初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数第1课时精练

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(打√或×)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比称为∠A的正切．(√)
2．如果梯子与地面的夹角为∠A，则梯子的倾斜程度与tan A的值有关，tan A的值越小，梯子越陡．(×)
3．坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，也叫坡比．(√)
·知识点1 正切
1．(概念应用题)如图，在Rt△EFG中，∠F＝90°，则tan E＝(A)
A． eq \f(5,12) B． eq \f(12,5) C． eq \f(5,13) D． eq \f(12,13)
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝8.则tan A的值为(A)
A． eq \f(5,4) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,3)
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，且tan A＝ eq \f(1,3) ，则AC＝__6__．
4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是__ eq \f(1,2) __．
·知识点2 坡度(坡比)
5．如图，有一个小山坡AB，坡度i＝ eq \f(3,4) (即：tan A＝ eq \f(3,4) )，已知小山坡的水平距离AC＝60 m，那么小山坡的高度BC是(C)
A．15 m B．30 m C．45 m D．60 m
6．某人沿着斜坡前进，当他前进50 m时上升的高度为25 m，则斜坡的坡度是i＝__1∶ eq \r(3) __．
7．已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14 m，斜坡AB的坡度为3∶ eq \r(3) ，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为4 eq \r(6) m，求上底的长(精确到0.1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732).
【解析】见全解全析
1．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶ eq \r(2) ，坝高BC＝4 m，则AB的长度为(C)
A．2 eq \r(6) m B．4 eq \r(2) m C．4 eq \r(3) m D．6 m
2．(2021·福州模拟)如图，5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为(A)
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(5),5) C．2 D． eq \f(2\r(5),5)
3．(生活情境题)(2021·泉州期中)某同学沿着坡度i＝1∶ eq \r(3) 的斜坡前进了200 m，那么他升高了__100__ m．
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，tan A＝ eq \f(2,3) ，则AB＝__ eq \r(13) __．
5．如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，坡顶有一旗杆BC，顶端B点与A点有一条彩带相连，已知CD＝3 m，AB＝10 m，则旗杆BC的高度为
__5__ m．
6．(2021·泉州模拟)为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1∶3，AD＝9 m，点C在DE上，CD＝0.5 m，CF是限高标志牌的高度(标志牌上写有：限高
________ m).如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？(结果精确到0.1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73， eq \r(10) ≈3.16)
【解析】据题意得tan B＝ eq \f(1,3) ，∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A＝ eq \f(1,3) ，
∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝ eq \f(DE,AD) ，
∵AD＝9，∴DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE＋∠CEF＝90°，
∵DE⊥AD，∴∠A＋∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan ∠FCE＝ eq \f(1,3) ，
在Rt△CEF中，CE2＝EF2＋CF2，设EF＝x，CF＝3x(x＞0)，CE＝2.5，
代入得( eq \f(5,2) )2＝x2＋(3x)2，解得x＝ eq \f(\r(10),4) ，∴CF＝3x＝ eq \f(3\r(10),4) ≈2.4，∴该停车库限高2.4 m．
1.正切函数模型
在Rt△ABC中，tan A＝ eq \f(BC,AC) ， tan B＝ eq \f(AC,BC) .
2.坡度(坡比)基本模型
如图，i＝ eq \f(h,l) ＝tan α，坡度通常写成i＝h∶l的形式．
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时
__必备知识·基础练
【易错诊断】
1．√ 2.× 3.√
【对点达标】
1．A 在Rt△EFG中，∠F＝90°，
∵GF＝5，GE＝13，
∴EF＝ eq \r(GE2－GF2) ＝ eq \r(132－52) ＝12，
∴tan E＝ eq \f(GF,EF) ＝ eq \f(5,12) .
2．A 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝8.
∴tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(10,8) ＝ eq \f(5,4) .
3．【解析】∵tan A＝ eq \f(1,3) ，
∴ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(1,3) ，即 eq \f(2,AC) ＝ eq \f(1,3) ，解得，AC＝6.
答案：6
4．【解析】连接AC，由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，
根据勾股定理得，AC＝ eq \r(2) ，AB＝2 eq \r(2) ，
则tan ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
5．C 由题干图可知，∠BCA＝90°，
∵AB的坡度为i＝3∶4，小山坡的水平距离AC的长为60 m，
∴BC∶AC＝3∶4，
则BC＝180÷4＝45(m).
6. 【解析】由题意得：某人在斜坡上走了50 m，上升的高度为25 m，
则某人走的水平距离s＝ eq \r(502－252) ＝25 eq \r(3) ，
∴坡度i＝25∶25 eq \r(3) ＝1∶ eq \r(3) .
答案：1∶ eq \r(3)
7．【解析】过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E、F.
∵CD与BC的夹角为45°，∴∠DCF＝45°，∴DF＝CF.
∵CD＝4 eq \r(6) m，
∴DF2＋CF2＝(4 eq \r(6) )2，
∴AE＝DF＝CF＝4 eq \r(3) m.
∵斜坡AB的坡度为3∶ eq \r(3) ，
∴tan ∠ABE＝ eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(3,\r(3)) ＝ eq \r(3) ，
∴BE＝4 m.
∵BC＝14 m，
∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－4 eq \r(3) ＝10－4 eq \r(3) (m).
∵AD＝EF，∴AD＝10－4 eq \r(3) ≈3.1(m).
所以，它的上底的长约为3.1 m.
__关键能力·综合练
1．C ∵河坝横断面迎水坡AB的坡比为1∶ eq \r(2) ，
坝高BC＝4 m，
∴ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(1,\r(2)) ，
则AC＝4 eq \r(2) (m)，
故AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(（4\r(2)）2＋42) ＝4 eq \r(3) (m).
2．A 如图所示：连接BD，
BD＝ eq \r(12＋12) ＝ eq \r(2) ，
AD＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) ，
AB＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ，
∵BD2＋AD2＝2＋8＝10＝AB2，
∴△ADB为直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
则tan A＝ eq \f(BD,AD) ＝ eq \f(\r(2),2\r(2)) ＝ eq \f(1,2) .
3．【解析】设他升高了x m，
∵斜坡的坡度为1∶ eq \r(3) ，
∴他前进的水平距离为 eq \r(3) x m，
由勾股定理得，x2＋( eq \r(3) x)2＝2002，
解得，x＝100，
答案：100
4．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，
∵BC＝2，tan A＝ eq \f(2,3) ，
∴ eq \f(2,AC) ＝ eq \f(2,3) ，
∴AC＝3，
∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(22＋32) ＝ eq \r(13) .
答案： eq \r(13)
5．【解析】∵斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，
CD＝3 m，∴AD＝6 m，
∵AB＝10 m，AD＝6 m，
∴BD＝ eq \r(102－62) ＝8(m)，
∴BC＝8－3＝5(m)，
∴旗杆BC的高度为5 m.
答案：5
6．解析见正文