为平面ABCD，所以即为PB与平面ABCD所成的角，即，
所以，
则、、、、，
则，，设平面PFC的法向量为，
由，得，令，则，故，
由于，，即，结合平面ABCD，易知平面PAF的法向量为，

设二面角的平面角为，，
则
由图可知二面角的平面角为钝角，

故二面角的大小为

连接BD与AF交于点G，由点F是棱BC的中点得

又，所以，
取点S为棱PD上的三等分点偏向点P的位置，

则在中，，所以，平面AFS即为平面，
因为，，所以
 

【解析】本题考查了利用空间向量求二面角，以及线面平行的判定，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.
分别以棱AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PFC的法向量及平面PAF的法向量，利用向量法即可求出二面角的大小；
连接BD与AF交于点G，取点S为棱PD上的三等分点偏向点P的位置，推导出，由此可证明
 

21.【答案】解：根据题意可得，
解得，
由勾股定理可得，
由椭圆的定义可得，
所以，
解得，
所以，
所以椭圆的方程为
设，则，
由题意可知，，
所以
，
因为，
所以，
所以的取值范围为
证明：由知点C的横坐标为，
把代入椭圆的方程，解得，
因为点C在第一象限，
所以，
所以，
根据题可得直线MN的方程为，设，，
联立，得，
所以，，
所以





所以为定值 

【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于难题．
根据题意可得，解得c，由勾股定理可得，由椭圆的定义可得，
解得a，又，解得b，即可得出椭圆的方程，设，则，由数量积公式可得，由于，即可得出的取值范围．
由知点C的横坐标为，代入椭圆的方程，解得点C的纵坐标，写出直线MN的方程为，设，，联立直线MN与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，即可得出答案．
 

22.【答案】解：当时，，则，

设，则
当时，单调递增，
又，，
所以存在唯一的，使得

当时，，单调递减；
当时，，单调递增.

而，
所以当时，，即，故单调递减.

当时，，所以单调递增.

故函数在上的单调递减区间为，单调递增区间为

，即，
当时，显然成立，
当时，，
①当时，即，
令，，则，
易知为开口向上，对称轴为且经过点，的二次函数，
如图，

由二次函数及正弦函数的性质可知，要使，
则，即，解得
②当时，，
令，，则，
易知为开口向下，对称轴为，且经过点，的二次函数，
由对称性及①的可知，
综上，实数a的取值范围为

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求参数的取值范围，属于困难题.
由，得出，再对求导，得出的单调区间即可；
进行分类讨论，数形结合，进而可得结果.