江苏省南京市秦淮区2022_2023学年九年级上学期 期中数学试题A (含答案)

这是一份江苏省南京市秦淮区2022_2023学年九年级上学期 期中数学试题A (含答案)，共15页。

注意：
1．选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上．
2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知⊙O的半径是5 cm，线段OP的长为4 cm，则点P
2．下列方程中，是一元二次方程的是
3．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是
4．用配方法解方程x2－8x＋5＝0时，原方程应变形为
E
C
O
M
D
F
（第5题）
5．如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),CD)中点．若CD＝2，EM＝5，则⊙O的半径长为
6．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是
A．8，8，8B．4，10，10C．4，8，10D．6，8，10
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．方程x2＝9的根是 ▲ ．
8．关于x的一元二次方程(x－2)2＝a－1有实数根，则a的取值范围是 ▲ ．
9．一个扇形的半径为2 cm，弧长为3π cm，则此扇形的面积为 ▲ cm2．
（第10题）
B
A
C
D
O
10．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为 ▲ °．
B
A
C
D
（第12题）
11．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m－2022的值是 ▲ ．
12．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝eq \r(2)，以点A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D，则BC的长是 ▲ ．
13．某企业2020年盈利2 000万元，2022年盈利2 420万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程 ▲ ．
14．正六边形的外接圆半径是2，则其内切圆半径是 ▲ ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2．若P为矩形内一点，且∠BPC≤45°，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是 ▲ ．
B
C
A
（第16题）
A
B
C
D
（第15题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2 eq \r(3)．⊙C的半径长为1，
P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到⊙C的切线长为m．若满足条件的点P的位置有4个，则m的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答
时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．（6分）解方程x2－2x－1＝0．
18．（6分）解方程(x＋2)2＝3(x＋2)．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k2＋k－2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求方程的根．
20．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．
B
A
C
D
O
（第20题）
（1）若∠ABC＝70°，求∠BAD的度数；
（2）求证 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AB)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AD)．
D
B
C
E
A
O
（第21题）
21．（7分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O过点B、C且与AB、AC分别相交于点D、E．求证BD＝CE．
22．（7分）如图所示，面积为4500 m2的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大10 m，求绿化区的面积．
（第22题）
休闲区域
休闲区域
23．（8分）已知α、β是关于x的一元二次方程(x－m)(x－n)－2(x－m)＝0的两个实数根．
（1）若α＝β，则m与n满足关系 ▲ ；
（2）若β＜α＜0，求m＋n的范围．
24．（8分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2eq \r(3)，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．
B
A
C
D
（第24题）
O
P
