2022-2023学年北京市海淀区建华实验学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市海淀区建华实验学校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共20分）

1.    第届冬奥会将于年月日至日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.    下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    如图，根据计算长方形的面积，可以说明下列哪个等式成立(    )

A.
B.
C.
D.

6.    多项式与多项式的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，在和中，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点在边上的落点记为点，那么等于(    )
    

A.  B.  C.  D.

9.    为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为，，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 已知，是等边三角形．点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且，与交于点若是等腰三角形，则的度数是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

二、填空题（本题共8小题，共24分）

11. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形边数为______．
12. 计算：______．
13. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则旋转角度为______．

14. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具卡钳，在图中由三角形全等可知，工人测量的长度即可知道工件内槽宽的长度，理由是______．
15. 等腰三角形一边长等于，一边长等于，它的周长是______ ．
16. 已知，，则______．
17. 如图，，平分，于，交于若，则 ______ ， ______ ．

18. 如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______用含，的式子表示．

三、解答题（本题共8小题，共56分）

19. 分解因式：
    ；
    ．
20. 计算：
    ；
    ．
21. 已知，求代数式的值．
22. 如图，是上一点，交于点，，，与有什么关系？证明你的结论．

23. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，在轴上确定一点，使为等腰三角形．
    写出一个符合题意的点的坐标______；
    请在图中画出所有符合条件的．

24. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是年月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是，例如：，．
    如图，设日历中所示的方框左上角数字为，则上面发现的规律用含的式子可表示为______；
    利用整式的运算对中的规律加以证明．

25. 已知：在中，，平分交于点，点在线段上点不与点，重合，且．
    求证：．

26. 在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的，伴随图形．
    例如：点的轴，轴伴随图形是点．
    点的轴，轴伴随图形点的坐标为______；
    已知，，，直线经过点直线经过点
    当，且直线与轴平行时，直线与轴平行时，求点的，伴随图形点的坐标；
    当直线经过原点时，若的轴，伴随图形上只存在两个与轴的距离为的点，直接写出的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.不是轴对称图形，故C错误；
D.是轴对称图形，故D正确．
故选：．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，原计算正确，故此选项符合题意；
B、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方的运算法则，合并同类项法则，完全平方公式解答即可．
此题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握法则和公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系，得：
A、，不能构成三角形；
B、，能构成三角形；
C、，不能构成三角形；
D、，不能构成三角形．
故选：．
利用三角形的三边关系定理进行分析即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.，从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等式根据长方形的面积可以表示为，也可表示为两个长方形的面积和，即，所以．
【解答】
解：长方形面积两个小长方形面积的和，
可得．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
与多项式的公因式是，
故选：．
用提取公因式法和公式法分解因式，再根据公因式定义求得结果．
本题考查因式分解与公因式的定义，关键是熟练掌握因式分解的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余得到，结合题意利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明是本题的关键．根据折叠的性质可得，，然后根据，，证得，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【解答】
解：根据折叠的性质可得，．
，，
．
，
．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：过作于，

点到射线的距离为，
，
如图，

当点和点重合时，，此时是一个直角三角形；
如图，

当时，此时点的位置有两个，即有两个；
如图，

当时，此时是一个三角形；
所以的范围是或，
故选：．
先找出点的位置，再画出符合的所有情况即可．
本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，
，
若是等腰三角形，分三种情况：
若，则，
，
但，
，
的情况不存在；
若，则，
，
解得：，
；
若，如图所示：
则，
在中，，
，
解得：，
；
综上所述：的度数是或．
故选：．
由等边三角形的性质得出，由证明≌，得出，设，则，分三种情况：若，则，证出，得出的情况不存在；若，则，得出方程，解方程即可得出结果；若，则，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故这个多边形边数为．
故答案为：．
利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，
，等于旋转角，
为等边三角形，
，
即旋转角度为．
故答案为．
先利用互余得到，再根据旋转的性质得，等于旋转角，然后判断为等边三角形得到，从而得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明为等边三角形，
 

14.【答案】根据证明≌ 

【解析】解：连接，，如图，
点分别是、的中点，
，，
在和中，
，
≌．
．
答：需要测量的长度，即为工件内槽宽．
其依据是根据证明≌；
故答案为：根据证明≌．
根据测量两点之间的距离，根据全等的条件之一证得≌，即可得到，进而得出答案．
本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系  题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，据此解答即可．
【解答】
解：当腰为时，三角形三边的边长为、、，因为，不满足三角形的三边关系定理，所以不能形成三角形，不符合题意；当腰为时，三角形三边的边长为、、，因为，满足三角的三边关系定理，能形成三角形，所以等腰三角形的周长为．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
利用完全平方公式变形，将与代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

17.【答案】； 

【解析】解：平分，
，
，
，，
，
，
，
过作于点，
，平分，
，
，

在中，，
，
故答案为：，．
求出，即可得出，根据角平分线的性质得出，求出，即可求出．
本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
，，
，，
点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值．
故答案为：．
首先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小．
本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点在射线上运动，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
 

19.【答案】解：
；

． 

【解析】直接提取公因式分解因式即可；
直接提取公因式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解题关键．
 

20.【答案】解：

；


． 

【解析】利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答；
利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
本题考查了整式的除法，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式
，
当，即时，原式． 

【解析】根据完全平方公式进而多项式乘多项式法则展开，再进行化简，然后整体代入即可求值．
本题考查了整式混合运算．
 

22.【答案】解：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】结论：只要证明≌即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
 

23.【答案】 

【解析】解：一个符合题意的点的坐标答案不唯一，如：，
故答案为：答案不唯一，如：；
符合条件的如图所示：

根据等腰三角形的性质即可求解；
可分三种情况：；；；解答出即可．
本题主要考查了作图复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏．
 

24.【答案】 

【解析】解：设日历中所示的方框左上角数字为，则其余三个数从小到大依次是：，，，
规律用含的式子可表示为；
故答案为：；
证明：


．
根据题意用含的式子表示其余三个数，表达规律即可；
根据整式乘法公式，把化简，即可证明．
本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

25.【答案】证明：如图，在上截取，使，连接，

平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】在上截取，使，连接，根据全等三角形的性质推出，根据，得到，得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：由题意知沿轴翻折得点坐标为；
沿轴翻折得点坐标为，
点的轴，轴双反图形点的坐标为．
故答案为：；
当时，点坐标为，
直线经过点，且直线与轴平行，
直线为，
沿轴翻折得点坐标为，
直线经过点，且直线与轴平行，
直线为，
沿直线翻折得点坐标为，
点的，伴随图形点的坐标为；
直线经过原点，且经过点，
直线为，
A、、三点沿轴翻折点坐标依次表示为：、、，
A、、三点沿直线翻折点坐标依次表示为：、、，
由题意可知：或，
解得：或，
的取值范围为，且．
根据根据伴随图形的定义即可得出结论；
时，点坐标为，直线为，直线为，此时点先关于直线对称的点坐标为，再关于直线对称的点坐标为，进而得到点的伴随图形点坐标；
由题意得，直线为，、、三点的轴，伴随图形点坐标依次表示为：、、，由题意可得或，解出的取值范围即可．
本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来．