2022届重庆市高三三模数学试题（含答案解析）

2022届重庆市高三三模数学试题

1.     已知集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     函数的图象的一条对称轴为(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.     已知O为的重心，记，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知函数，则函数的零点个数为(    )

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

6.     北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了100人，得到如下列联表：

参考公式：，其中
附表：

则下列说法中正确的是(    )

A. 有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”
B. 有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”

7.    中国传统文化中，在齐鲁大地过年包饺子要包三样，第一是麸子，寓意幸福;第二是钱币，寓意求财;第三是糖，寓意甜蜜.小明妈妈在除夕晚煮了10个饺子，其中5个麸子饺子，3个钱币饺子，2个糖饺子，小明从中随机夹了3个饺子，则小明夹到的饺子中既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知数列的前n项和为，，则(    )

A.  B. 0 C.  D.

9.    已知复数，则(    )

A.  B. z的虚部为
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第一象限

10. 如图，在正方体中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段上不包含端点运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(    )
     

A.  B.  C.  D.

11. 已知双曲线的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线l交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线l绕着转动时，下列量保持不变的是(    )

A. 的周长 B. 的周长与之差
C.  D.

12. 在矩形ABCD中，，，E，F分别在边AD，DC上不包含端点运动，且满足，则的面积可以是(    )

A. 2 B.  C. 3 D. 4

13. 曲线在点处的切线方程为__________.
14. __________.
15. 已知点，，圆与线段包含端点有公共点，则r的取值范围是__________.
16. 已知，，且，则的最小值为__________.
17. 已知数列的前n项和为，，
    证明：为等比数列;
    求
18. 在平面四边形ABCD中，，，，，
    证明：AC平分
    求的面积.
19. 如图，在四棱锥中，，，，E是棱PA的中点，且平面
    
    证明：平面
    若，求二面角的余弦值.
20. 甲、乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分.已知甲、乙每次射击击中目标的概率分别为和，两人的各次射击是否击中目标相互独立.一局比赛中，若甲先射击.
    求甲、乙得分相同的概率;
    设乙的得分为X，求X的分布列及数学期望.
21. 已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴，
    求椭圆C的方程;
    已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值.
22. 已知函数，
    当时，求函数的单调性;
    当时，若函数有唯一零点，证明：
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的基本运算，补集、交集的求法．属于基础题.
直接求出A的补集，化简集合B，然后求出，即可．

【解答】

解：，
因为，
所以
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题.
由余弦函数的图象的对称性，求出函数图象的对称轴表达式即可求解．

【解答】

解：对于函数，令，，
求得，，时得到，
结合所给的选项，只有选项B符合题意.
 故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及指数函数和幂函数单调性，是基础题．
根据指数函数和幂函数单调性的性质求出a的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：函数在R上是增函数，则，
此时函数在上是增函数成立，即充分性成立；
若函数在上是增函数，，即，
此时函数在R上一定是增函数，则必要性成立，
故”函数在R上是增函数“是“函数在上是增函数”的充分必要条件.
故选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是向量的线性运算，属于基础题.
结合三角形法则及向量的线性运算求解即可.

【解答】

解：如图所示：

设D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，

所以
故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点、方程的根的个数，对数及对数方程，以及指数幂的化简求值，属于基础题.
根据函数的零点与方程根的关系求解即可.

【解答】

解：函数的零点个数即方程的根的个数，
当时，，解得舍，
当时，，解得或，
故函数的零点有2个.
故选

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了独立性检验的应用问题，属于基础题．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．

【解答】

解：根据列联表中的数据，计算，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”，即有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”.
故选

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查了古典概型的应用，属于中档题.
由题意可知：麸子饺子，钱币饺子，糖饺子三种饺子的个数可以是：，，，即可利用古典概型公式求解.

【解答】

解：麸子饺子，钱币饺子，糖饺子三种饺子的个数可以是：，，，
故小明从中随机夹了3个饺子共有种，
如果是1个麸子饺子，1个钱币饺子，1个糖饺子，则有种；
如果是1个麸子饺子，2个钱币饺子，则有种；
如果是2个麸子饺子，1个钱币饺子，则有种，
则既有麸子饺子又有钱币饺子的概率：

故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查数列递推公式的应用，考查数列的周期性，属于基础题．
根据递推公式得当n为奇数时，有，是以8为周期的数列，且，然后利用数列的周期进行求解可得．

【解答】

解：当n为奇数时，有，函数的周期为8，
故，
，，，，按此规律循环重复下去，，
故
故选

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的四则运算，复数的概念，考查数学运算的核心素养，属于基础题.
先化简复数z，再根据复数的概念逐项判定即可.

