江苏省连云港市灌南县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江苏省连云港市灌南县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 cmB．3 cmC．7 cm或3 cmD．8 cm
3．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
4．如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
5．如图，在△ABC中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使PA+PB＝BC，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（ ）
A．80°B．100°
C．130°D．发生变化，无法确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若△ABC≌△DEF，则AC的对应边是 ．
10．如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD＝∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“AAS”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件是 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
12．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 ．
13．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积为 cm2．
14．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段葛藤的长是 cm．
15．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为 ．
16．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，直线l经过顶点A，且与边BC平行，在直线l上有一点P，当AP的值为 时，使得∠APC＝∠ACB．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡上指定区域内作答。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）已知：如图，AB＝AD，BC＝DC．求证：∠B＝∠D．
18．（6分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A'B'C'D'；
（2）在直线l上找一点P，连接AP、DP，使得AP+DP的值最小；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）AP+DP的最小值为 ．
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC＝AB．
20．（10分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．
21．（10分）小明同学用圆规和直尺按下面方法作∠AOB的平分线：
作法：①如图，以O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB交于点C，D；
②再以任意长为半径画弧与OA，OB交于点E，F；
③连接CF，DE交于点P，连接OP，则OP平分∠AOB．
老帅说：小明同学这种作角平分线的方法是正确的，并且小明已证出△OCF≌△ODE，从而得到了∠OFC＝∠OED，下面请你帮助小明同学完成后面OP平分∠AOB的证明．
22．（10分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠A、∠B使点A、B落在斜边AB点D处，折痕分别为ME，NF，连接MD，DN．
（1）求证：∠MDN＝90°．
（2）若AC＝6，BC＝8，AM＝2，求线段DN的长．
24．（12分）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；
当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；
当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据此规律第四组勾股数是 ．
（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点D在线段AC上，且CD＝2cm，动点P从距A点10cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动了t秒．
（1）AD的长为 cm；
（2）求t为何值时，线段CP等于线段BP？
26．（14分）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AE⊥BC于点E，交BO于点F．
（1）求线段OF的长度；
（2）连接OE，求证：∠OEF＝45°；
（3）如图2，若点P为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交线段OA延长线于N点，则S△BPM﹣S△APN的值是否发生改变，若改变，请求出S△BPM﹣S△APN的变化范围；若不改变，请求出S△BPM﹣S△APN的值．
2022-2023学年江苏省连云港市灌南县八年级（上）期中数学试卷 （参考答案与详解）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 cmB．3 cmC．7 cm或3 cmD．8 cm
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故选：B．
3．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【分析】根据作图过程，O′C′＝OC，O′B′＝OB，C′D′＝CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
【解答】解：根据作图过程可知O′C′＝OC，O′B′＝OB，C′D′＝CD，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．
故选D．
4．如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB于E，PD⊥BC于D，PF⊥AC于F，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使PA+PB＝BC，下列作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用PA+PB＝BC，则可判断PA＝PC，根据线段垂直平分线的性质得到点P为AC的垂直平分线与BC的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【解答】解：∵PA+PB＝BC，
而PB+PC＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：B．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，
∴∠BAC＝108°，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】由勾股定理求出AC＝10，求出BE＝4，设DE＝x，则BD＝8﹣x，得出（8﹣x）2+42＝x2，解方程求出x即可得解．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴DE＝5，
故选：B．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（ ）
A．80°B．100°
C．130°D．发生变化，无法确定
