北师大版九年级下册1 锐角三角函数第2课时课时练习

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(打√或×)
1．sin A表示sin 和A的乘积．(×)
2．若直角三角形的边长扩大8倍，相应的∠A的锐角三角函数值也增加8倍．(×)
3．一个锐角的正弦、余弦、正切统称为这个角的锐角三角函数．(√)
4．若∠A为锐角，则0＜sin A＜1.(√)
5．若∠A为锐角，则0＜cs A＜1.(√)
·知识点1 正弦和余弦
1．(概念应用题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则sin B＝(C)
A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(\r(7),4)
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝ eq \f(3,5) ，则AC的长为(C)
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ eq \r(15) ，AB＝4，则cs B的值是(C)
A． eq \f(\r(15),4) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,4) D． eq \f(\r(15),15)
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 eq \r(5) ，cs B＝ eq \f(2,3) ，则AB＝__6__．
·知识点2 锐角三角函数
5．(2021·福州质检)在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(B)
A．c＝b sin B B．b＝c sin B C．a＝b tan B D．b＝c tan B
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(C)
A．sin A＝ eq \f(a,b) B．a＝sin B×c C．cs A＝ eq \f(b,c) D．tan A＝ eq \f(b,a)
7．在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝ eq \f(1,2) ，则sin B＝__ eq \f(2\r(5),5) __．
8．(2021·三明期末)如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sin α＝ eq \f(4,5) ，则tan α＝__ eq \f(4,3) __．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】见全解全析
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ eq \f(1,3) ，BC＝2，则AB长为(C)
A．2 B．4 C．6 D．8
2．在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，则下列结论正确的是(C)
A．sin A＝ eq \f(3,5) B．cs A＝ eq \f(4,5) C．tan A＝ eq \f(4,3) D．tan B＝ eq \f(4,3)
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cs A的值是(D)
A． eq \f(\r(2),2) B．2 C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2)
4．(易错警示题)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都缩小5倍，则sin A的值(C)
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝ eq \f(4,5) ，那么BC＝__12__．
6．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cs ∠ABC的值为__ eq \f(4,5) __．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cs α的值为__ eq \f(4,5) __．
8．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B.
【解析】过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC中，AB＝9，△ABC的面积等于9，
∴ eq \f(1,2) ×AB×CD＝9，∴CD＝2，
∴sin B＝ eq \f(CD,BC) ＝ eq \f(2,6) ＝ eq \f(1,3) .
9.(2021·厦门模拟)定义：等腰三角形中底边与腰的比称为顶角的正对．例如，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A＝ eq \f(底边,腰) ＝ eq \f(BC,AB) .已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝25，sin A＝ eq \f(3,5) ，求sad A的值．
【解析】见全解全析
·易错点 忽略讨论直角三角形哪个角为直角
【案例】在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cs C＝__ eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(2\r(5),5) __．
第2课时
__必备知识·基础练
【易错诊断】
1．× 2.× 3.√ 4.√ 5.√
【对点达标】
1．C ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴sin B＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,4) .
2．C sin A＝ eq \f(BC,AB) ，
∴ eq \f(6,AB) ＝ eq \f(3,5) ，
解得，AB＝10，
由勾股定理得，AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(102－62) ＝8.
3．C 如图：∵∠C＝90°，AC＝ eq \r(15) ，AB＝4，
∴BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(16－15) ＝1，
∴cs B＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(1,4) .
4．【解析】设BC＝2x，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cs B＝ eq \f(2,3) ，∴ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(2,3) ，∴AB＝3x，
由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
即(2 eq \r(5) )2＋(2x)2＝(3x)2，
解得，x＝2，
∴AB＝3x＝6.