25．（8分）商店购进某种玩具的价格为30元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价0.5元，销售量就会减少5件．为获得15 000元的利润，销售单价应为多少元？
26．（11分）
【习题再现】
D
B
C
A
I
①
（教材P74 第10题）如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线
交△ABC的外接圆于点D．BD和ID相等吗？为什么？
（1）完成原习题；
【逆向思考】
（2）如图 = 2 \* GB3 ②，I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．若DB＝DI＝DC，求证：I为△ABC的内心．
D
B
C
A
I
= 2 \* GB3 ②
【迁移运用】
（3）如图 = 3 \* GB3 ③，利用无刻度直尺和圆规，作出△ABC的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）
B
C
A
= 3 \* GB3 ③
（友情提醒：如完全用课本所学的方法作图，本题最多得1分）
27．（11分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的动点，AC＝6，BC＝8，经过C、D的⊙O交AC边于点M，交BC边于点N，且点M、N不与点C重合．
（1）若点D运动到AB的中点．
①如图①，当点M与点A重合时，求线段MN的长；
②如图②，连接MN，若MN∥AB，求线段MN的长；
A
C
O
D
N
（M）
B
①
（2）如图③，点D在运动过程中，⊙O半径r的范围为 ▲ ．
C
B
D
A
M
N
O
= 2 \* GB3 ②
A
B
C
D
M
N
O
③
2022-2023学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷
九年级数学参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题6分）
解：移项，得x2－2x＝1．
配方，得 (x－1)2＝2．2分
由此可得x－1＝± eq \r(2)．4分
所以x1＝ eq \r(2)＋1，x2＝－ eq \r(2)＋1．6分
18．（本题6分）
解：移项，得(x＋2)2－3(x＋2)＝0．
(x＋2)(x＋2－3)＝0．
(x＋2)(x－1)＝0．4分
所以x1＝－2，x2＝1．6分
19．（本题8分）
解：（1）根据题意，得b2－4ac＝(2k)2－4(k2＋k－2) 2分
＝－4k＋8＞0．3分
解得k＜2．4分
（2）因为k为正整数且k＜2，
所以k＝1．5分
所以方程可化为x2＋2x＝0，6分
解得x1＝0，x2＝－2．8分
20．（本题8分）
解：（1）∵OA＝OB，∠ABC＝70°，
∴∠ABO＝∠BAO＝70°．1分
∴∠BOA＝40°．2分
∵OA∥CD，
∴∠C＝∠BOA＝40°．3分
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C＋∠BAD＝180°．
∴∠BAD＝140°．4分
（2）连接OD．
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD．5分
∵OA∥CD，
∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD．6分
∴∠AOB＝∠AOD．7分
∴ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AB)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AD)．8分
21．（本题7分）
证明：方法一
连接BE、CD．
∵ AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．2分
∴EQ \O\AL(DC,\S\UP5(⌒))＝EQ \O\AL(BE,\S\UP5(⌒))．4分
∴EQ \O\AL(DC,\S\UP5(⌒))－EQ \O\AL(DE,\S\UP5(⌒))＝EQ \O\AL(BE,\S\UP5(⌒))－EQ \O\AL(DE,\S\UP5(⌒))，即 EQ \O\AL(BD,\S\UP5(⌒))＝EQ \O\AL(CD,\S\UP5(⌒))．5分
∴BD＝CE．7分
方法二
连接BE、CD．
∵ EQ \O\AL(DE,\S\UP5(⌒))＝EQ \O\AL(DE,\S\UP5(⌒))，
∴∠ABE＝∠ACD．2分
∵AB＝AC，∠A＝∠A．
∴△ABE≌△ACD．4分
∴ AD＝AE．6分
∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE．7分
22．（本题7分）
解：方法一
设小正方形的边长为x m，则大正方形的边长为（x＋10）m，绿化区的面积为10x m2．
根据题意，得 (2x＋10) (x＋10)＝4500．4分
整理，得x2＋15x－2200＝0．
解这个方程，得x1＝－55（不合题意，舍去），x2＝40．6分
所以10x＝400．
答：绿化区的面积为400 m2．7分
方法二
设小正方形的边长为x m，则大正方形的边长为（x＋10）m，绿化区的面积为10x m2．
根据题意，得x2＋(x＋10)2＋10x＝4500．4分
整理，得x2＋15x－2200＝0．