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MC＝MB＝ME，MF＝MB＝ME，得到MB＝MC＝ME＝MF，证明结论，于是得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点M为线段BE的中点，
∴MC＝BM，即MC＝MB＝ME，
∵EF⊥AB，点M为线段BE的中点，
∴MF＝BF，即MF＝MB＝ME，
∴MB＝MC＝ME＝MF，
∴点B、C、E、F在以点M为圆心的同一个圆上；
∴∠CMF＝2∠CBA＝100°，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．若△ABC≌△DEF，则AC的对应边是 DF ．
【分析】根据全等三角形对应边相等，对应边相等可得答案．
【解答】解：因为△ABC≌△DEF，所以AC的对应边是DF．
故答案是：DF．
10．如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD＝∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“AAS”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件是 ∠D＝∠C ．
【分析】由于∠CAD＝∠BAD，加上AD为公共边，所以当添加∠D＝∠C时，依据“AAS”可判断△ABD≌△ACD，
【解答】解：∵∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，
∴当添加∠D＝∠C时，△ABD≌△ACD（AAS）．
故答案为：∠D＝∠C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 40° ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
12．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是 50°或65° ．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或65°．
13．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积为 120 cm2．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线12cm，
∴斜边长为2×2＝24cm，
∵斜边上的高线为10cm，
∴面积为×24×10＝120cm2．
故答案为：120．
14．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段葛藤的长是 30 cm．
【分析】根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【解答】解：由题意可得，展开图中AB＝24cm，BC＝18cm，
则在Rt△ABC中，AC＝＝＝30（cm）．
∴这段葛藤的长是30cm．
故答案为30．
15．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为 8 ．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，
则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，
MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
△PMN的周长＝P1P2，
∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8．
故答案为：8．
16．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，直线l经过顶点A，且与边BC平行，在直线l上有一点P，当AP的值为 2或4 时，使得∠APC＝∠ACB．
【分析】在直线l上分别截取AP＝AB，AP′＝2AB，连接CP，CP′，根据等边三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：AP＝2或4时，使得∠APC＝∠ACB，理由如下：
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AC＝2，∠BAC＝∠B＝60°，
在直线l上分别截取AP＝AB＝2，AP′＝2AB＝4，
∴AP＝AC，
∵直线l经过顶点A，且与边BC平行，
∴∠PAB＝∠B＝60°，
∴∠PAB＝∠BAC＝60°，
∴∠ACP＝∠APC＝30°，
∴∠APC＝∠ACB；
∵∠CAP′＝180°﹣120°＝60°，
如图，连接CD，
∵AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴DC＝AD＝DP′，
∴∠AP′C＝30°，
∴∠AP′C＝∠ACB．
∴当AP的值为2或4时，使得∠APC＝∠ACB．
故答案为：2或4．
三、解答题（本大题共10小题，共102分。请在答题卡上指定区域内作答。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6分）已知：如图，AB＝AD，BC＝DC．求证：∠B＝∠D．
【分析】连接AC，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，通过SSS可正全等，所以∠B＝∠D．
【解答】证明：连接AC，在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D．
18．（6分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A'B'C'D'；
（2）在直线l上找一点P，连接AP、DP，使得AP+DP的值最小；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）AP+DP的最小值为 5 ．
【分析】（1）分别作出四个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）连接AD′，与直线l的交点即为所求；
（3）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，四边形A′B′CD′即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）AP+DP的最小值，即线段AD′的长，其最小值为＝5．
故答案为：5．
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC＝AB．
【分析】（1）由AB＝AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B＝∠C＝30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC＝120°，而∠DAB＝45°，则∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°；
（2）根据三角形外角性质得到∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，而由（1）得到∠DAC＝75°，再根据等腰三角形的判定可得DC＝AC，这样即可得到结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；
（2）证明：∵∠DAB＝45°，∠DAC＝75°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴DC＝AC，
∵AB＝AC，
∴DC＝AB．
20．（10分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．
【分析】（1）根据大正方形的面积＝直角三角形的面积+小正方形的面积可得结论；
（2）利用完全平方公式结合正方形及直角三角形的面积计算可求解．
【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；
