北师大版 (2019)3.2 基本不等式当堂达标检测题

3.2 基本不等式

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，且 ，则的最小值为(    )

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20

2. 若a，b都为正实数，，则ab的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设a，，且，，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知，，且满足，则的最小值是(    )

A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

5. 已知正数x，y满足，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(    )

A. 5km处 B. 4km处 C. 3km处 D. 2km处

7. 已知，，若，则(    )

A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最大值

8. 某商场对商品进行两次提价，现提出下面四种提价方案，提价幅度最大的一种是(    )

A. 先提价，后提价 B. 先提价，后提价
C. 两次均提价 D. 两次均提价

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列不等式正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

10. 设，，且，那么(    )

A. 有最小值 B. 有最小值
C. ab有最小值 D. ab有最大值

11. 设a，b均为正数，且，则下列结论正确的是(    )

A. ab有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值

12. 若，且满足，则(    )

A. 的最小值为4
B. 的最小值为2
C. 的最小值为
D. 的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设a，，，则的最大值为__________.
14. 不等式：①；②；③中，一定成立的是__________.
15. 已知x、y为两个正实数，且恒成立，则实数m的取值范围是__________.
16. 已知不等式的解集为，则__________；的最小值为__________.

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

若正数x，y满足，求：

的最小值；

求xy的最小值．

18. 本小题分
    为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．
19. 本小题分

已知，，且

求的最小值；

证明：

20. 本小题分
    已知x，，a，b为正常数，且
    若，，求的最小值；
    若，的最小值为18，求a，b的值；
    若，，且不等式恒成立，求实数m的取值范围．
21. 本小题分

如图，长方形ABCD表示一张单位：分米的工艺木板，其四周有边框，中间为薄板．木板上一瑕疵记为点到外边框AB，AD的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分别为m分米，n分米．

求证：；

为使剩下木板MBCDN的面积最大，试确定m，n的值；

求剩下木板MBCDN的外边框长度的长度之和的最大值及取得最大值时m，n的值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
根据由得，则，展开后利用基本不等式求最值即可，注意等号成立条件.

【解答】

解：由得，
则
，
当且仅当，即，时取“=”.
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
由已知结合基本不等式可得，可得结果．

【解答】

解：因为a，b都为正实数，，
则，
当且仅当时取等号．
故选：

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式，属于基础题．
根据基本不等式，分别判断大小关系，即可得解．

【解答】

解：，，
；
，
，
，

综上可知：
故选

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
运用三元基本不等式，结合不等式的解法，可得所求最小值．

【解答】

解：，，且满足，
可得，即有，
可得，当且仅当取得等号，
则的最小值为
故选：

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值，属中档题．
根据条件可得，再由，利用基本不等式求出的最小值．

【解答】

解：正数x，y满足，
，


，
当且仅当，
即，时取等号，
的最小值为
故选：

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题.
设仓库到车站的距离为xkm，当时，，，则，，可求得，即可求解.

【解答】

解：设仓库到车站的距离为xkm，则，
当时，，，
，，
，
当且仅当，即时，取得最小值8，
故选

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，是中档题．
根据题意，结合基本不等式，逐项判断即可.

【解答】

解：，，且，
，，，当且仅当时取等号，
，
有最小值8，故A正确；
由上可知，当且仅当时取等号，当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，ab逐渐接近于0，ab没有最小值，故有最大值2，没有最小值，故B错误；
同样当a逐渐接近于0，此时b逐渐接近于4，趋近于，
没有最大值，故C错误；
，
由于只有最大值，没有最小值，
只有最大值，没有最小值，
没有最大值，故D错误.
故选：

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题以商品提价为背景，考查了基本不等式的应用，属于中档题.
逐一得到各选项两次提价后商品价格，再利用基本不等式比较大小即可.

【解答】

解：由题意不妨设商品原价为a，
A，B选项两次提价后商品价格均为，
C选项提价后商品价格为，
D选项提价后商品价格为
由，
，
，
，
提价幅度最大的为D选项.
故选

9.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题重点考查基本不等式，属于基础题.
利用基本不等式和特殊值法逐个判断即可.

【解答】

解：对于A、若，则，当且仅当时取等号，故正确；
对于B、，由于取等条件无法满足，故，故错误；
对于C、当时，，故错误；
对于D、若，则，当且仅当时取等号，故正确，
故选

10.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是公式的灵活应用．
由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．

【解答】

解：因为，，且，
所以，当且仅当时取等号，
解得，或舍，
故有最小值，A正确，B错误；
由，当且仅当时取等号，
解得，
即ab有最小值，C正确，D错误．
故选：

11.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题.
利用基本不等式分别判断选项AB的对错，对于CD，由，且，转化为关于b的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错.

