解三角形及其应用-2023届新高考数学高三二轮复习专题练习

这是一份解三角形及其应用-2023届新高考数学高三二轮复习专题练习，共24页。试卷主要包含了5 minD，【答案】A，【答案】2829，【答案】215，【答案】4，【答案】9，【答案】8等内容，欢迎下载使用。
解三角形及其应用    在中，角的对边分别是，，，若，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D.    已知在中，内角，，的对边分别为，，．，，，若三角形有两个解，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D.    甲船在岛的正南处，以的速度向正北航行，，同时乙船自岛出发以的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(    )A.  B.  C.  D.    在中，则的形状是(    )A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形   在中，，为线段上的动点，且，则的最小值为(    ) A.  B.  C.  D.    已知平面单位向量，满足设，，向量，的夹角为，则的最小值是________．   在中，若，则的最大值为          ．   如图，在四边形中，已知，，，，，则          ．   在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为          ．在中，角所对的边分别为，已知，点满足，则          ，          如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，，，则长度的最大值为          ．
     在中，角、、的对边分别为、、已知，，．
求的值；
在边上取一点，使得，求的值．夜晚，在侨中栋楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事．完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度如图，博爱路沿线的水平路面上有两点，，其中指向正西方向首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的，两点，测得，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是准确的．   通过计算说明百度地图测距是否准确？   如图小组在处测得完美大厦主楼楼顶在西偏北方向上，在处测得楼顶在西偏北方向上，且仰角；通过计算得，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度精确到米． 在条件向量与向量共线；；中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．在中，角所对的边分别为，且满足________求三角形的面积．注：如选择多个条件分别解答按第一个解答计分 在中，角的对边分别为，且满足．求角的大小；若点为中点，且，求． 为建设社会主义新农村，响应党的号召，确保农民兄弟夜间出入平安，桥市人民政府决定在村村通的每条公路边竖直安装同种型号的路灯，如图，路宽为，灯柱高为米，灯杆长为米，且灯杆与灯柱成角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为，灯罩轴线与灯杆垂直．



设灯罩轴线与路面的交点为，若米，求灯柱的高；
设米，若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点，另一条与地面的交点为，如图，求的值及该路灯照在路面上的宽度的长。在中，角，，的对边分别为，，，且的面积为．求角的大小；现给出三个条件：，；边上的中线长为；为边上一点，，从中选出两个可以确定的条件，写出您的选择，并以此为依据求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．为保障公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围千米处不能收到手机信号，如图，检查员抽查某市一考点，以考点正西千米的处开始为检查起点，沿着一条北偏东方向的公路，以每小时千米的速度行驶，并用手机接通电话，问从起点开始计时，最长经过多少分钟检查员开始收不到信号点开始，并至少持续多长时间之间该考点才算检查合格？疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为地路面，为消毒设备的高，为喷杆，，处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角已知．
  Ⅰ当重合时，求消毒水喷洒在路面宽度的长； Ⅱ求消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值． 某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深入近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域如图所示，其中三角形区域为健身休闲区，四边形区域为文娱活动区，，，，，，为主题公园的主要道路不考虑宽度，已知，，，．求道路的长度；求道路，长度之和的最大值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查正弦定理、两角和的正弦公式的应用，以及基本不等式求最值，难度一般．
先由正弦定理、两角和的正弦公式得到，再用基本不等式即可解答．【解答】解：因为，所以，
，
，即，
因为
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选D．  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．
由题意判断出三角形有两解时的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出的范围即可．【解答】解：由，要使三角形有两解，就是要使以为圆心，半径为的圆与有两个交点，
当时，圆与相切，
当时交于点，也就是只有一解，
，且，
即，
由正弦定理以及，
可得：，
．
的取值范围是．
故选C．  3.【答案】 【解析】【分析】本题考查解三角形问题在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的灵活运用，考查计算能力，属于中档题．
结合图，利用余弦定理求解即可．【解答】解：如图，

