2020-2021学年6 利用三角函数测高同步训练题

这是一份2020-2021学年6 利用三角函数测高同步训练题，共16页。
(打√或×)
1．小丽在小明的北偏东38°方向上，则小明在小丽的南偏西38°方向上．(√)
2．坡度与坡角的关系是i＝tan α.(√)
3．方向角一般是指正南或正北方向与目标方向所成的角．(√)
4．解决与方向角有关的实际应用问题时，应将题目中所给出的角度化归至要解的直角三角形中，或构造直角三角形求解． (√)
5．利用直角三角形的边角关系可测量物体的高度，测量倾斜角可以用测倾器．(√)
·知识点1 方向角问题
1．(2020·大连中考)如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB为(A)
A．100 m B．100 eq \r(2) m C．100 eq \r(3) m D． eq \f(200\r(3),2) m
2．已知，一轮船以16 n mile/h的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，另一轮船以8 n mile/h的速度同时从港口A出发向南偏东57°方向航行．则离开港口1 h后，两船相距(A)
A．8 eq \r(3) n mile B．8 eq \r(5) n mile C．16 n mile D．24 n mile
·知识点2 视角问题
3．(2020·赤峰中考)如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9 m，那么该建筑物的高度BC为__12 eq \r(3) __ m(结果保留根号).
4. (2021·泉州期末)如图是某动车站出口处自动扶梯示意图，自动扶梯AB的倾斜角为31°，在自动扶梯下方地面点D处测得扶梯顶端A的仰角为62°，B，D之间的距离为6 m．求自动扶梯的垂直高度AC.(sin 31°≈0.52，cs 31°≈0.86，
tan 31°≈0.60，sin 62°≈0.88，cs 62°≈0.47，tan 62°≈1.88，精确到0.1 m)
【解析】∵∠ADC是△ADB的外角，∴∠ADC＝∠ABC＋∠DAB，
∵∠ADC＝62°，∠ABC＝31°，∴∠DAB＝∠ADC－∠ABC＝62°－31°＝31°，
∴∠ABC＝∠DAB，∴AD＝DB＝6 m，
在Rt△ACD中，∠ADC＝62°，sin ∠ADC＝ eq \f(AC,AD) ，∴sin 62°＝ eq \f(AC,6) ，
∴AC＝6×sin 62°≈6×0.88＝5.28≈5.3(m).
答：自动扶梯的垂直高度AC约为5.3 m．
5. (2020·潍坊中考)某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120 m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得，MN∥AB，∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120 m，
在Rt△ACD中，AD＝ eq \f(CD,tan 60°) ＝ eq \f(120,\r(3)) ＝40 eq \r(3) (m)，
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝120 m，
∴AB＝AD＋BD＝(40 eq \r(3) ＋120) m.
答：桥AB的长度为(40 eq \r(3) ＋120)m.
6. (2020·遂宁中考)某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60 m，已知1号楼的高度为20 m，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．(结果精确到0.1 m)
(参考数据：sin 40°≈0.64，cs 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 67°≈0.92，cs 67°≈0.39，tan 67°≈2.36)
【解析】见全解全析
·知识点3 坡角问题
7．已知水库的拦水坝斜坡的坡度为1∶ eq \r(3) ，则这个拦水坝的坡角为(A)
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度为1∶1，斜坡AC的坡面长度为8 m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为__4 eq \r(2) __m.
9．(2021·三明期末)如图，某商场门前的台阶高出地面0.9 m，即CB＝0.9 m，现计划将此台阶改造成坡角为10°的斜坡．求斜坡AC的长．(结果精确到0.1 m)(参考数据：sin 10°≈0.17，cs 10°≈0.98，tan 10°≈0.18)
【解析】在Rt△ABC中，sin A＝ eq \f(BC,AC) ，
∴AC＝ eq \f(BC,sin A) ＝ eq \f(0.9,sin 10°) ≈ eq \f(0.9,0.17) ≈5.3(m).