答案：6
5．B A．sin B＝ eq \f(b,c) ，
则b＝c sin B，本选项说法错误；
B．b＝c sin B，本选项说法正确；
C．tan B＝ eq \f(b,a) ，
则b＝a tan B，本选项说法错误；
D．b＝a tan B，本选项说法错误．
6．C 在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
因此有：sin A＝ eq \f(a,c) ，sin B＝ eq \f(b,c) ，cs A＝ eq \f(b,c) ，tan A＝ eq \f(a,b) ，
故A不符合题意；故C符合题意；故D不符合题意；
由sin B＝ eq \f(b,c) 可得b＝sin B×c，故B不符合题意．
7．【解析】如图所示：
∵∠C＝90°，tan A＝ eq \f(1,2) ，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝ eq \r(5) x，
则sin B＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(2x,\r(5)x) ＝ eq \f(2\r(5),5) .
答案： eq \f(2\r(5),5)
8．【解析】设PQ⊥x轴于Q，则OQ＝3，如图所示：
由sin α＝ eq \f(PQ,OP) ＝ eq \f(4,5) ，
设PQ＝4a，则OP＝5a，
∵OQ＝3，
∵OQ2＋PQ2＝OP2，
即32＋(4a)2＝(5a)2，
∴a＝1(负值舍去)，
∴PQ＝4，OP＝5，
则tan α＝ eq \f(PQ,OQ) ＝ eq \f(4,3) .
答案： eq \f(4,3)
9．【解析】由勾股定理得，AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(122＋52) ＝13，
则sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(5,13) ，cs A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(12,13) ，tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(5,12) .
__关键能力·综合练
1．C 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ eq \f(1,3) ，BC＝2，
所以sin A＝ eq \f(1,3) ＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(2,AB) ，
所以AB＝6.
2．C 在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝4AC，
所以 eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(4,3) ＝tan A，
设BC＝4k，则AC＝3k，AB＝ eq \r(BC2＋AC2) ＝5k，
所以sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) ，cs A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(3,5) ，tan B＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(3,4) .
3．D 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，
设BC为x，则AB为2x，AC＝ eq \r(（2x）2－x2) ＝ eq \r(3) x，
∴cs A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(\r(3)x,2x) ＝ eq \f(\r(3),2) .
4．C ∵∠C＝90°，
∴sin A＝ eq \f(∠A的对边,斜边) ，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sin A的值不变．
5．【解析】∵∠C＝90°，
∴sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) ，
∴BC＝ eq \f(4,5) AB＝ eq \f(4,5) ×15＝12.
答案：12
6．【解析】如图所示，作AD⊥BC，垂足为D，
AD＝3，BD＝4，
∴AB＝5，
∴cs ∠ABC＝ eq \f(BD,AB) ＝ eq \f(4,5) .
答案： eq \f(4,5)
7．【解析】在直角△ABC中，AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(32＋42) ＝5.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.
∴∠ACD＝∠B，
∴cs α＝cs B＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) .
答案： eq \f(4,5)
8．解析见正文
9．【解析】过点C作CE⊥AB于点E，在AB上截取AF＝AC，连接CF，如图所示，
∵sin A＝ eq \f(3,5) ，
∴设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k，
∴AF＝AC＝4k，
∵S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC＝ eq \f(1,2) AB·CE，
∴AC·BC＝AB·CE，即3k·4k＝5k·CE，
∴CE＝2.4k，
在Rt△ACE中，AE＝ eq \r(AC2－CE2) ＝3.2k，
∴EF＝AF－AE＝4k－3.2k＝0.8k，
在Rt△CEF中，CF＝ eq \r(EC2＋FE2) ＝ eq \f(4\r(10),5) k，
在等腰三角形ACF中，sad A＝ eq \f(CF,AC) ＝ eq \f(\f(4\r(10),5)k,4k) ＝ eq \f(\r(10),5) .
【易错必究】
·易错点
【案例】【解析】若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝ eq \r(（2x）2－x2) ＝ eq \r(3) x，所以cs C＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(\r(3)x,2x) ＝ eq \f(\r(3),2) ；
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝ eq \r(（2x）2＋x2) ＝ eq \r(5) x，所以cs C＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(2x,\r(5)x) ＝ eq \f(2\r(5),5) ；
综上所述，cs C的值为 eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(2\r(5),5) .
答案： eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(2\r(5),5)