设小时后甲行驶到处，，
乙船行驶到处，，，
，
化简得：，
抛物线开口朝上，
在对称轴处有最小值，
取最小值时，即．
故选A．  4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查三角形形状的判断，正弦定理，属于基础图．
根据 与正弦定理的关系，即可得解．【解答】解：已知，
根据正弦定理得 ，
则，所以，同理可得，
即，即三角形为等边三角形，
故选C．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查了三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的应用，三点共线，以及利用基本不等式求最值，综合性较强，属于拔高题．
先利用已知条件结合正余弦定理和三角形面积公式解出，，的大小，由平面向量共线定理得到与的关系等式，再由基本不等式求得最小值即可．【解答】解：，，
因为，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，
所以，三角形为直角三角形，角为直角，
因为，
由三角形面积公式得，所以，，
由余弦定理可得
化简得，所以可得，，，
，因为，，三点共线，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故选A．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题
设、的夹角为，由题意求出；再求，的夹角的余弦值的最小值即可．【解答】解：设、的夹角为，由，为单位向量，满足，
所以，
解得；
又，，且，的夹角为，
所以，
，
；
则，
所以时，取得最小值为．
故答案为．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系和基本不等式的运用．
由题意得到，代入中，利用基本不等式即可求解．【解答】解：在中由正弦定理得，，
在中由余弦定理得，
，，
所以


，      
所以 ，
，
当且仅当时取“”，
又因为在中，
所以，
所以当取得最小值时，有最大值为．
故答案为．  8.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考查对正弦定理和余弦定理的灵活运用，属于中档题．在中，利用余弦定理建立方程，求出即可求出及的正弦值，余弦值，由展开计算，进而利用正弦定理求得．【解答】解：在中，由余弦定理得，
所以，所以，又，所以，，所以，所以
 ，在中，由正弦定理得，所以．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查三角形面积公式，利用“”的代换结合基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．
根据三角形的面积关系求得，结合基本不等式，利用“”的代换进行求解即可．【解答】解：因为，的平分线交于点，
所以，
由三角形的面积公式可得，
化简得，又，，
所以，
则
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
故答案为．  10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
由已知利用余弦定理即可求得的值，进而求得的值，利用余弦定理可求的值．【解答】解：，，，
由余弦定理：，
可得：，
整理解得：，或舍去．
点满足，可得：，
，
在中，由余弦定理可得：
，
解得：．
故答案为；．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查正弦定理及三角函数的图象与性质的应用，属于较难题．
设，利用正弦定理得出，结合辅助角公式与两角和与差的三角函数公式化简，再由三角函数的图象与性质求出最大值即可．【解答】解：设，则，
，
在三角形中，由正弦定理得