答：斜坡AC的长约为5.3 m．
1．(2021·漳州期末)如图，AB为停车场入口处的栏杆，长臂OA＝3 m．将短臂端点B下降，当∠A′OA＝α时，长臂端点A升高(B)
A． eq \f(3,sin α) m B．3sin α m C． eq \f(3,cs α) m D．3cs α m
2．(生活情境题)如图，小强在某高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为(A)
A．82 m B．163 m C．52 m D．70 m
3．如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机所在的A处与指挥台B的距离为__2__400__m__．
4.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为__64__cm__．
5．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无须人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
安装要求,本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为3 m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC.(参考数据：sin 73.14°≈0.957，cs 73.14°≈0.290，tan 73.14°≈3.300，
sin 30.97°≈0.515，cs 30.97°≈0.857，tan 30.97°≈0.600)
【解析】根据题意可知：OC⊥AC，∠OBC＝73.14°，∠OAC＝30.97°，AB＝3 m，
∴AC＝AB＋BC＝3＋BC，
∴在Rt△OBC中，BC＝ eq \f(OC,tan ∠OBC) ≈ eq \f(OC,3.3) ，
在Rt△OAC中，OC＝AC·tan ∠OAC≈(3＋BC)×0.6，
∴OC＝0.6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(OC,3.3))) ，解得OC＝2.2(m).
答：该设备的安装高度OC约为2.2 m．
6．如图1是放置在水平桌面上的台灯，图2是其侧面简化示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AB＝5 cm，BC＝20 cm，CD＝32 cm，AB垂直于水平桌面，灯臂BC与灯臂AB构成的角为143°(即∠ABC＝143°)，灯臂BC与灯臂CD构成的角为113°(即∠DCB＝113°)，求灯臂DC的端点D到桌面的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 53°≈0.80，cs 53°≈0.60，tan 53°≈1.33， eq \r(3) ≈1.73)
【解析】过D作DH⊥桌面于H，过C作CE⊥桌面于E，作CF⊥DH于点F，过B作BG⊥DH于G，GB的延长线交CE于O，则
GH＝AB＝5 cm，FG＝OC，∠OBC＝∠ABC－90°＝143°－90°＝53°，∠DCF＝∠DCB－53°＝113°－53°＝60°，
在Rt△BOC中，OC＝BC·sin 53°≈20×0.80＝16(cm)，
在Rt△DCF中，DF＝CD·sin ∠DCF＝32×sin 60°＝32× eq \f(\r(3),2) ≈27.68(cm)，
∴DH＝DF＋FG＋GH≈27.68＋16＋5＝48.68≈48.7(cm).
答：灯臂DC的端点D到桌面的距离约为48.7 cm.
7.如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向(北偏东45°)以40 km/h的速度匀速移动，在距离台风中心50 km的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60 eq \r(2) km的地方有一城市A.
(1)A市是否会受到此台风的影响？为什么？
(2)在点O的北偏东15°方向，距离80 km的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
【解析】见全解全析
8. (2021·莆田期末)2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动．如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行350 m到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600 m到达C处，求小山的高度CD及该数学小组行进的水平距离AD(结果精确到1 m).
(参考数据：sin 22°≈0.37，cs 22°≈0.93，sin 53°≈0.8，cs 53°≈0.6)
【解析】见全解全析
模型1.测量底部可到达的物体高度 模型2.测量底部不可到达的物体高度

5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
__必备知识·基础练
【易错诊断】
1．√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√
【对点达标】
1．A 由题意得，∠AOB＝90°－60°＝30°，
∴AB＝ eq \f(1,2) OA＝100 m.
2．A 如图，轮船以16 n mile/h的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，1 h后到达B处，
过点B作BC垂直于点A南偏东57°方向于点C，
由题意得，AB＝16 n mile，∠BAC＝27°＋33°＝60°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴AC＝AB×cs ∠BAC＝8 n mile，
∴速度为8 n mile/h的另一艘船离开港口1 h后，到达C处，
∴BC＝AB×sin ∠BAC＝8 eq \r(3) n mile.
3．【解析】根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，
∴CD＝AD·tan 30°＝9× eq \f(\r(3),3) ＝3 eq \r(3) ，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，
∴BD＝AD·tan 60°＝9 eq \r(3) ，
∴BC＝CD＋BD＝3 eq \r(3) ＋9 eq \r(3) ＝12 eq \r(3) (m).