【解答】

解：正实数a，b满足，
由基本不等式可得，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故ab有最大值，故A正确；
由于，
，
当且仅当，时等号成立，
故有最大值为，故B正确；
由a，b均为正数，且，
则，且，
则
，
当，时，
有最小值，故C正确；
，

，
，，，
没有最小值，故D错误.

故选

12.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归思想和运算求解的能力.

将，变形为，然后利用“1”的代换，由利用基本不等式求解；根据，再用“1”的代换，由利用基本不等式求解.

【解答】

解：因为，且满足，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为4，

因为，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为

故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式，即可求出的最大值．

【解答】

解：由题意，a，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
的最大值为，
故答案为

14.【答案】①③ 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式性质、基本不等式的相关知识，属于基础题.
利用基本不等式以及不等式的性质可解.

【解答】

解：，故①成立；
，故③成立；
取，可排除②，故②不成立．
故答案为：①③.

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题.
由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出实数m的取值范围.

【解答】

解：因为x、y为两个正实数，由可得，
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，，因此，实数m的取值范围是
故答案为：

16.【答案】

8

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解集与相应方程的根与系数的关系和基本不等式，属一般题．
根据不等式的解集可得a，b，c之间的关系，可以求出然后将用a表示，再用基本不等式求其最小值即可.

【解答】

解：的解集为，
，，，
则，，
所以，
，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为
故答案为：

17.【答案】解：，，，



，
当且仅当时，即时取等号，
的最小值为5；
正数x，y满足，
，
解得：，当且仅当时取等号．
的最小值为 

【解析】本题主要考查基本不等式在求最值的应用.
由，，，可得，利用基本不等式的性质即可得出；
由正数x，y满足，利用基本不等式可得，求解即可.
 

18.【答案】解：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积，
由所选农田的长为，宽为，
农田面积，
由不等式，当且仅当时，最小，即农田面积最小，
，所以，
所以农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小． 

【解析】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，考查分析与计算能力，属于基础题.
设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积，由所选农田的长为，宽为，
得到农田面积，结合基本不等式求得最值即可得解.
 

19.【答案】解：解法1：因为，，且，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
由解得，
所以的最小值为
解法2：因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
由解得，
所以的最小值为
证明：证法1：因为，，
所以

当且仅当时，等号成立，解得，，此时
所以
证法2：由于，，，得，
要证明，只要证明，
即证，只要证
由于，则只要证明，
即，
因为，
所以成立，
所以 

【解析】本题考查基本不等式，利用基本不等式求最值，涉及二次不等式恒成立问题，考查逻辑推理能力和变形转化的能力.
解法1：由，，且，，再利用基本不等式求最小值；
解法2：由，，且，利用乘“1”法，，再利用基本不等式求最小值；
证法1：将的分母变为，分母利用基本不等式得，注意等号成立的条件可得结论；
证法2：利用分析法要证明，通过变形只要证，利用恒成立可得结论.
 

20.【答案】解：由题意：，
则
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为16；
因为，且x，y，a，，
则

，
当且仅当时取等号，
则，即，
解得：或；
解法一：由题意，，
则，则；
因为不等式恒成立，
则，
又
；
且

，
当且仅当，
即，时取等号；
所以m的取值范围是；
法二：因为不等式恒成立，
则，
则；
因为，，
当，
即，时，，
所以m的取值范围是 

【解析】 本题考查利用基本不等式求最值，也考查了不等式恒成立问题，属于较难题．
由题意，利用基本不等式求得的最小值；
由题意，利用基本不等式求得取最小值时a、b的值；
解法一，由题意，利用分离常数法和基本不等式，求得m的取值范围；
解法二，利用分离常数法和构造函数求函数的最值，从而求得m的取值范围．
 

21.【答案】解：过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，
，
则与相似，
从而，                      
所以，
即
欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN的面积最小．
由得， ，
当且仅当，即，时，“=”成立，
故当，时，剩下木板MBCDN的面积最大.
       
欲使剩下木板的外边框长度最大，即要最小．
由知，，
当且仅当即，时，“=”成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时， 

【解析】本题考查了利用基本不等式求解实际问题，属于较难题.
先过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，可得到与相似，从而得到；
由题意利用基本不等式即可得到的最小值，从而得到剩下木板的面积最大；
由题意知要使最小，再由得到的与相乘，利用基本不等式即可得到的最小值，最后即可得到剩下木板的外边框长度的最大值.