解这个方程，得x1＝－55（不合题意，舍去），x2＝40．6分
所以10x＝400．
答：绿化区的面积为400 m2．7分
23．（本题8分）
证明：（1）m＝n＋2．3分
（2）方法一
∵(x－m)(x－n)－2(x－m)＝0，
∴(x－m)(x－n－2)＝0．4分
∴方程的两根分别为m，n＋2．5分
∵方程的两根α、β满足β＜α＜0，
∴m＋n＋2＜0．7分
∴m＋n＜－2． 8分
方法二
将原方程整理为x2－(m＋n＋2)x＋mn＋2m＝0．4分
∴α＋β＝m＋n＋2．5分
∵方程的两根α、β满足β＜α＜0，
∴m＋n＋2＜0．7分
∴m＋n＜－2． 8分
24．（本题8分）
（1）证明：连接OC、OP．
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PB．2分
∴∠PAO＝90°．
∵OA＝OC，PA＝PC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC．4分
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，即OB⊥PB．5分
又∵点B在⊙O上，
∴PB与⊙O相切．6分
（2） eq \f(4π,3)－ eq \r(3)．8分
25．（本题8分）
解法一：设该玩具销售单价应为x元．
根据题意，得(x－30)[600－ eq \f(5,0.5)(x－50)]＝15000．4分
解这个方程，得x1＝60，x2＝80． 7分
答：该商品每件实际售价应定为60元或80元． 8分
解法二：设该玩具销售单价应涨了x元，则销售单价应为(50＋x)元．
根据题意，得(20＋x) (600－ eq \f(5,0.5)x)＝15000．4分
解这个方程，得x1＝10，x2＝30．7分
所以50＋10＝60或50＋30＝80．
答：该商品每件实际售价应定为60元或80元．8分
26．（本题11分）
（1）证明：如图①，连接BI．
∵I是△ABC的内心，
D
B
C
A
I
= 1 \* GB3 ①
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBC．1分
∵∠DBC、∠DAC是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),DC)所对的圆周角，
∴∠DBC＝∠DAC．
∴∠DBC＝∠BAD．2分
根据角之间的关系可得∠IBD＝∠DBC＋∠IBC．
又∵∠BID是△ABI的一个外角，
∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI．
∴∠IBD＝∠BID．3分
∴BD＝ID．4分
（2）证明：连接BI．
∵BD＝CD，
∴EQ \O\AL(BD,\S\UP5(⌒))＝EQ \O\AL(CD,\S\UP5(⌒))．5分
∴∠BAD＝∠DBC＝∠CAD．
即AD平分∠BAC．6分
∵BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID．
∵∠BID是△ABI的一个外角，∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI．
∵∠IBD＝∠DBC＋∠CBI，
∴∠ABI＝∠CBI，即BI平分∠ABC．7分
∴I为△ABC的内心．8分
（3）（文字说明：先作出△ABC的外接圆（作图痕迹略），再作BC的垂直平分线，与圆交于点D（也可作∠A的平分线，与圆交于点D），在AD上截取DI＝DB．）11分
27．（本题11分）
解：（1）连接AN、DN．
∵∠C＝90°，
∴AN是⊙O的直径．
∴∠ADN＝90°．1分
∴ND⊥AB．
又∵D是AB中点，
∴NA＝NB．2分
设AN＝BN＝x．在Rt△ACB中，∠C＝90°，
由勾股定理，得62＋(8－x)2＝x2．3分
解这个方程，得x＝6.25．即MN的长为6.25．4分
（2）连接CD，交MN于P．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB中点，
∴CD＝ eq \f(1,2)AB＝AD＝BD．
∴∠DCA＝∠A．5分
又∵MN∥AB，
∴∠CMN＝∠A．
∴∠CMN＝∠DCA．
∴PC＝PM．
同理PC＝PN．
∴PM＝PN．6分
∵∠C＝90°，
∴MN是⊙O的直径．
∴点P与点O重合．
∴CD是⊙O的直径．7分
∴MN＝CD＝ eq \f(1,2)AB＝5．8分
（3）2.4≤r≤5．11分
（说明：2.4和5这两个数值各1分，不等号完全正确1分．）
A．在⊙O外
B．在⊙O上
C．在⊙O内
D．不能确定
A．x－EQ \F(1,x)＝0
B．3x2＝1
C．2x－y＝5
D．y2＋x＋2＝0
A．3
B．6
C．12
D．24
A．(x－8)2＝21
B．(x－8)2＝11
C．(x－4)2＝21
D．(x－4)2＝11
A．4
B．3
C．EQ \F(13,5)
D．EQ \F(12,5)
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
C
D
C
A
7．x1＝3，x2＝－3
08．a≥1
09．3
10．35
11．－2021
12． eq \r(3)＋1
13．2000(1＋x)2＝2420
14．eq \r(3)
15．3－ eq \f(π,2)
16．eq \r(2)＜m＜eq \r(3)