∴该建筑物的高度BC为12 eq \r(3) m.
答案：12 eq \r(3)
4．解析见正文
5．解析见正文
6．【解析】过点E，F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M，N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB－MB＝60－20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan ∠AEM＝ eq \f(AM,EM) ，
∴EM＝ eq \f(AM,tan ∠AEM) ＝ eq \f(40,tan 67°) ≈16.95，
在Rt△AFN中，
∵tan ∠AFN＝ eq \f(AN,FN) ，
∴AN＝tan 40°×16.95≈14.24，
∴FD＝NB＝AB－AN≈60－14.24≈45.8(m).
答：2号楼的高度约为45.8 m.
7．A ∵水库的拦水坝斜坡的坡度为1∶ eq \r(3) ，
∴设这个拦水坝的坡角为α，则tan α＝ eq \f(1,\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
∴这个拦水坝的坡角为30°.
8．【解析】如图，AC＝8米，BC∶AB＝1∶1.
设BC＝x米，则AB＝x米．
在Rt△ABC中，AC2＝BC2＋AB2，
即x2＋x2＝82，
解得x＝4 eq \r(2) ，
即BC＝4 eq \r(2) 米．
故上升高度是4 eq \r(2) 米．
答案：4 eq \r(2)
9．解析见正文
__关键能力·综合练
1．B 如图，根据题意可知：∠A′FO＝90°，A′O＝AO＝3 m，∠A′OA＝α，
∵sin ∠A′OF＝ eq \f(A′F,A′O) ，
∴A′F＝3sin α m.
2．A 设楼高AB为x.
在Rt△ADB中有：DB＝ eq \f(x,tan 30°) ＝ eq \r(3) x，
在Rt△ACB中有：BC＝ eq \f(x,tan 45°) ＝x.
而CD＝BD－BC＝( eq \r(3) －1)x＝60 m，
解得x≈82 m.
3．【解析】∵∠ABC＝∠α＝30°，
∴AB＝ eq \f(AC,sin 30°) ＝ eq \f(1 200,\f(1,2)) ＝2 400(m)，
即飞机所在的A处与指挥台B的距离为2 400 m.
答案：2 400 m
4．【解析】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) ×54＝27(cm)，
同理可得，BF＝27 cm，
又∵点A与B之间的距离为10 cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64(cm).
答案：64 cm
5．解析见正文
6．解析见正文
7．【解析】(1)作AH⊥OC，易知台风中心O与A市的最近距离为AH的长度，
由题意得：∠HOA＝45°，
OA＝60 eq \r(2) km，
∴AH＝HO＝60 eq \r(2) ÷ eq \r(2) ＝60(km)，
∵60＞50，
∴A市不会受到此台风的影响；
(2)受到影响．作BG⊥OC于G，
由题意得：∠BOC＝30°，OB＝80 km，
∴BG＝ eq \f(1,2) OB＝40 km，
∵40＜50，∴会受到影响，
如图：BE＝BF＝50 km，由题意知，台风从E点开始影响B城市，到F点影响结束，
∴EG＝ eq \r(BE2－BG2) ＝30 km，
∴EF＝2EG＝60 km，
∵风速为40 km/h，
∴60÷40＝1.5(h)，
∴影响时间为1.5 h.
8．【解析】如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点B作BH⊥AD于点H，
则四边形BEDH是矩形，
∴DE＝BH，BE＝DH，
在Rt△BCE中，BC＝600 m，
∠CBE＝22°，
∴CE＝BC·sin 22°≈600×0.37＝222(m)，
BE＝BC·cs 22°≈600×0.93＝558(m)，
∴DH＝BE＝558 m，
∵AB＝350 m，
在Rt△ABH中，∠BAH＝53°，
∴BH＝AB·sin 53°≈350×0.8＝280(m)，
AH＝AB·cs 53°≈350×0.6＝210(m)，
∴CD＝CE＋DE＝CE＋BH＝222＋280＝502(m)，
AD＝AH＋DH＝210＋558＝768(m).
答：小山的高度CD为502 m，该数学小组行进的水平距离AD为768 m.
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
探测最大角：∠OBC＝73.14°
探测最小角：∠OAC＝30.97°