【解答】

解：复数，
对于A，，故A正确；
对于B，z的虚部为，故B正确；
对于C，为纯虚数，故C正确；
对于D，z的共轭复数为，在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误.
故选

10.【答案】BCD 

【解析】

【分析】
本题主要考查了异面直线，属于基础题.
利用不同在任一平面内的两条直线都是异面直线，逐项进行分析，得出结果.
【解答】
解：直线OP 在平面内运动，当 P 取中点时，，故O，P，A，四点共面，故A 选项不正确；
在平面中，直线、均与直线相交，记交点分别为 E 、 F ，则平面，平面，故平面内过O 点的直线除外均与直线、异面，B、C 选项都正确；
由知，平面，而直线OP 是平面内不与直线平行的直线，故直线OP 与异面，D 选项正确．  

11.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的定义与性质，考查分析解决问题的能力，属于中档题.
考虑特殊的两种情况的的周长可判断A，由双曲线的定义判断B，设点，用斜率表示正切值，结合点P在双曲线上从而求出是否为定值，即可判断C、

【解答】

解：当直线l的斜率趋近于时，的周长趋近于，
当直线轴时，的周长可用a，b表示，A选项不正确;
的周长，
因为a为定值，故B选项正确;
设点，，，
，与的取值有关，不是定值，C选项不正确;
为定值，D选项正确.
故选

12.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的应用，三角形的面积公式，三角恒等变换的应用，属于较难题.
记，，则，，由面积公式得，即可求出面积的范围，从而得解.

【解答】

解：记，则，，
由，
得
设，
因为E，F分别在边AD，DC上且不含端点，故，，，
，
因为，故，
，
故，而，
故B，C选项正确.
故选

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了导数的几何意义，直线的点斜式方程，属于基础题.
先求出函数的导数，即可求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，整理为一般方程.

【解答】

解：因为，所以，
则曲线在点处的切线的斜率，
则方程为即
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两角和的余弦公式的应用，以及诱导公式，属于基础题.
根据两角和的余弦公式以及诱导公式即可得解.

【解答】

解：


故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象和性质，属于中档题.
由题意求出线段AB的方程：，代入圆C的方程，整理得：，则原题等价于该方程在内有实根，即可求出r的取值范围.

【解答】

解：由题意知：线段AB的斜率为，
则AB的方程为，
即，代入圆C的方程，整理得：，
则原题等价于该方程在内有实根，
由二次函数的性质可得：，
即
故答案为

16.【答案】4 

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式求最值，属于中档题.
由给出的等式得出，则，利用基本不等式即可求解出最小值.

【解答】

解：已知，，由，得，则，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为
故答案为

17.【答案】解：

，
，
故是首项为1，公比为2的等比数列;
由知，，，
，
，
两式相减得，
即 

【解析】本题考查等比数列的判定以及错位相减法求和，属于中档题.
利用递推关系化简条件为，从而可证明等比数列；
求出，利用错位相减法求和即可.
 

18.【答案】解：在中，
由余弦定理得，
即
由正弦定理得，
故，
在中，，显然和均为锐角，
故，所以AC平分
由知，，
故的面积为
 

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
在中，由余弦定理求出由正弦定理求得，在中，求得，即可证得；
由求出，，利用面积公式求解出的面积.
 

19.【答案】证明：由知，点B在平面PAD内的射影即为的外心，
又，
故的外心为AD中点，设为F，即有平面
连接EF，FB，
则，又平面PCD，平面PCD，
故平面
又平面PCD，平面BEF，平面BEF，，
平面平面
平面平面，平面平面，

又平面PAD，
平面
解：，，
结合知，可以F为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

，，，
则，，，，
，，，
设平面PAB、平面PBC的法向量分别为，，
则由得，令，得；
由得，令，得
，
由图知二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为 

【解析】本题考查了线面垂直的判定，利用向量法求二面角，属中档题.
设的外心为AD中点，设为F，连接EF，FB，然后求出，再利用平面PAD进行后面的证明即可得；
以F为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，然后利用向量法进行求解可得.
 

20.【答案】解：甲、乙各得0分，即甲，乙第一次均未击中：；
甲、乙各得1分，即甲，乙第一次击中，第二次未击中：；
甲、乙各得2分，即甲，乙均击中2次：；
故两人得分相同的概率为
由题意知X的所有可能取值分别为0，1，2，3，4，
因为甲最多射击3次，所以表示乙第一次射击就未击中目标，其概率与甲的得分无关，
故，
，
时，考虑甲射击3次和少于3次两种情况，
，
，
，
X的分布列为：

【解析】本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的期望，属于中档题.
分别求出甲、乙各得0分；甲、乙各得1分；甲、乙各得2分的概率，相加即为两人得分相同的概率；
由题意知X的所有可能取值分别为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，列出分布列，求出期望.
 

21.【答案】解：由题知，，
，，，
故，
解得，椭圆方程为
设，，则，，
将代入椭圆C的方程得，
由知，且，，
直线，
令得，
，
在直线中令得，
，
由面积相等得，
即，，或舍
又， 

【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的面积问题，属于拔高题.
先求出，，然后再利用轴，列出方程可解得a，然后即可椭圆的方程；
设，，则，，将代入椭圆C的方程得，然后再利用韦达定理可得求出直线的方程得到D的横坐标，然后根据面积相等再进行后面的求解可得.
 

22.【答案】解：当时，
，
则，
显然在上单调递增，且，
故在上单调递减，在上单调递增.
证明：，
令，
显然是增函数，且，，
所以存在唯一的，使得，
当，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
所以，
因为函数有唯一的零点，
所以，且，
解得，
令，
则，
所以在是减函数，
因为，，
所以，
即 

【解析】本题考查利用导数判定函数单调性，求最值，考查零点问题，以及证明不等式，属较难题，
当时，则，显然在单调递增，且，即可得出函数的单调区间；
因为，所以，令，易得是增函数，且，，则存在唯一的，使得，即可得到单调性，由题意则可得到且，解得，令，根据函数零点存在性定理即可得证.