在三角形中，由正弦定理得
，



，
，
，则，且，
当时，，
则取时，满足，说明可以取到，
此时长度最大为．
故答案为：．
   12.【答案】解：因为，，，由余弦定理可得：
，
由正弦定理可得，所以，
所以；
因为，所以，
在三角形中，易知为锐角，由可得，
所以
，
因为，所以，
所以． 【解析】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
由题意及余弦定理求出，再由正弦定理求出的值；
根据展开可得及，进而求出的值．
 13.【答案】解：设，等腰中， 
 中，，
可得，
由正弦定理得；
中，由余弦定理得，
， ，
百度地图测距是准确的
由已知，
在中，，设，
由余弦定理得，，
，
故，
解得，，
中， ． 【解析】本题考查了正余弦定理在解三角形计算中的综合实际应用，属于中档题．
先设，再根据图象及已知分别用正余弦定理可得到、含的值，最后由题意即可得到答案；
由已知可得到，再设，再根据余弦定理得到，，，最后即可解出的大小．
 14.【答案】解：若选，
向量与向量共线，，由正弦定理边化角得，即，又，，，，；由余弦定理得，，三角形的面积为；若选：由题设及正弦定理得，，由，可得，，， ，．由余弦定理得，，三角形的面积为；若选：由已知得，由正弦定理角化边得，由余弦定理得，，，由余弦定理得，，三角形的面积为． 【解析】本题考查平面向量的共线定理，解三角形中的正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，属于中档题．若选由向量与向量共线，得，由正弦定理求出，再由余弦定理求出，最后代入三角形的面积公式即可求解
若选：由题设及正弦定理得，求出，再由余弦定理求出，最后代入三角形的面积公式即可求解
若选：由已知得，由正弦定理角化边得，利用余弦定理求出，再求出，最后代入三角形的面积公式即可求解．
 15.【答案】解：，
所以， 
则， 
所以
，
则，，
可得，
所以，
则，
所以或由于，舍去，
故B；
设，，
在中，由余弦定理得：，
在中同理可得：，
因为，所以：，
化简得，代入，可得：，
解得：，
在中，由正弦定理得，解得：． 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于较难题．
利用正弦定理，三角形内角和定理，三角恒等变换的应用化简已知等式可得，由于，可得，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得，解得，即可求得的值；
设，，在，中由余弦定理求出，，由条件建立方程化简后得到与的关系式，代入式子求出，在中由正弦定理求出的值
 16.【答案】解：如图，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为因为，，，所以，，所以，，又，，所以，因为，所以，解得，故灯柱的长为米．
在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，所以故，，所以，在中，由正弦定理得，故米． 【解析】本题考查了解三角形的实际应用，正余弦定理解三角形．
作，，求出，，得出的长，根据求出，从而得出的长；
利用公式计算，在中，利用正弦定理计算．
 17.【答案】解：由题意知：，又，， ， ，由于，故；
若选，由，，得：，即，则由余弦定理得，，
得，则，
由正弦定理得，可得，
，，，
，，即，，；若选，由，，得：，即，
则由余弦定理得，，
得，则，
由正弦定理得，可得，
，，由得，，即，为角的平分线，
，，，；若选，，，
，，
又由得，，即，为角的平分线，
，
，平方得，解得，
． 【解析】本题考查平面向量和解三角形的综合应用，属于拔高题．
由题意知：，结合，可得，即可求；
若选，由向量平行的坐标表示求得，由余弦定理得，由正弦定理求，结合即可求面积；
若选，由向量平行的坐标表示求得，由余弦定理得，由正弦定理求，由数量积的运算性质可得，进而求出，即可求面积；
若选，由数量积的运算性质可得，又，再利用三角形的面积公式即可求解．
 18.【答案】解：根据题意，考点为、检查开始处为，设检查员行驶到直线上的、两点之间时收不到信号，
即公路上、两点到考点的距离为千米，
在中， 千米，千米，，
由正弦定理，
可得，不合题意，
，可得千米，
中，，，
为等边三角形，可得千米．
因此检查员在上行驶，需要分钟，在上行驶，需要分钟．
答：该检查员最长需要分钟开始收不到信号，并持续至少分钟才算合格． 【解析】本题考查了正弦定理和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．
根据题意，设检查员行驶到直线上的、两点之间时收不到信号，在中根据正弦定理算出，可得，从而得到，进而得到是边长为等边三角形，得千米．再由检查员的行驶速度和、长，即可算出各自需要的时间．
 19.【答案】解：Ⅰ依题意得，， ， ，
，，  ，故在中，利用正弦定理： ；Ⅱ在中作边上的高，长度为． ，则 ，从而利用余弦定理：， ，                             当且仅当时，等式成立．
故，而，则，的最小值为． 【解析】本题考查了解三角形的实际应用，考查了正弦定理，余弦定理，考查了利用均值不等式求最值，属于中档题．Ⅰ依题意得利用余弦定理可得，， 即， ，可得，，则由正弦定理可得消毒水喷洒在路面宽度的长；Ⅱ在中作边上的高，长度为， 则 ，从而利用余弦定理与均值不等式可得消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值．
 20.【答案】解：如图，连接，在中，由余弦定理得，所以，因为，所以，又，所以，在中，，，，由正弦定理得，所以，或舍去，所以，，得，即的长度是．设，因为，所以，在中，由正弦定理得，因为，所以，，所以，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，即道路，长度之和的最大值为． 【解析】本题主要考查三角函数的应用，考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．如图，连接，由余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即得的长度；设，利用正弦定理求出，再利用三角函数求和的最大值．