（2）由图可知，（b﹣a）2＝4，4×ab＝12﹣4＝8，
∴2ab＝8，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+2×8＝20．
21．（10分）小明同学用圆规和直尺按下面方法作∠AOB的平分线：
作法：①如图，以O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB交于点C，D；
②再以任意长为半径画弧与OA，OB交于点E，F；
③连接CF，DE交于点P，连接OP，则OP平分∠AOB．
老帅说：小明同学这种作角平分线的方法是正确的，并且小明已证出△OCF≌△ODE，从而得到了∠OFC＝∠OED，下面请你帮助小明同学完成后面OP平分∠AOB的证明．
【分析】由作法得OC＝OD，OE＝OF，则可判断△OCF≌△ODE，根据全等三角形的性质得到P点到OE、OF的距离相等，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断点P在∠EOF的平分线上，从而得到小明同学这种作角平分线的方法正确．
【解答】证明：小明同学这种作角平分线的方法是正确的．
理由如下：由作法得OC＝OD，OE＝OF，
在△OCF和△ODE中，
，
∴△OCF≌△ODE（SAS），
∴∠OEP＝∠OFP，
∵OE＝OF，OC＝OD，
∴CE＝DF，
∵∠CPE＝∠DPF，
∴△CPE≌△DPF（AAS），
∴PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（AAS）
∴∠POE＝∠POF，
∴OP平分∠AOB．
22．（10分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠A、∠B使点A、B落在斜边AB点D处，折痕分别为ME，NF，连接MD，DN．
（1）求证：∠MDN＝90°．
（2）若AC＝6，BC＝8，AM＝2，求线段DN的长．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠MDA＝∠A，∠NDB＝∠B，由余角的性质可得结论；
（2）构造直角三角形根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由折叠的性质得∠MDA＝∠A，∠NDB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠MDA+∠NDB＝90°，
∴∠MDN＝90°；
（2）由折叠的性质得AM＝DM，NB＝ND，∠MDA＝∠A，∠NDF＝∠B，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠MDA+∠NDF＝90°，
∴∠MDN＝90°．
如图，连接MN，在Rt△MDN和Rt△CMN中，设DN＝DM＝x，则CN＝8﹣x，
AM＝MD＝2，则MC＝6﹣2＝4，
根据勾股定理，得CM2+CN2＝MN2，DM2+DN2＝MN2．
即42+（8﹣x）2＝22+x2，解得x＝．
答：线段DN的长为．
24．（12分）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；
当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；
当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．
（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ （n2﹣1） ，弦＝ （n2+1） ，则据此规律第四组勾股数是 （9，40，41） ．
（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．
【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；当n＝9时，即可求出第四组勾股数；
（2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行解答即可．
【解答】解：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝（n2﹣1），弦＝（n2+1）；
当n＝9时，（n2﹣1）＝40，（n2+1）＝41；
∴第四组勾股数是 （9，40，41）；
故答案为：（n2﹣1），（n2+1），（9，40，41）；
（2）证明：∵a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数，
（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点D在线段AC上，且CD＝2cm，动点P从距A点10cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动了t秒．
（1）AD的长为 6 cm；
（2）求t为何值时，线段CP等于线段BP？
【分析】（1）根据勾股定理得到结论；
（2）分别用含有t的代数式表示出PB和PC，列出方程求解即可求得结果．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，
∴AC＝＝8（cm），
∵CD＝2cm，
∴AD＝AC﹣CD＝6（cm），
故答案为：6；
（2）当PC＝PB时，
即＝PB，
∴＝10﹣2t+6．
解得：t＝，
经检验，t＝是原方程的根，
∴t为时，线段CP等于线段BP．
26．（14分）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AE⊥BC于点E，交BO于点F．
（1）求线段OF的长度；
（2）连接OE，求证：∠OEF＝45°；
（3）如图2，若点P为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交线段OA延长线于N点，则S△BPM﹣S△APN的值是否发生改变，若改变，请求出S△BPM﹣S△APN的变化范围；若不改变，请求出S△BPM﹣S△APN的值．
【分析】（1）证△OAF≌△OBC（ASA），根据全等三角形的性质即可得出OF＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥AE于N点，证△COM≌△FON（AAS），得出OM＝ON．得出EO平分∠CEA，即可得出结论；
（3）连接OP，由等腰直角三角形的性质得出OP⊥AB，∠BOP＝∠AOP＝45°，OP＝AP＝BP，则∠OAP＝45°，证出∠PAN＝∠MOP，证△OPM≌△APN（ASA），得S△OPM＝S△APN，进而得出答案．
【解答】（1）解：∵BO⊥AC，AE⊥BC，
∴∠AOF＝∠BOC＝∠AEC＝90°，
∴∠OAF+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，
∴∠OAF＝∠OBC，
在△OAF和△OBC中，
，
∴△OAF≌△OBC（ASA），
∴OF＝OC，
∵OC＝1，
∴OF＝1；
（2）证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥AE于N点，如图所示：
在四边形OMEN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠FON＝90°﹣∠MOF，
在△COM与△FON中，
，
∴△COM≌△FON（AAS），
∴OM＝ON，
∵OM⊥CB，ON⊥AE，
∴EO平分∠CEA，
∴∠OEF＝∠AEC＝45°；
（3）解：S△BPM﹣S△APN的值不发生改变，等于，理由如下：
连接OP，如图所示：
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，P为AB的中点，
∴OP⊥AB，∠BOP＝∠AOP＝45°，OP＝PA＝BP，
∴∠OAP＝45°，∠MOP＝90°+45°＝135°，
∴∠PAN＝135°＝∠MOP，
∵MP⊥NP，
即∠MPN＝90°，
∴∠MPO＝∠NPA＝90°﹣∠MPA，
在△OPM和△APN中，
，
∴△OPM≌△APN（ASA），
∴S△OPM＝S△APN，
∴S△BPM﹣S△APN＝S△BPM﹣S△OPM＝S△BOP＝S△AOB＝×AO•BO＝××3×3＝．